Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

A HÉRÓN-FÉLE HÁROMSZÖKEGRŐL

A HÉRÓN-FÉLE HÁROMSZÖKEGRŐL

VADKERTY, TIBOR

HÓDI, ENDRE


Tartalom

IRODALOM

1. Az alábbiakban bizonyos háromszögek oldalainak, szögeinek, illetve területének mérőszámára vonatkozólag teszünk kijelentéseket. Egyszerűség – és rövidség – kedvéért egyrészt oldalak mérőszáma helyett csak oldalakat fogunk írni stb., másrészt pl. az oldalak mérőszámát ugyanazokkal a szimbólumokkal (betűkkel) jelöljük, mint magukat az oldalakat; hasonlóan járunk el a szögek és a terület esetében is. Az effajta pongyolaság egyébként szinte általánosan elterjedt a gyakorlatban.

2. Pitagorasz tétele (bármely derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével) legalább harmadfél ezer éve ismert, sőt [1] szerint a babiloniak több, mint 1000 évvel Pitagorasz előtt több numerikus példát tudtak ugyanerre az összefüggésre. Amit ezzel kapcsolatban mégis szeretnénk kiemelni, az a következő: geometriai úton könnyen bizonyítható, hogy Pitagorasz tétele minden derékszögű háromszögre érvényes, olyanra is, amelynek egyik oldala sem racionális; ilyen pl. a √2

2 , √3 3 és √5 5 oldalakkal rendelkező.

3. Legutóbbi mondatunkkal szembeállíthatjuk azt a feladatot, amelyet [2] az egyik legrégibb számelméleti problémának nevez:

Határozzuk meg az összes olyan derékszögű háromszöget, melyeknek oldalai egész számok, vagyis adjuk meg az

(1)
x^2+y^2=z^2
x 2 + y 2 = z 2

egyenlet pozitív egész megoldásait!

Hogy (1)-nek van megoldása a pozitív egész számok körében, arra legegyszerűbb példa az x=4

x = 4 , y=3 y = 3 , z=5 z = 5 , illetve rövidebb jelöléssel a (4, 3, 5) számhármas. Jogos tehát, hogy az (1) egyenletet kielégítő, pozitív egész számokból álló (x x , y y , z z ) számhármasokat pitagoraszi számhármasoknak, a nekik megfelelő derékszögű háromszögeket pedig még rövidebben P-háromszögeknek nevezzük.

Célszerű bevezetni még a primitív pitagoraszi számhármas fogalmát. Egy pitagoraszi számhármast akkor mondunk primitívnek, ha elemeinek nincs 1-nél nagyobb közös osztója. Könnyen belátható, hogy egy primitív pitagoraszi számhármas elemei páronként is viszonylagos törzsszámok. Világos továbbá, hogy ha (x

x , y y , z z ) primitív pitagoraszi számhármas, akkor (kx k x , ky k y , kz k z ) pitagoraszi számhármas, és megfordítva: ha (kx k x , ky k y , kz k z ) pitagoraszi számhármas, ahol k k egynél nagyobb egész szám, egyszersmind a kx k x , ky k y , kz k z számok legnagyobb közös osztója, akkor (x x , y y , z z ) primitív pitagoraszi számhármas.

[2]-ben azután megtalálható, hogy az (1) egyenletet azok és csak azok a primitív (x

x , y y , z z ) számhármasok elégítik ki, melyekre

(2)
x=2uv, y=u^2–v^2, z=u^2+v^2;
x = 2 u v , y = u 2 v 2 , z = u 2 + v 2 ;

ahol az u

u , v v pozitív egész számoknak a következő feltételeket kell teljesíteniük:

(3)
ugv, (u,v)=1, u≢v(mod 2).
u g v , ( u , v ) = 1 , u v ( mod  2 ) .

A fentebb mondottak értelmében így az (1) egyenletnek eleget tevő összes, pozitív egész számokból álló számhármast, vagyis az összes pitagoraszi számhármast – elvileg – elő tudjuk állítani, át tudjuk tekinteni őket, akkor is, ha már a primitív pitagoraszi számhármasokból is nyilvánvalóan (megszámlálhatóan) végtelen sok van.

A primitív P-háromszög fogalma önként adódik az előbbiek alapján. Könnyen belátható, hogy egyrészt nincs egyenlő szárú primitív P

P -háromszög, másrészt minden primitív P P -háromszög területe páros szám.

