Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

ÉRDEKES SZÁMOK

ÉRDEKES SZÁMOK

SURÁNYI, JÁNOS


1. Az embernek tevékenységei során időtlen idők óta szüksége volt tárgyak megszámlálására. A számok nevét eleinte tárgyakhoz kötötte, de igen hamar kezdett tudatára ébredni annak is, hogy itt nem valami tapinthatóról, érzékelhetőről, hanem elvont fogalomról van szó. Nehezen tudott azonban belenyugodni a számok teljes elvontságába, ezért igyekezett felruházni azokat különböző tulajdonságokkal. Ma is számon tartanak pl. szerencsés és szerencsétlen számokat, régebben pedig ezt a számmisztikát numerológia néven külön tudománynak tekintették. Az ilyen belemagyarázott tulajdonságok mellett azonban a számok tényleges tulajdonságait is kezdték felfedezni és azokat hozták kapcsolatba emberi tulajdonságokkal. Egyik példa erre a tökéletes számok csoportja.

A görögök a számok osztóit a szám részeinek tekintették. A mindennapi életben ma is szoktunk beszélni egy mennyiség valamilyen „hányadrész”-éről. Egy szám osztójának segítségével fel lehet bontani a számot ennyi egységből álló egyenlő részekre. Érthető, hogy ilyen módon magát a számot nem tekintették a szám osztójának. Rakjuk most össze a szám különböző „részeit”. (Mai szóhasználattal adjuk össze a valódi – azaz a számnál kisebb – osztóit.) Pl. a 4 „részei” 1 és 2, összegük 1+2=3

1 + 2 = 3 ; a 2 vagy 5 egyetlen „része” az 1; a 6 „részei” 1, 2, 3, összegük 1+2+3=6 1 + 2 + 3 = 6 ; a 12 „részei” 1, 2, 3, 4, 6, összegük 16. A görögök az olyan számokat, amelyek „összetehetők” különböző „részeikből” – mint pl. a 6 – egy igen magas fokú tökéletesség jelképének tekintették és tökéletes számoknak nevezték. További példák tökéletes számokra: 28, osztói 1, 2, 4, 7, 14, összegük 28; 496; 8128. Eddig 37[10] tökéletes szám ismeretes.

2. Két olyan számot, amelyek bármelyikének részeit összeadva a másik számot kapjuk, a barátság legmagasabb fokú kifejezésének tekintették, és barátságos számoknak nevezték. Pythagorasz állítólag a legmagasabb elismerésként mondta két tanítványáról, ezek olyan barátok, mint a 220 és a 284. Valóban,

220 valódi osztói:

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110,
1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 11 , 20 , 22 , 44 , 55 , 110 ,

összegük:

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

284 valódi osztói:

1, 2, 4, 71, 142,
1 , 2 , 4 , 71 , 142 ,

összegük:

1+2+4+71+142=220.
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 .

Érdekes, hogy az ókori forrásokban csak ez a barátságos számpár szerepel. Az újkor elején viszont Fermat, Mersenne, Descartes és mások sorozatban állítják elő az ilyen számpárokat, 6-, 8-jegyűeket is. Egy másik érdekesség, hogy a következő legkisebb barátságos számpárt viszont csak a múlt század közepén egy Niccolò Paganini nevű 16 éves olasz fiú adja meg, ez az 1184 és 1210.

1184 valódi osztói:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296, 592,
1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 37 , 74 , 148 , 296 , 592 ,

összegük:

1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210;
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 37 + 74 + 148 + 296 + 592 = 1210 ;

1210 valódi osztói:

1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, 605,
1 , 2 , 5 , 10 , 11 , 22 , 55 , 110 , 121 , 242 , 605 ,

összegük:

1+2+5+10+11+22+55+110+121+242+605=1184.
1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 22 + 55 + 110 + 121 + 242 + 605 = 1184 .

3. Lényegesen újabb keletű számérdekességet nyújtanak a főnixszámok. Legismertebb példájuk a 142 857

142 857 . Ennek néhány többszörösét az alább látható táblázat tünteti fel.

Figyeljük meg, hogy ezek a többszörösök a kiinduló szám számjegyeiből épülnek fel ugyanabban a sorrendben is, mint ahogyan az eredeti számban következnek, csak más jegynél kezdve, és ha a szám végére értünk, az elejét kell utána írni folytatólag. A főnixszámok a képzelet alkotta főnix madárról kapták nevüket. Ez – a monda szerint – ha elégetik is, újra feléled hamvaiból.

