Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

7. A MÖBIUS-SZALAG ÉS A TÓRUSZ SZÍNEZÉSE

7. A MÖBIUS-SZALAG ÉS A TÓRUSZ SZÍNEZÉSE

Nézzük meg a 15. ábrán látható szalagra rajzolt térképet!

Számokkal megkülönböztetett hat országot láthatunk. Az 1-gyel, 2-vel és 3-mal jelölt országok két-két különálló részből állnak, és mind a hat ország páronként szomszédos. Térképünk nem szabályos, mert országai nem összefüggők. Ha viszont térképünk két oldalát a szalag egy csavarása után összeragasztjuk, akkor a különálló országrészek egyesülnek. Az így kapott ún. Möbius-szalagon (l. a 16. ábrán!)

már mind a hat ország elemi felület, és mind páronként szomszédosak. Nincs ez ellentmondásban azzal, amit a 3. pontban bizonyítottunk? Az csak olyan normál térképekre vonatkozik, amelyek szakítás nélküli nyújtással gömbre teríthetők. Ezt nem tehetjük meg a Möbius-szalaggal.

Általában, ha két felület a megengedett nyújtással egymásra teríthető, akkor azt mondjuk, hogy a két felület homeomorf. (Itt mindig csak véges kiterjedésű felületekre gondolunk.) Tehát a gömb (ill. a sík) és a Möbius-szalag nem homeomorfak. Minthogy a Möbius-szalagra lehet olyan szabályos térképet rajzolni, amelynek hat országa páronként szomszédos, szabályos térképeinek jó színezéséhez legalább 6 színre van szükség. Több szín használata már fölösleges, ugyanis bizonyított tény a következő:

A Möbius-szalagra rajzolt bármely szabályos térkép 6 színnel jól színezhető.

Az eredmény meglepő, hiszen az „egyszerűbb” síkfelület szabályos térképeinek jó színezéséhez szükséges minimális színszámot csak később sikerült pontosan meghatározni.

A Möbius-szalagnak több érdekes tulajdonsága van[15], itt csak egyre hívjuk fel a figyelmet: E felületnek nincs két különböző oldala, azaz bármely pontjából kiindulva be tudjuk járni egész felületét anélkül, hogy a szalag szélét átlépnénk. Talán ez okozta, hogy hat, páronként szomszédos országot tartalmazó szabályos térképet is rajzolhattunk rá, és a szabályos térképeinek jó színezéséhez szükséges minimális színszámot meg lehetett határozni? Látni fogjuk, hogy nem. Vegyük ugyanis szemügyre a 17. ábrán

látható szalagra rajzolt térképet! Ezen hét országot találunk, amelyek mind páronként szomszédosak. Ha a szalagot gumiból készítjük el, összeilleszthetjük olyan felületté, mint amilyen a mentőöv felülete: Ragasszuk össze először a szalag vízszintes éleit, majd az így kapott cső két végét illesszük egymáshoz (l. a 18. ábrát)!

A ragasztásnál ügyeljünk arra, hogy az azonos betűvel jelölt pontok egybeessenek! Az így kapott ún. tórusz felületén (gyűrűfelületen) az előre kijelölt hét ország mindegyike elemi felület, és páronként mind szomszédosak. (E térkép szabályos a tóruszon.) Ahhoz tehát, hogy a tóruszon bármilyen szabályos térképet jól színezhessünk, legalább 7 színre van szükségünk. Ismét meglepő, hogy a gömbnél „bonyolultabb” tóruszra sikerült bizonyítani a következőt:

A tóruszra rajzolt bármilyen szabályos térkép 7 színnel jól színezhető.

A tórusznak, ugyanúgy, mint a gömbnek, két oldala van (külső és belső). A gömb, a Möbius-szalag és a tórusz közül semelyik kettő sem homeomorf.



[15] Lásd még e kötet Csalafinta felületek című cikkét!