4. Ugyancsak [2]-nek 73. oldaláról idézzük a következőket:

„Megoldottuk a pitagoraszi háromszögek (P

P -háromszögek) meghatározásának problémáját. Ezután felvetődik az idevágó kérdések tanulmányozása. A problémakör egyik természetesen adódó kiterjesztése a Hérón alexandriai görög matematikusról elnevezett háromszögekhez (H H -háromszögek) kapcsolódik. Most is – mint az előzőkben – az oldalak egész számok, de az egyik szög 90^∘ 90 -os volta helyett azt kötjük ki, hogy a szóban forgó háromszög területe is egész szám legyen. Világos, hogy a P P -háromszögek egyszersmind H H -háromszögek is.

Egy adott háromszögről legegyszerűbb a

t=√(s(s–a)(s–b)(s–c))
t = s ( s a ) ( s b ) ( s c )

Hérón-féle területképlet – ahol a

a , b b és c c a háromszög oldalait, 2s 2 s pedig a kerületét jelöli – alkalmazásával dönteni el, hogy vajon H H -háromszög-e vagy sem. Bár elég sok Hérón-féle háromszögről tudunk, nincsen olyan általános képletünk, amely meghatározná az összes ilyen típusút. (Kiemelés e cikk szerzőitől.) Az első néhány (nem derékszögű) példa: a=20 a = 20 , b=15 b = 15 , c=7 c = 7 ; t=42 t = 42 , rövidebben: (20, 15, 7; 42), azután: (17, 10, 9; 36), (15, 14, 13; 84); (50, 41, 39; 780).”

5. Ennek a cikknek az a célja, hogy megadjon egy képletcsoporton alapuló eljárást, amellyel minden primitív H-háromszög előállítható, mégpedig pontosan egyszer. (A primitív H

H -háromszög fogalma a primitív P P -háromszögéhez hasonlóan értelmezhető. Hogy van primitív H H -háromszög, azt jól mutatják az iménti nem derékszögű példák is, hiszen valamennyi ilyen. Primitív H H -háromszögekben – természetesen csak a nem derékszögűekben – azonban két oldalnak már lehet 1-nél nagyobb közös osztója: ezt példázza (20, 15, 7; 42). Az eddig megismert – derékszögű és nem derékszögű – példákon azt is megfigyelhetjük, hogy a primitív H H -háromszögekben két oldal páratlan, míg egy páros, éppen úgy, mint a primitív P P -háromszögek esetén. Nem derékszögű primitív H H -háromszögekre nem magától értetődő e tulajdonság érvényben maradása, ezért a későbbiekben bebizonyítjuk majd, hogy előbbi megállapításunk csakugyan igaz minden primitív H H -háromszögre vonatkozólag.)

6. Nincs egyenlő oldalú H

H -háromszög. Ha ugyanis lenne ilyen, akkor kellene, hogy a a oldala egész legyen. Ha viszont a a egész szám, abban az esetben a háromszög területe: t=(√3/4)⋅a^2 t = 3 4 a 2 irracionális szám. Ez pontosan ugyanolyan gondolatmenettel igazolható, amilyennel √2 2 irracionalitását szokták bizonyítani.

7. Egyenlő szárú H

H -háromszög viszont biztosan létezik, amint azt a (6, 5, 5; 12) példa is mutatja. Könnyen belátható, hogy ez a H H -háromszög hegyesszögű. Nem volna nehéz példát adni tompaszögű egyenlő szárú H H -háromszögre sem, azt viszont már a 3. pontban megállapítottuk, hogy nincs egyenlő szárú primitív P P -háromszög, tehát semmilyen egyenlő szárú P P -háromszög sincs, ennélfogva végső soron derékszögű egyenlő szárú H H -háromszög sem létezik.

Teljesen világos továbbá, hogy ha bármely primitív P

P -háromszöget tükrözünk valamelyik befogójára és a tükörképet hozzáillesztjük az eredetihez, akkor – hegyes- vagy tompaszögű – egyenlő szárú primitív H H -háromszöget kapunk. (A primitivitáshoz csupán azt kell meggondolnunk, hogy a „volt” páratlan átfogónak és bármelyik „volt” befogó kétszeresének nem lehet 1-nél nagyobb közös osztója, ha eredetileg nem volt.) Az is nyilvánvaló, hogy a kapott egyenlő szárú primitív H H -háromszög területe páros, sőt 4-gyel is osztható szám.

A most mondottakból következik, hogy van tehát egyenlő szárú primitív H

H -háromszög. Az általunk előállított háromszögekben az alap mindig páros, a szárak pedig páratlanok. Azt állítjuk, hogy bármely egyenlő szárú primitív H H -háromszögben így van ez. Ha ugyanis mindhárom oldal páratlan lenne, akkor Hérón képletéből nem adódna egész szám a háromszög területére. Hasonló indokolással zárhatjuk ki azt az esetet is, amikor a szárak párosak és az alap páratlan. Hátravan még annak az esetnek a taglalása, amikor mindhárom oldal páros.