4. Egyre világosabb lett minden gondolkodó ember előtt, hogy a számok nem rendelkeznek a nekik tulajdonított csodálatos tulajdonságokkal. Azok azonban, akik szívesen foglalkoznak számokkal, továbbra is felfigyeltek a számok különböző érdekességeire.

Igen egyszerű szabályosság szerint épülnek fel a csupa egyező jeggyel írt számok. Pl. az 1, 11, 111, 1111, …. Szorozzuk meg mindegyiket önmagával. Az eredményt a lent látható táblázat tünteti fel.

Járjunk el hasonlóképpen a csupa 3-assal és a csupa 9-essel írt számokkal! Ezeknek az eredményeit is láthatjuk.

5. Az érdekességek további sorolása helyett vegyük most közelebbről szemügyre, hogy min is alapszanak a felsorolt jelenségek. Hogyan találhatunk tökéletes, ill. barátságos számokat, folytatódnak-e az utoljára felírt táblázatokban talált szabályszerűségek? Tudunk-e további hasonló táblázatokat készíteni?

Kezdjük az utolsó példával! Vajon igaz-e, hogy az öt 9-essel írt 99 999

99 999 számot megszorozva önmagával 9 999 800 001 9 999 800 001 számot kapjuk? A 99 999 99 999 egy híján 100 000 100 000 . Vele tehát úgy is szorozhatunk, hogy a szorzandó 100 000 100 000 -szereséből egyszer levonjuk a szorzandót. Ha ezt a 99 999 99 999 szorzandóval végezzük, könnyen láthatóan a várt eredményre jutunk:

Az is világos, hogy ez a szabályosság nem múlott azon, hogy éppen öt jeggyel írt számot szoroztunk meg önmagával. Hasonló lesz az eredmény, akárhány 9-essel írt számmal végezzük is el ugyanezt.

Hasonlóan adhatunk magyarázatot a csupa 3-assal írt számok szorzatára is. Egy szorzatot tekinthetünk olyan összegnek, amelynek minden tagja a szorzandó, a tagok száma pedig a szorzóval egyenlő. Ha a szorzandó pl. 33 333

33 333 , akkora minden tagot három 11 111 11 111 -es tag összegére bonthatunk, és így a tagok száma háromszor annyi lesz, mint előzőleg, azaz esetünkben 99 999 99 999 . Az imént láttuk azonban, hogyan szorozhatunk egyszerűen ezzel a számmal. Ugyanazzal a meggondolással most a következő számításhoz jutunk.

Ismét világos, hogy hasonlóan járhatunk el, akárhány hármassal írt számból indulunk is ki és hasonló eredményre is jutunk.

Rendkívül egyszerű az 1-esekkel írt számok önmagukkal való szorzásakor talált szabályszerűség magyarázata. Válasszuk példának ismét az ötjegyű 11 111

11 111 számot! A szorzást a szokásos módon végezzük, minden részletszorzat öt 1-esből áll, rendre egy-egy jeggyel jobbra írva. Így az utolsó részletszorzat első jegye az első részletszorzat – maga a szorzandó – utolsó jegye alá kerül. Ebben az oszlopban tehát annyi 1-es van, ahány 1-es magában a szorzandóban (ill. a szorzóban); ettől jobbra, balra pedig rendre eggyel csökken az 1-esek száma.

Ez a szabályszerűség már nem marad meg akárhány jegyű számokra, mert ha valamelyik oszlopban 9-nél több 1-es gyűlik össze, akkor ebből átvitel adódik, és ez megbontja az eredmény jegyeinek szabályszerűségét. Ha 10 helyett egy nagyobb alapszámú számrendszerben végezzük a számítást[11] akkor többjegyű számokig marad fenn hasonló szabályszerűség, azonban mindig csak kevesebb 1-essel írt számokra lesz érvényes, mint amekkora a számrendszer alapszáma. Azt is érdemes megnézni, hogy az előbbi szabályosságok még milyen más alapú számrendszerben jelentkeznek. Ajánljuk az olvasónak, hogy próbáljon más számrendszerekben is keresni hasonló tulajdonságot mutató számokat.

6. Visszatérve a 10-es számrendszerhez, szorozzunk meg önmagukkal csupa 6-ossal írt számokat. A jelentkező szabályosságot nem nehéz az előbbiek mintájára igazolni.

