Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

11. MEGOLDÁSOK

11. MEGOLDÁSOK

(1) Fektessük le egyenként az egyeneseket a síkra! Az első, e_1

e 1 -gyel jelölt egyenes a síkot két félsíkra osztja. Színezzük az egyiket fehérrel, a másikat feketével! A második egyenes, e_2 e 2 a síkot szintén két félsíkra osztja. Ezek egyikén cseréljük fel a színeket: ami fehér volt, legyen fekete és viszont. Fektessük le a harmadik egyenest, e_3 e 3 -at (21/a. ábra)!

Az e_3

e 3 által kettéosztott sík egyik felén ismét cseréljük fel a színeket (21/b. ábra)! Ezt az eljárást akármeddig folytathatjuk. Minden lépés után térképünk 2 színnel – fehérrel és feketével – jól színezett lesz.

(2) Tekintsük T

T csúcspontjainak egy említett számozását (22. ábra)!

A csúcspontokhoz rendelt számok sorrendjének megfelelően minden ország körüljárható vagy az óramutató járásával megegyező, vagy azzal ellentétes irányban. Az egyik irányban körüljárt országokat fehérre, a másik irányban körüljártakat feketére színezzük. Ekkor a szomszédos országok mindig különböző színt kapnak, hiszen egy él két oldalára eső országok bejárási iránya ellentétes.

(3) Ha a 2 színnel jól színezett térkép bármely P

P csúcspontját körüljárjuk, akkor minden élen áthaladva színt váltunk, és így a P P körüli országok közül minden második ugyanolyan színű. Ebből következik, hogy P P -hez páros számú élnek kell illeszkednie.

(4) Egy konfiguráció (a körök közül egy és a belerajzolt húr) három részre osztja a síkot. Számozzuk e három részt a 0, 1, és 2 számokkal! Minden országba írjuk azt a számot, amelyikkel megjelölt részbe esik a három közül. Ezt a számozást minden konfigurációra hajtsuk végre! Minden lépésnél egy-egy újabb szám kerül minden országba. Az egy országon belüli számokat adjuk össze, osszuk el az összeget 3-mal, és írjuk az országba a maradékot! Ezután aszerint színezünk egy országot fehérre, feketére vagy pirosra, hogy a beleírt maradék 0, 1 vagy 2. Be kell látnunk, hogy ekkor két, tetszés szerinti szomszédos ország különböző színű (azaz különbözők a maradékaik). Legyen két szomszédos ország L_1

L 1 és L_2 L 2 , határaik közös éle pedig h h . Vegyük el a térképről a h h élt tartalmazó K K konfigurációt. Ekkor L_1 L 1 és L_2 L 2 között nincs határ. Tehát L_1 L 1 és L_2 L 2 a K K -tól különböző konfigurációk mindegyikének ugyanabba a részébe esik, a K K által felosztott 3 rész közül pedig különbözőbe. Ezért L_1 L 1 és L_2 L 2 maradékai nem egyezhetnek meg. Így tehát térképünk 3 színnel – fehérrel, feketével és pirossal – jól színezett.