Azt mondhatja valaki, hogy az ilyen H

H -háromszög nem primitív. Nos, rendben van. Osszuk el tehát az oldalakat legnagyobb közös osztójukkal! A páratlan közös osztókkal való osztás nyilván változatlanul hagyja az oldalak paritását, azonkívül azt is könnyű belátni, hogy ha a kiindulásul szolgáló háromszög területe egész szám volt, akkor az oldalakat legnagyobb páratlan közös osztójukkal osztva, az így nyert háromszög is H H -háromszög marad. Osszuk most el az oldalakat legnagyobb páros közös osztójukkal! Lényegében háromféle eredményhez juthatunk: vagy egy oldal – az alap – marad páros, a szárak páratlanok; ez az az eset, amelyet megengedhetünk. Érdekesebbek azonban azok, amikor az eredeti oldalak legnagyobb páros közös osztójával osztva két páros és egy páratlan oldalhoz, illetve három páratlan oldalhoz jutunk. Azt már láttuk, hogy nincs ilyen tulajdonságú egyenlő szárú primitív H H -háromszög, de az még elképzelhető lenne, hogy a kétszer akkora oldalakkal rendelkező háromszög már egyenlő szárú H H -háromszög (ha nem is primitív). Megmutatjuk, hogy ez sem lehetséges.

A két eset együtt tárgyalható, mert lényegük az, hogy az egyenlő szárú háromszög alapja egy páratlan szám kétszerese, szárai pedig párosak. Az alaphoz tartozó magasság két egybevágó derékszögű háromszögre osztja az eredetit. Így mindegyiknek páros az átfogója és páratlan az egyik befogója. Ami a másik befogót, vagyis az egyenlő szárú háromszög alapjához tartozó magasságot illeti, az az

m_a=(2t/a)
m a = 2 t a

képlet miatt mindenesetre racionálisc, a derékszögű részháromszögekre érvényes Pitagorasz-tétel következtében pedig egész szám is. Ha egész szám, akkor vagy páros, vagy páratlan. Egyik sem lehet azonban, mivel sem egy páros szám négyzetének és egy páratlan négyzetének összege, sem két páratlan szám négyzetének összege nem osztható 4-gyel. ezért nem lehet egyenlő egy páros szám négyzetével. Ezzel beláttuk, hogy csakugyan minden egyenlő szárú primitív H

H -háromszögben az alap páros szám, a szárak pedig páratlanok.

Ha tehát megfordítva, valamely tetszés szerinti egyenlő szárú primitív H

H -háromszögben meghúzzuk az alaphoz tartozó magasságot, akkor az előbbi gondolatmenettel könnyen bizonyítható, hogy ez a magasság két egybevágó primitív P P -háromszögre osztja azt. Ebből következik, hogy az összes egyenlő szárú primitív H H -háromszöget megkapjuk, ha a primitív P P -háromszögeket rendre tükrözzük egyik, majd másik befogójukra, és a tükörképet mindkét esetben hozzáillesztjük az eredeti háromszöghöz. Ehhez csatlakozva azt sem nehéz igazolni, hogy egy bizonyos primitív P P -háromszögből kiindulva mindig két egyenlő szárú primitív H H -háromszöghöz jutunk, mégpedig egy hegyesszögűhöz a hosszabbik, és egy tompaszögűhöz a rövidebbik befogóra való tükrözéskor. Célszerű ismételten megemlíteni azt a tényt, hogy minden egyenlő szárú primitív H H -háromszögben az alap páros szám, míg a szárak páratlanok, továbbá, hogy az egyenlő szárú primitív H H -háromszög területe minden esetben páros, sőt 4-gyel is osztható szám. Végül legyen szabad kiemelnünk azt a megállapítást, hogy az egyenlő szárú primitív H H -háromszögekben az alaphoz tartozó magasság is egész szám.

8. Ezek után térjünk rá a nem egyenlő szárú H

H -háromszögek vizsgálatára! Mindenekelőtt azt figyelhetjük meg, hogy az ilyen háromszögek között van derékszögű is, hegyesszögű is és tompaszögű is. Már említettük a 4. pontban, hogy a P P -háromszögek – közöttük nem lehet egyenlő szárú – egyúttal H H -háromszögek is. Az ugyanitt felsorolt konkrét H H -háromszögekről könnyű eldönteni, hogy az utolsó kettő hegyesszögű, az első kettő pedig tompaszögű – és nyilvánvalóan egyik sem egyenlő szárú.