Még egyszerűbb szabályosság adódik, ha megnöveljük egygyel a csupa hármassal, ill. a csupa hatossal írt számokat és ezeket szorozzuk önmagukkal. Az eredményt táblázatban foglaltuk össze:

Megint nem túl nehéz a fellépő szabályszerűségek igazolása a korábban talált eredmények segítségül vételével. Csak azt kell meggondolni, mennyivel növekszik a szorzat, ha mindkét tényezőjét 1-gyel növeljük. Pl.

3334⋅3334=3334⋅3333+3334=3333⋅3333+3333+3334= =11 108 889+1111+5556=11 115 556.
3334 3334 = 3334 3333 + 3334 = 3333 3333 + 3333 + 3334 = = 11 108 889 + 1111 + 5556 = 11 115 556 .

7. Nézzük meg most a főnixszámokat! Milyen szabályszerűséget találhatunk a 142 857

142 857 számban? Feltűnhet pl., hogy a középső két jegyből alkotott 28-as szám az előtte álló 14 kétszerese, az utána álló 57 pedig a 28 kétszeresénél 1-gyel nagyobb. Vajon a hasonló szabályszerűség alapján képezett 234 693 234 693 főnixszám lesz-e?

234 693⋅1 =234 693 234 693⋅2 =469 386 234 693⋅3 =704 079.
234 693 1 = 234 693 234 693 2 = 469 386 234 693 3 = 704 079 .

Amint látjuk, a szám kétszeresénél még kezdődik valami hasonló szabályszerűség, az utolsó jegyekben azonban már elromlik, a háromszorosnál pedig már semmi szabályosságot sem fedezhetünk fel. Az okot tehát mélyebben kell keresnünk. Számítsuk ki főnixszámunk következő többszörösét:

142 857⋅7=999 999.
142 857 7 = 999 999 .

Így a hat 9-essel írott számhoz jutunk. Ez már mutat valami érdekességet. Ha ehhez egyet hozzáadunk, 1 000 000

1 000 000 -t kapunk. Ez más szóval azt jelenti, hogy az egymillió 7-tel való osztásakor a hatodik osztás után újra 1 a maradék. Egészen hasonló lesz a helyzet, ha nem 1 000 000 1 000 000 -t, hanem 1-et osztunk 7-tel, mindössze annyi különbséggel, hogy az osztást egy 0 leírásával és utána tizedesvessző kitételével kell kezdeni. Valóban akár 1, akár 1 000 000 1 000 000 az osztandó, az eljárás ugyanaz; minden egyes maradék után 0-t írunk és így osztunk tovább. A hatodik lépés után újra 1-et kapunk maradékul, ekkor azonban a továbbiakban a korábbi maradékok ismétlődnek ugyanabban a sorrendben, és így a hányados jegyei is periodikusan ismétlődnek: periodikus (szakaszos) tizedestörthöz jutunk, amelynek szakasza éppen főnixszámunk.

Nem minden egész szám reciprokának tizedestört alakja szolgáltat azonban főnixszámot, hiszen az (1/2)=0,5

1 2 = 0,5 az 5 számot adja, és ez nem főnixszám. Igaz ugyan, hogy az (1/2) 1 2 esetében nem jutottunk periodikus tizedestörtre, de ugyancsak nem főnixszám az (1/3)=0,3333… 1 3 = 0,3333 számból adódó 3-as szám, valamint a (10/99) 10 99 szakaszából adódó 10-es szám sem.

Tegyünk próbát az (1/13)

1 13 szakaszát alkotó 076 923 076 923 számmal! Első 13 többszörösét alább láthatjuk.

Bár ismét nem kaptunk főnixszámot, a felírt táblázat mégis mutat valami hasonló érdekes jelenséget. A 12-szeresig haladva a szorzatok fele mutatja a főnixszámoknál talált szabályosságot. (Ezek a táblázatban kövéren vannak szedve.) A másik részük azonban a kétszeresnél először fellépő szorzat jegyeiből keletkezik hasonló szabályosság szerint, mint a többi szorzat az eredeti számból.

(A szám 13-szorosa itt is a hat 9-essel írt szám, hiszen a hatodik részletmaradék 1, vagyis 13-nak a 76 923

76 923 -szorosa 1-gyel kisebb az 1-es után hat 0-val írt számnál, a milliónál.) Nem is várható azonban, hogy mindegyik szorzat az eredeti számból keletkezzék úgy, hogy a jegyek egymás közötti sorrendjét nem változtatjuk, csak más számjegynél kezdjük írni; ehhez ugyanis 12 jegyre volna szükség, számunk pedig csak hatjegyű.

