Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

A GALTON-DESZKA LEÍRÁSA

A GALTON-DESZKA LEÍRÁSA

A Galton-deszka eredeti alakjában olyan deszka, amelyre egymással párhuzamos sorokba rendezett szögek vannak elhelyezve (szögsorok), mégpedig úgy, hogy egy adott szögsor szögei mindig a megelőző sor szögei közti intervallumok középpontjai alá esnek egymástól egyenlő távolságban. Az általában függőlegesen vagy lejtősen felállított deszkára egy, az első szögsor középső szöge felé, a szögsorokra merőlegesen irányított tölcséren keresztül apró golyókat lehet bocsátani, amelyek átmérője egyforma és csak kevéssel kisebb, mint a szögek közti távolság. A leguruló golyók nekiütközve az első szögsor szögének, ott véletlenszerűen jobbra vagy balra térnek el. Akármelyik irányba is tért el egy leguruló golyó, a szögek közti „csatornákon” továbbjutva ismét beleütközik a következő szögsor valamelyik szögébe, ahol ismét véletlenszerűen jobbra vagy balra tér el s így tovább, míg végül a deszka utolsó szögsorán való ütközés után a golyó a deszka alján levő tartálysor valamelyik tartályába kerül. (1. ábra)

Ha kizárjuk azokat a fizikailag lehetséges eseteket, amikor egy golyó valamelyik szögnek ütközve, attól olyan nagy impulzussal pattan jobbra vagy balra, hogy nem az illető szög mellett közvetlenül elhelyezkedő „csatornák” egyikén folytatja útját a tartálysor felé, hanem egy távolabbi csatornán, akkor nyilvánvaló, hogy a leguruló golyók az egész deszkának csak egy szabályos háromszög alakú részében tartózkodhatnak egyáltalán, úgyhogy ha Galton-deszkáról beszélünk, mindig ilyen szabályos háromszög alakú szerkezetre gondolunk. A Galton-deszka szögsorai tehát rendre 1, 2, 3, 4…szöget tartalmaznak.

A továbbiakban feltesszük, hogy egy golyónak az egyes sorokon való jobbra, balra téréseit nem befolyásolja az a körülmény, hogy a megelőző soron jobbra vagy balra tért-e el, más szóval az az esemény, hogy mondjuk az i

i -edik sorban jobbra vagy balra tért-e el, független attól, hogy az (i–1) ( i 1 ) -edik sorban merre tért el. Mivel az ilyen szögekből álló Galton-deszka esetében ez a feltétel nem teljesül minden további nélkül, hanem a szögeken való ütközés olyan, hogy ha egy golyó valahol jobbra tért el, akkor a következő soron is „inkább” tér el jobbra, mint balra; ezért ennek kiküszöbölésére az eredeti szöges Galton-deszkán a következő módosítást végezték: egy-egy szög helyére három, közvetlenül egymás alatt elhelyezett szög került (2. ábra);

ezáltal a golyók ütközés után egy hosszabb csatornába kerülnek, ahol „lefékeződnek”, a következő ütközésig elvész az előző ütközés hatása, s az egyes ütközéseknél létrejövő eltérítések függetlensége már feltételezhető. Még nagyobb pontossággal érhető el e feltétel teljesülése, ha a szögek (ill. szöghármasok) helyén hatszög alakú ékek vannak (3. ábra). Ha a Galton-deszka szabályos (az ugyanabban a sorban levő ékek közti csatornák párhuzamosak a háromszög szimmetriatengelyével, minden ék a felette, ill. alatta levő csatorna középvonalába esik), akkor a golyók minden ütközésnél egyforma, vagyis (1/2)

1 2 (1/2) 1 2 valószínűséggel térnek el jobbra és balra. Egy golyó valamilyen véletlenszerű lefutását útnak fogjuk nevezni, az egyik sorból a másik sorba való jutást pedig lépésnek. A 3. ábra 10 éksorból álló Galton-deszkáján egy lehetséges véletlen utat ábrázoltunk.