További vizsgálatainkból a derékszögű H

H -háromszögeket nyugodtan kihagyhatnánk, hiszen a mondottak értelmében előállításuk kérdése tisztázódott a P P -háromszögek meghatározása problémájának megoldásával. Hogy mégsem így járunk el, annak megvan az oka. Erre kívánunk rávilágítani a következőkben.

Az egyenlő szárú primitív H

H -háromszögek tárgyalását az könnyítette meg nagymértékben, hogy az alaphoz tartozó magasságuk egész szám volt, következésképpen ennek a magasságnak a meghúzásával két (egybevágó) primitív P P -háromszögre lehetett osztani az eredetit. Hátha ferdeszögű (nem egyenlő szárú) H H -háromszögekben, esetleg már az ilyen primitívekben is, legalább az egyik magasság mindig egész, ezáltal az ilyen esetekben is lehetővé válna az eredeti háromszög előállítása két – lehetőleg primitív – P P -háromszög „összegeként” (amikor az eredeti H H - -háromszög hegyesszögű volt), illetve esetleg „különbségeként” (amikor az tompaszögű volt)?

Egyszerűen ellenőrizhetjük, hogy a 4. pontban közölt példákban mindenkor pontosan egy magasság, mégpedig rendre a 7, 9, 14, illetve 39 oldalhoz tartozó egyenlő egész számmal. Ez elegendő is lenne, csakhogy …Csakhogy nem mindegyik (primitív) H

H -háromszög teszi meg nekünk ezt a szívességet. Mutatóba ideírtunk néhány „renitens” primitív H H -háromszöget: (39, 35, 10; 168), (91, 75, 26; 840), (45, 40, 13; 252), (35, 34, 15; 252), (60, 55, 17; 462). Annak ellenőrzését, hogy ezeknek a háromszögeknek egyik magassága sem egész, az igen tisztelt Olvasóra bízzuk. Megjegyezzük továbbá, hogy imént megadott példáink között egyaránt található hegyesszögű háromszög és tompaszögű is. Végül megemlítjük azt a sejtésünket, hogy végtelen sok olyan primitív H H -háromszög létezik, amelyekben egyik magasság sem egész szám.

9. Hogyan segítsünk hát magunkon, hogyan tegyük áttekinthetővé a ferdeszögű, nem egyenlő szárú (nem feltétlenül primitív) H

H -háromszögek tárgyalását?

Hátha nincs is mindig egész számmal egyenlő magassága egy ferdeszögű, nem egyenlő szárú (nem feltétlenül primitív) H

H -háromszögnek, de legnagyobb oldala biztosan van. Sőt ez a tulajdonsága megvan bármely H H -háromszögnek, úgyhogy most következő meggondolásainkat egy tetszés szerinti H H -háromszögre fogjuk végezni. Az nem okoz gondot, hogy a 7. pontban már teljesen elintéztük a ferdeszögű, egyenlő szárú primitív H H -háromszögek, ezzel egyszersmind valamennyi ilyen H H -háromszög vizsgálatát, mert azok a megállapítások, amelyeket egy tetszés szerinti H H -háromszögre vonatkozólag teszünk majd, természetesen az előbbiekre is, valamint a derékszögű H H -háromszögekre (a P P -háromszögekre) is érvényesek. Egyenlő szárú H H -háromszögek esetén lehetséges, hogy a szárak nagyobbak az alapnál, ekkor tehát két legnagyobb oldal van, közülük bármelyiket vehetjük legnagyobbnak.

A legnagyobb oldalhoz tartozó magasság most is két derékszögű háromszögre osztja az eredeti H

H -háromszöget, ezek azonban általában nem egybevágók. Az m_a m a magasságról ugyan nem tételezhetjük fel, hogy egész, az azonban bizonyos, hogy racionális, miként ez látszik a 7. pontban felírt képletből.

Azt állítjuk, hogy az m_a

m a magasság racionális szakaszokra osztja az a a oldalt. Tegyük fel ugyanis, hogy ez nem így lenne, hanem pl. a_1 a 1 irracionális volna! Ez a bal oldali derékszögű részháromszögre érvényes Pitagorasz-tétel miatt azt jelentené, hogy a_1=√r a 1 = r , ahol r r olyan racionális számot jelöl, amely nem négyzete egyetlen racionális számnak sem. Ekkor tehát a_2=a–√r a 2 = a r . Alkalmazzuk most Pitagorasz tételét a jobb oldali derékszögű részháromszögre:

(4)
m_a^2+(a–√r)^2=b^2,
m a 2 + ( a r ) 2 = b 2 ,

ahonnan √r=(1/2a)(a^2–b^2+m_a^2+r)

r = 1 2 a ( a 2 b 2 + m a 2 + r ) . Ez azonban nyilvánvaló ellentmondás, hiszen feltevésünk szerint √r r irracionális, tehát nem lehet egyenlő egy racionális számmal.