8. Tehát egy szám reciprokának tizedestört alakja akkor ad főnixszámot, ha ez a tizedestört periodikus és periódusa 1-gyel kevesebb jegyből áll, mint az a szám, amelynek reciprokát vettük. A 7 után először a 17 rendelkezik ezzel a tulajdonsággal: reciproka periodikus tizedestört és szakasza 16 jegyű. Ez a szakasz valóban főnixszámot is szolgáltat, ha a szakasz elején álló 0-t is hozzászámítjuk a számhoz, amint azt már az (1/13)

1 13 esetében is tettük:

0 588 235 294 117 647⋅2 =1 176 470 588 235 294 0 588 235 294 117 647⋅3 =1 764 705 882 352 941 0 588 235 294 117 647⋅4 =2 352 941 176 470 588.
0 588 235 294 117 647 2 = 1 176 470 588 235 294 0 588 235 294 117 647 3 = 1 764 705 882 352 941 0 588 235 294 117 647 4 = 2 352 941 176 470 588 .

Csak az első néhány többszöröst írtuk fel, azonban a többszörösök kiszámítása nélkül is – ami igen hosszadalmas munka volna – meggyőződhetünk arról, hogy így valóban főnixszámot kaptunk. A szakasz ugyanis ott fog befejeződni, ahol először kapunk az osztás folyamán olyan maradékot, amely már korábban is előfordult. Ha azonban 17-tel osztunk és az osztás maradék nélkül nem végezhető el, akkor csak az 1, 2, 3, …, 14, 15 és végül 16 léphet fel maradékul, tehát összesen 16 szám. Ha tehát 16 jegyű szakaszt kaptunk, akkor 16 különböző maradéknak kellett fellépnie, tehát minden lehetséges maradéknak. (A fenti osztásban a „levett” 0-kat kisebb jeggyel írtuk, és a hányados 0 jegyéhez tartozó 10 maradékot is újra leírtuk, hogy világosan látható legyen a 16 különböző maradék.)

Ha most az (1/17)

1 17 helyett pl. a (11/17) 11 17 -et vesszük, ez egyrészt az (1/17) 1 17 11-szerese. Másrészt, ha ezt tizedestörtté alakítjuk, ugyanazt a számítást végezzük, amelyet az (1/17) 1 17 tizedestörtté alakításakor végeztünk az abban is fellépő 11 maradéktól kezdve. Azok a jegyek következnek a hányadosban, és azok a maradékok, amelyek az (1/17) 1 17 átalakításakor a 11 maradéktól kezdve léptek fel, egészen addig, amíg az 1 maradékhoz nem jutunk, ezután pedig azok a maradékok és így a hányadosnak is azok a jegyei következnek, amelyek az (1/17) 1 17 osztás elején léptek fel, amíg csak meg nem ismétlődik a 11 maradék. Ismét periodikus tizedestört lesz tehát az eredmény, és ennek a szakasza ugyanazokból a jegyekből áll ugyanabban a sorrendben, mint az (1/17) 1 17 szakasza, csak más számjeggyel kezdődik. Az így kapott szám, mint már említettük, az (1/17) 1 17 szakaszából adódó szám 11-szerese.

Hasonló meggondolással láthatjuk be, hogy a szám 16-szorosáig mindegyik többszörös ugyanazokból a jegyekből áll ugyanabban a sorrendben, mint az eredeti szám, csak más jeggyel kezdve, és ha a szám végére értünk, akkor az elején álló jegyeket kell utána írni ismét az eredeti sorrendben. Ezzel beláttuk, hogy az (1/17)

1 17 szakasza valóban főnixszámot szolgáltat.

Valószínűnek látszik, hogy végtelen sok főnixszám létezik, ezt azonban nem sikerült ez ideig sem bebizonyítani, sem megcáfolni.

9. Térjünk most vissza a tökéletes és barátságos számokra! Az már Euklidésznél megtalálható, hogy ha p

p olyan természetes szám, amelyre teljesül, hogy 2-nek a p p -edik hatványából egyet levonva prímszámot kapunk, akkor ennek a prímszámnak a 2^(p–1) 2 p 1 -szerese tökéletes számot szolgáltat. Ha p=2 p = 2 , 3, 5, 7, akkor éppen a felsorolt tökéletes számokat kapjuk. Más alakúak nem is ismertek, ennek ellenére csak 2000 évvel később Eulernak sikerült bebizonyítania, hogy az összes páros tökéletes szám ilyen alakú.

