Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

EGYENLETES ELOSZLÁS ELŐÁLLÍTÁSA GALTON-DESZKÁVAL

EGYENLETES ELOSZLÁS ELŐÁLLÍTÁSA GALTON-DESZKÁVAL

Legyen most a Galton-deszka ismét szabályos, és módosítsuk a következőképpen: az N

N -edik éksortól kezdve (az éksorok számozását kezdjük most 0-val) vágjuk le a Galton-deszkát a két „szélén” úgy, hogy ettől kezdve az összes további sorban az ékek száma felváltva N+1 N + 1 , ill. N N legyen (mivel az éksorok számozását 0-val kezdtük, az N N -edik éksorban most nyilván N+1 N + 1 ék van) és tegyük fel, hogy még igen sok további éksort tartalmaz Galton-deszkánk (l. 4. ábra).

Határozzuk meg ennél a módosított Galton-deszkánál, hogyan oszlanak meg a golyók a tartályokban. Jelentse ξ_n

ξ n a golyó helyzetét, vagyis a Galton-deszka tengelyétől való vízszintes távolságát az n n -edik szögsor elérésének pillanatában. (Egységnek itt most két, egy sorban levő szomszédos ék távolságának felét vesszük.) (ξ_0=0) ( ξ 0 = 0 ) . A ξ_n ξ n változók Markov-láncot alkotnak. Itt most a lehetséges állapotok egy leengedett golyó lehetséges helyzetei, vagyis az n n -edik szögsor elérésének pillanatában a lehetséges A_j A j állapotok azt jelentik, hogy a golyó a Galton-deszka tengelyétől az n n -edik éksorra érve j j távolságra van (–N≤j≤N) ( N j N ) . Könnyű látni, hogy ha n n páros, akkor ξ_n ξ n is páros; ha n n páratlan, akkor ξ_n ξ n is páratlan. Az átmenet-valószínűségek n n -től nem függnek, jelen esetben is homogén Markov-lánccal van dolgunk.

P_(j,j+1)=P(ξ_(n+1)=j+1∣ξ_n=j) =(1/2), ha –NljlN, P_(j,j–1) =(1/2), ha –NljlN; és P_(–N,–N+1) =1 és P_(N,N–1)=1;
P j , j + 1 = P ( ξ n + 1 = j + 1 ξ n = j ) = 1 2 , ha  N l j l N , P j , j 1 = 1 2 , ha  N l j l N ;  és P N , N + 1 = 1 és  P N , N 1 = 1 ;

minden más j

j , k k -ra P_(jk)=0 P j k = 0 .

Meg lehet mutatni a Markov-láncok elméletének néhány egyszerű tételét felhasználva, hogy akármilyen N

N esetén, ha az összes sor száma páros és elég nagy, akkor minden tartályban kb. ugyanannyi golyó lesz. Ha a sorok száma viszont páratlan és elég nagy szám, akkor a két szélső tartályt kivéve a többi tartályban kb. ugyanannyi golyó lesz, a két szélsőben pedig feleannyi, mint a középső tartályokban. A kísérleti eredmények igen jó egyezést mutatnak az elméletivel.

Ezzel a módosítással tehát a Galton-deszkával sikerült ún. egyenletes eloszlást létrehozni.

További alkalmazásokra és a Galton-deszka különféle módosításaira nézve utalunk a [4], [6], [8], [9] munkákra.