Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

8. TETSZŐLEGES FELÜLETRE RAJZOLT TÉRKÉPEK SZÍNEZÉSE

8. TETSZŐLEGES FELÜLETRE RAJZOLT TÉRKÉPEK SZÍNEZÉSE

Jelentse egy F

F felülethez l_(max) l m a x azt a legnagyobb számot, ahány páronként szomszédos, összefüggő ország F F -re rajzolható, és s_(min) s m i n azt a legkisebb számot, ahány színnel már bármilyen, F F -re rajzolható normál térkép jól színezhető. Természetesen minden felületre

l_(max)≤s_(min).
l m a x s m i n .

Eddig azt láttuk, hogy gömbre (vagy síkra)

4=l_(max)≤s_(min)≤5,
4 = l m a x s m i n 5 ,

Möbius-szalagra

l_(max)=s_(min)=6
l m a x = s m i n = 6

és tóruszra

l_(max)=s_(min)=7.
l m a x = s m i n = 7 .

Felmerülhetnek bennünk a következő kérdések: Vannak-e még másfajta felületek is? Ha igen, mit tudunk a hozzájuk rendelt l_(max)

l m a x és s_(min) s m i n számokról? Bármilyen nagy k k számhoz található-e olyan felület, amelyhez tartozó l_(max) l m a x nagyobb, mint k k ? Mindezekre a kérdésekre pontos választ tudunk adni a következőkben:

Végtelen sok olyan felület van, amelyek páronként nem homeomorfak, és a hozzájuk tartozó l_(max)

l m a x számok mind különbözők, amiből következik, hogy tetszőlegesen nagy l_(max) l m a x is van.

Minden felületre l_(max)=s_(min)

l m a x = s m i n .

Az l_(max)

l m a x és s_(min) s m i n számokat minden egyoldalú felületre sikerült pontosan meghatározni, kétoldalú felületekre viszont sok esetben csak olyan közelítő értéket sikerült megadni, amely a pontos értéktől nem tér el többet két egységnél.