Páratlan tökéletes számot eddig nem találtak, és nem is látszik valószínűnek, hogy léteznék. Ezt azonban eddig nem sikerült bebizonyítani. Mindenesetre Euler és utána sokan mások különböző feltételeket találtak, amelyeket a páratlan tökéletes számoknak ki kell elégíteniük, ha vannak ilyenek; például egy páratlan tökéletes számnak legalább 6 különböző prímosztója kell hogy legyen, és a legnagyobb kitevő, amelyre egy prímosztót hatványozva még a hatvány is osztója a számnak, egy prímosztó esetében páratlan, a többi esetében páros (tehát legalább 2).

A legkisebb szám is, ami az eddig ismert feltételek mindegyikét kielégíti, már csillagászati nagyságú. Ez is arra utal, hogy páratlan tökéletes szám létezése valószínűtlen.

Az elmondott tények bizonyítása nem igényel ugyan nagyon mély matematikai ismereteket, de egy keveset mégis, legalábbis ismerni kell a bizonyításokhoz a számelmélet alaptételét.[12] Ez azt mondja ki, hogy minden, 1-nél nagyobb egész szám vagy prím, vagy felbontható véges sok prímszám szorzatára, és bármilyen módon jutunk el egy ilyen felbontáshoz, mindig ugyanazok a prímek fognak benne szerepelni, mégpedig mindegyik ugyanannyiszor. Ez a tétel módot ad pl. esetünkben egy szám összes osztójának az áttekintésére, és ennek alapján az osztók összegének meghatározására. A bizonyítás további részleteibe azonban, amelyek nem egyszer hosszadalmas számolással is járnak, e helyen nem bocsátkozunk bele.

10. Azt mondhatjuk, hogy még kevesebbet tudunk a barátságos számokról. Ismét rég ismeretes az, hogy ha képezünk egy számsorozatot az 5-tel mint első taggal, majd minden további szám az előző kétszeresénél 1-gyel nagyobb, ezután egy második sorozatot a 17-ből indulva, és minden szám után annak 4-szeresénél 3-mal nagyobb számot írva, akkor a következő módon találhatunk barátságos számpárt. Ha az első sorozatban az n–1

n 1 -edik és n n -edik szám prím, és a második sorozatban is az n n -edik prím, akkor az első sorozat talált két prímszámának a szorzatát 2^n 2 n -nel szorozva, és a második sorozatban talált prímszámnak ugyancsak a 2^n 2 n -szeresét véve, barátságos számpárt kapunk:

4⋅5⋅11 =220 4⋅71 =284
4 5 11 = 220 4 71 = 284

16⋅23⋅47 =17 296 16⋅1151 =18 416
16 23 47 = 17 296 16 1151 = 18 416

128⋅191⋅383 =9 363 584 128⋅73 727 =9 437 056.
128 191 383 = 9 363 584 128 73 727 = 9 437 056 .

A prímszámokat aláhúzással jelöltük meg. Az első sor következő 6 száma közül csak a negyedik prím, a másodikban viszont a 15. szám osztható 7-tel, így legfeljebb az első sorozat 15. és 16. számából kiindulva kaphatunk újra barátságos számokat; ezek már felül vannak az ezer billión.

Itt már láthatóan nem áll az, hogy az ismert barátságos számpárok mind az említett módon keletkeztek volna. A korábban felsoroltak között is találunk ezektől eltérő szerkezetűt. Viszont másfelől azt sem tudjuk, hogy az előbb leírt két sorozatban előfordul-e végtelen sok prímszám, s ennek megfelelően azt sem, hogy van-e végtelen sok, az előbb leírt módon származtatható barátságos számpár. Azt sem tudjuk továbbá, hogy van-e végtelen sok barátságos számpár; nem tudjuk, alkothat-e egy páros és egy páratlan szám barátságos számpárt, még kevésbé azt, hogy állhat-e egy ilyen számpár két olyan számból, amelyeknek nincs 1-nél nagyobb közös osztója.

