Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

A GALTON-DESZKA ÉS A MARKOV-LÁNCOK

A GALTON-DESZKA ÉS A MARKOV-LÁNCOK

A Galton-deszkával a Markov-láncok fogalmát is szemléltethetjük. Ha ui. az eredeti, szöges Galton-deszkát használjuk (vagy az ékekből álló Galton-deszkán megkopnak az ékek), akkor el kell ejtenünk azt a feltevésünket, hogy az egyes sorokon való ütközéseknél létrejövő eltérítések függetlenek egymástól. Ebben az esetben ezek ún. Markov-láncot alkotnak.

Az olyan kísérletsorozatokat, ahol az (n+1)

( n + 1 ) -edik kísérlet eredménye csak az n n -edik kísérlet eredményétől függ, azonban az első, második, …, (n–1) ( n 1 ) -edik kísérlet eredményétől közvetlenül nem függ, csak közvetve azáltal, hogy ezek befolyásolták az n n -edik kísérlet eredményét, Markov-láncnak nevezzük. Pontosabban, ha egy kísérlet lehetséges eredményei az A_0 A 0 , A_1 A 1 , A_2 A 2 , …események, a kísérletsorozat akkor alkot Markov-féle láncot, ha a mellett a feltevés mellett, hogy bizonyos előző kísérletek megadott eredményre vezettek, annak a feltételes valószínűsége, hogy az n+1 n + 1 -edik kísérlet eredménye mondjuk az A_k A k esemény, csak a legutolsó adott eredményű kísérlet eredményétől függ. Valószínűségi változók sorozatára is értelmezhetjük a fogalmat. Jellemezze az n n -edik kísérlet eredményét a ξ_n ξ n valószínűségi változó, és legyen a ξ_n=k ξ n = k , ha az n n -edik kísérlet eredménye az A_k A k esemény (n=1,2,…;k=0,1,2,…) ( n = 1 , 2 , ; k = 0 , 1 , 2 , ) . Feltételünket képlettel így adhatjuk meg:

P(ξ_(n+1)=k∣ξ_1=j_1,ξ_2=j_2,…,ξ_n=j_n)=
P ( ξ n + 1 = k ξ 1 = j 1 , ξ 2 = j 2 , , ξ n = j n ) =

=P(ξ_(n+1)=k∣ξ_n=j_n).
= P ( ξ n + 1 = k ξ n = j n ) .

A P(ξ_(n+1)=k∣ξ_n=j_n)

P ( ξ n + 1 = k ξ n = j n ) feltételes valószínűséget egylépéses átmenet-valószínűségnek nevezzük, ugyanis az A_j A j -ből az A_k A k -ba való „átmenet” egy lépésben való létrejöttének a valószínűségét adja meg. A rövidség kedvéért vezessük be erre a P_(jk)^n P j k n jelölést. Az olyan Markov-láncokat, amelyeknél az átmenet-valószínűség nem függ az n n -től (ekkor tehát jelölhetjük P_(jk) P j k -val), homogén Markov-láncnak nevezzük. Ha a kísérleteket időben egymás után végbemenőknek képzeljük, az n=1,2,… n = 1 , 2 , index jelenti az időpontokat, akkor tehát ξ_n ξ n az n n időpontban végrehajtott kísérlet eredményét jelenti. Az A_0 A 0 , A_1 A 1 , A_2 A 2 , …eseményeket pedig állapotoknak szokás nevezni.

A Galton-deszka esetében az időpontoknak a sorok felelnek meg, az állapotoknak pedig a balra, ill. jobbra térés (A_0,A_1)

( A 0 , A 1 ) . Legyen most ξ_n=0 ξ n = 0 vagy 1 aszerint, hogy az n n -edik éksoron ütközve balra vagy jobbra tér-e el egy legurított golyó, akkor azt mondhatjuk, hogy a ξ_n ξ n valószínűségi változók sorozata Markov-láncot (mégpedig homogén Markov-láncot) alkot. Itt az átmenet-valószínűségeket tehát jelölhetjük P_(00) P 00 , P_(01) P 01 , P_(10) P 10 , P_(11) P 11 -el. Tehát pl. P_(10) P 10 a balra térés valószínűsége, feltéve hogy az előző sorban jobbra térés történt. Feltehető, hogy P_(01)=P_(10) P 01 = P 10 és P_(00)=P_(11) P 00 = P 11 .

A ξ_1+ξ_2+…+ξ_N

ξ 1 + ξ 2 + + ξ N megadja, hogy az N N éksorú Galton-deszkán legurítva egy golyót, az hányadik tartályba jut. Érdekes megfigyelni, hogy a golyók a tartályokban ebben az esetben is a Gauss-féle görbének megfelelően oszlanak el, ami a Markov-láncok elméletéből jól ismert tétel kísérleti alátámasztása. Ekkor azonban, attól függően, hogy P_(01)l(1/2) P 01 l 1 2 vagy P_(01)g(1/2) P 01 g 1 2 , a görbe lapultabb vagy „csúcsosabb” lesz, mint a P_(01)=(1/2) P 01 = 1 2 esetben.