Hasonlóképpen az sem ismeretes, hogy van-e végtelen sok 2^p–1

2 p 1 alakú prímszám. Így azt sem tudjuk, hogy végtelen sok páros tökéletes szám van-e vagy csak véges számú. A 2^p–1 2 p 1 alakú prímeket Mersenne-féle prímeknek szokás nevezni. Azt nem nehéz belátni, hogy egy ilyen alakú szám csak akkor lehet prím, ha a p p kitevő is prímszám. Viszont az már nem igaz, hogy ilyen módon minden p p prím kitevőre prímszámot kapnánk. Pl. a p=11 p = 11 esetben

2^(11)–1=2047=23⋅89.
2 11 1 = 2047 = 23 89 .

Különösen az elektronikus számítógépek elterjedése óta sikerült eldönteni sok csillagászatian nagy Mersenne-számról, hogy prím-e vagy sem. Az eddig ismert legnagyobb Mersenne-féle prím (1998 áprilisi adat): 2^(3 021 377)–1

2 3 021 377 1 . Ez több, mint 909 500 909 500 jegyű. Az ezzel képezhető tökéletes számmal együtt jelenleg 37 tökéletes szám ismeretes.[13] Mindez azonban nem ad további felvilágosítást abban a tekintetben, hogy végtelen sok Mersenne-féle prím van-e vagy csak véges számú. Természetesen ilyen módon azt sem tudjuk, hogy van-e végtelen sok páros tökéletes szám vagy sem.

Kézenfekvő ezek után felvetni azt a kérdést, hogy akadnak-e prímek a 2^n+1

2 n + 1 alakú számok között, és melyek, ill. mennyien. Itt viszont azt lehet megállapítani az n n kitevőről, hogy annak is 2 hatványának kell lennie. Fermat úgy sejtette, hogy 2 bármilyen hatványát választva kitevőnek, prímszámhoz jutunk. Ez a sejtés nem bizonyult helyesnek, mert Euler megmutatta, hogy ha a 32=2^5 32 = 2 5 kitevőt vesszük, akkor már összetett számhoz jutunk:

2^2^5+1=4 294 967 297=641⋅6 700 417.
2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417 .

Megvizsgálták azóta 2 számos magasabb hatványát és az derült ki, hogy a hozzájuk tartozó Fermat-számok nem prímek. Nem tudjuk azonban, hogy van-e további Fermat-féle prím, noha az sincs kizárva, hogy végtelen sok legyen.

A Fermat-féle prímek érdekességét nagyban megnövelte az, hogy – másfél évszázaddal későbben – Gauss munkássága nyomán kiderült, hogy prím oldalszámú szabályos sokszöget csak akkor szerkeszthetünk körzővel és vonalzóval, ha az oldalszám Fermat-prím. Ebből már könnyen tárgyalható az összetett oldalszámú sokszögek szerkeszthetősége.

11. Már az eddigiekben is láttuk, hogy egy szám sok különböző szempontból lehet érdekes. Azt gondolhatná az ember, hogy minden számnak van valamilyen érdekessége. Ezt mutatja a következő történet is. Egy Ramanuyan nevű hindu matematikust meglátogatott egyszer egy barátja és érkezésekor megjegyezte, hogy az A 1729 rendszámú taxin érkezett oda. „Úgy gondolom – tette hozzá –, hogy ennek a számnak nincs semmi különösebb érdekessége.” Ramanuyan, aki nagy ismerője volt a számok tulajdonságainak, azonnal azt felelte: „Tévedsz, ez a legkisebb olyan szám, amelyik két különböző módon írható föl két harmadik hatvány összegeként.” Valóban:

1729=1728+1=12^3+1^3=1000+729=10^3+9^3.
1729 = 1728 + 1 = 12 3 + 1 3 = 1000 + 729 = 10 3 + 9 3 .

Felírva az első 12 köbszámot, és sorra hozzáadva mindegyiket az előzőkhöz és önmagához, láthatjuk, hogy a kisebb összegek mindegyike csak egyféleképpen jön létre. Nem is téved, aki úgy véli, hogy minden szám érdekes szám. Könnyen beláthatjuk matematikai szigorúsággal, hogy ez nem lehet másképp.

Előrebocsátjuk, hogy amikor érdekes számokról beszéltünk, mindig pozitív egész számokra gondoltunk. Ha nem volna minden pozitív egész szám érdekes, akkor a nem érdekes számok között volna egy legkisebb. Ámde a legkisebb nem érdekes számnak lenni, ez már magában nem csekély érdekesség. Így viszont máris ellentmondásba jutottunk azzal, hogy ez a szám nem volna érdekes szám.

Az okoskodás egészen logikus, mégis kifogás merül fel ellene. Akkor volna elfogadható bizonyításnak, ha egyértelműen meghatározható volna az, hogy mikor érdekes egy szám. Bizonyára akad olyan ember is, akinek szám eleve nem lehet érdekes. De ezen túl is, különböző emberek véleménye messzemenően eltér abban, hogy ki mikor tart egy számot érdekesnek, mikor kevésbé érdekesnek. De nem is úgy vetődik fel a kérdés, hogy ez a szám érdekes, ez már nem érdekes, hanem az egyik nagyon érdekes, egy másik nem annyira, egy harmadik már egyáltalán nem. Így a fenti gondolatmenetet sem tekinthetjük bizonyításnak, hiszen az a tulajdonság, amiről be akartunk látni valamit, maga is nagymértékben határozatlan.

Annyit esetleg kiolvashatunk az okoskodásból, hogy minden számban található valami érdekesség, ez viszont olyan határozatlan állítás, ami bizonyítás nélkül is nyugodtan elfogadható.

12. Nem akarom egyre erőszakoltabb tulajdonságokra rásütni az „érdekes” jelzőt, így mindössze két számféleséget említek még meg. Gyakran hallani pythagoraszi számhármasokról. Ismeretes, hogy egy derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területének összege az átfogó fölé rajzolt négyzet területével egyenlő. Ez az itt következő ábrákból is könnyen leolvasható.

Az első ábrán a derékszögű háromszög két befogójára emelt négyzetből álló idomban a háromszöget feltoljuk és alatta még egy háromszöget helyezünk el 90^∘

90 -kal elforgatva (2. ábra). Ezután a háromszögeket a megjelölt pontok körül 270^∘ 270 -kal elforgatva az idomot az átfogó fölé rajzolt négyzetté alakíthatjuk át (3. ábra).

Már a görögöket érdekelte az, hogy van-e olyan derékszögű háromszög, amelyik oldalainak mérőszáma egész szám. Az ilyen háromszög oldalainak hosszát kifejező számhármast nevezik pythagoraszi számhármasnak. Kiderült, hogy végtelen sok ilyen van, megadható három formula: az x=r⋅2uv

x = r 2 u v , y=r⋅(u^2–v^2) y = r ( u 2 v 2 ) , z=r⋅(u^2+v^2) z = r ( u 2 + v 2 ) számok minden pythagoraszi számhármast előállítanak, ha r r tetszés szerinti természetes szám, u u és v v pedig olyan természetes számok, amelyek közül az első a nagyobbik, nincs 1-nél nagyobb közös osztójuk és az egyik páros, a másik páratlan. Az alábbi táblázat néhány, az r=1 r = 1 esetnek megfelelő, ún. pythagoraszi alaphármast tartalmaz:

Megfigyelhetjük, hogy bármelyik hármas számainak szorzata osztható 60-nal. Belátható, hogy ez teljesül bármelyik pythagoraszi számhármasra.

Visszatérve formuláinkra, azt könnyű kiszámolni, hogy az első két kifejezés négyzetének összege a harmadik kifejezés négyzetét adja, akármilyen számokat jelentenek is a bennük levő betűk. Az is világos, hogy ha a betűk egész számot jelentenek, akkor a kifejezések értéke is egész lesz. Annak bizonyítása, hogy már akkor is megkapunk minden pythagoraszi számhármast, ha a betűk az előbb mondott feltételeknek eleget tevő egészeken futnak végig, ismét a számelmélet alaptételére építhető fel; ennek részleteivel azonban nem kívánok itt foglalkozni.

13. Ismeretes, hogy az egész középkoron át a matematika nem fejlődött lényegesen. A matematikai tevékenység főként egyes számolóművészek mutatványaira szorítkozott. Ezeknek az ismereteiről viszont keveset tudunk, hiszen ismereteiket igyekeztek titokban tartani, nehogy vetélytársaik ellessék azokat, és ennek révén fölébük kerekedjenek. A feladatokból, amelyekkel foglalkoztak és megoldásaikból azonban nyilvánvaló, hogy ismerniök kellett valamilyen formában a pythagoraszi számhármasokat, mert gyakran használták azokat meggondolásaikban.

Ennek a hosszú korszaknak egyik kimagasló tehetségű matematikusa volt Fibonacci, más néven Leonardo Pisano (a pisai Lénárd, Bonaccio fia); mint számolóművész is legendás hírre tett szert. Fiatal korában apjával Keleten járva megismerkedett a helyiérték-rendszeren alapuló arab számírással és hazatérve annak első propagátora volt Európában. Neve különösen a Fibonacci-féle számsorozatról közismert. Ennek első és második száma 1, a továbbiakat pedig úgy számítjuk ki, hogy az előző két szám összegét vesszük. Ha tehát a sorozat n

n -edik számát u_n u n -nel jelöljük, akkor a sorozat képzési szabályát az

u_(n+2)=u_n+u_(n+1), u_1=u_2=1
u n + 2 = u n + u n + 1 , u 1 = u 2 = 1

formula fejezi ki. A sorozat első néhány száma:

A számsorozat felírt tagjai alá odaírtuk az addig terjedő számok összegét is. Ha összehasonlítjuk a két sorozatot, észrevesszük, hogy az alsó sor csupa 1-gyel kisebb számból áll, mint a felső sor a harmadik számtól kezdve. Ha megfigyelésünk helyes, akkor ez azt jelenti, hogy a sorozat első n

n számának összege 1-gyel kisebb a sorozat (n+2) ( n + 2 ) -edik számánál. Ennek az észrevételnek a helyességét nem nehéz belátni. Fel kell csak írni a sorozat egymás utáni számait a harmadiktól az (n+2) ( n + 2 ) -edikig, mindegyiket a képzési szabály szerint az előző két taggal kifejezve. Ha számainkat összeadjuk, a jobb oldal első oszlopából éppen

az első n

n Fibonacci-szám összegét kapjuk. A jobb oldal második oszlopa a bal oldali oszloptól csak annyiban különbözik, hogy egy taggal előbb kezdődik és egy taggal előbb fejeződik be. Így a jobb oldali első oszlop összege a bal oldalon fellépő utolsó tagnál a jobb oldal második oszlopában álló első taggal, vagyis a Fibonacci-sorozat második tagjával kisebb, ez a tag azonban 1. Ezzel be is láttuk az észrevett szabályosság helyes voltát.

A Fibonacci-számoknak sok további érdekessége állapítható meg. Belátható pl. hogy az egyjegyű Fibonacci-számok kivételével mindig vagy négy, vagy öt egymás utáni Fibonacci-szám áll ugyanannyi jegyből. Ha megnézzük a felírt Fibonacci-számokat, azok között egy négyzetszámot találunk, a 144-et. Több nem is fordul elő a sorozatban, ennek bizonyítása azonban igen nehéz. Azt viszont nem nehéz belátni – megfelelő számelméleti alapismeretekkel –, hogy bármely két Fibonacci-szám legnagyobb közös osztója szintén Fibonacci-szám, mégpedig az, amelynek sorszáma a két Fibonacci-szám sorszámának legnagyobb közös osztója. Azt is be lehet bizonyítani, hogy bármely egész számnak van többszöröse a Fibonacci-számok között. A legkisebb ilyen Fibonacci-szám sorszámára azonban csak felső korlátot sikerült megadni, általában sikerül találni jóval kisebb sorszámú Fibonacci-számot is, amelyik az adott számnak többszöröse.

Lehetne még folytatni a felsorolt számok tulajdonságait, még inkább az érdekes számok sorozatát, annyi azonban talán az elmondottakból is látszik már, hogy sok szempontból vizsgálhatjuk a számok érdekességét, és eközben tetszetős összefüggések mellett számos, eddig még megoldatlan problémára is bukkanunk.



[10] 41 (2004. május óta)

[11] Lásd Erdős P. és Surányi J.: Válogatott fejezetek a számelméletből, Polygon, 1996., Szeged, 7-9. old.

[12] Lásd. pl. Erdős P. és Surányi J. idézett könyve I. fejezet 15–17. old., továbbá tökéletes számokkal kapcsolatban VIII. fejezet 262–264-ig és 267–270-ig; vagy Faragó L.: A számelmélet elemei (szakköri füzet), Tankönyvkiadó, 1954., Budapest. III. fejezet, 28–33. old.

[13] 2004. május óta 41 tökéletes számot ismerünk, a legnagyobb 2^(24 036 583)–1

2 24 036 583 1 , ez már több, mint 7 millió jegyű.