Arra az eredményre jutottunk, hogy m_a

m a -n kívül a_1 a 1 és a_2 a 2 is racionálisak. Legyen

m_a=(p/q) , a_1=(p_1/q_1) , a_2=(p_2/q_2) ,
m a = p q , a 1 = p 1 q 1 , a 2 = p 2 q 2 ,

ahol

(p,q)=(p_1,q_1)=(p_2,q_2)=1.
( p , q ) = ( p 1 , q 1 ) = ( p 2 , q 2 ) = 1 .

Ekkor egyrészt

((p/q))^2+((p_1/q_1))^2=c^2,
( p q ) 2 + ( p 1 q 1 ) 2 = c 2 ,

azaz

(5)
(pq_1)^2+(p_1q)^2=(cqq_1)^2;
( p q 1 ) 2 + ( p 1 q ) 2 = ( c q q 1 ) 2 ;

másrészt

((p/q))^2+((p_2/q_2))^2=b^2,
( p q ) 2 + ( p 2 q 2 ) 2 = b 2 ,

azaz

(6)
(pq_2)^2+(p_2q)^2=(bqq_2)^2.
( p q 2 ) 2 + ( p 2 q ) 2 = ( b q q 2 ) 2 .

(5) és (6) szerint (pq_1

p q 1 , p_1q p 1 q , cqq_1 c q q 1 ), valamint (pq_2 p q 2 , p_2q p 2 q , bqq_2 b q q 2 ) pitagoraszi számhármasok (nem feltétlenül primitívek), azért a derékszögű részháromszögek oldalaiból képzett (m_a m a , a_1 a 1 , c c ) és (m_a m a , a_2 a 2 , b b ) számhármasok egy-egy pitagoraszi számhármasból származtathatók, mégpedig oly módon, hogy a bennük szereplő számokat megszorozzuk ugyanazzal a racionális számmal: (1/qq_1) 1 q q 1 -gyel, illetve (1/qq_2) 1 q q 2 -vel.

Világos továbbá, hogy ha van olyan pitagoraszi számhármas, amelynek elemeit rendre ugyanazzal a racionális számmal szorozva megkapjuk, pl. a bal oldali derékszögű részháromszög oldalait, akkor van ilyen tulajdonságú primitív pitagoraszi számhármas is, hiszen minden pitagoraszi számhármas a primitívekből állítható elő az elemeknek valamely pozitív egész számmal történő szorzása útján. Végül az is nyilvánvaló, hogy ha bármely P

P -háromszög oldalait megszorozzuk ugyanazzal a racionális számmal, akkor egyrészt a kapott háromszög hasonló lesz az eredetihez, másrészt annak oldalai mindenesetre racionális számok lesznek.

Ezek után jelen pontbeli fejtegetéseink eredményét így foglalhatjuk össze:

Ha bármely H

H -háromszöget legnagyobb, illetve egyik legnagyobb oldalához tartozó magassággal két derékszögű háromszögre osztunk, akkor e részháromszögek mindegyike egy-egy primitív P P -háromszögből származtatható, mégpedig úgy, hogy annak oldalait rendre megszorozzuk ugyanazzal a racionális számmal. Lényeges megjegyezni, hogy a két primitív P P -háromszög általában különböző; hogy a részháromszögek oldalainak előállításához felhasznált két állandó racionális szorzónak sem kell megegyeznie egymással; végül emlékeztetünk arra, hogy ha egy háromszög mindegyik oldalát ugyanazzal a számmal szorozzuk, akkor az így kapott háromszög hasonló az eredetihez.

Konkrét példaként tekintsük a (15, 14, 13; 84) primitív H

H -háromszöget! Ebben: a=15 a = 15 , b=14 b = 14 , c=13 c = 13 , m_a=11,2 m a = 11,2 ; a_1=6,6 a 1 = 6,6 ; a_2=8,4 a 2 = 8,4 . A bal oldali derékszögű részháromszög az (56, 33, 65) primitív P P -háromszögből állítható elő, ha annak oldalait rendre megszorozzuk 0,2-del. Ezzel szemben a jobb oldali derékszögű részháromszög a (4, 3, 5) primitív P P -háromszöghöz hasonló; oldalai 2,8-szer akkorák, mint annak oldalai.

10. Most már be tudjuk váltani az 5. pontban tett ígéretünket: megadunk egy képletcsoporton alapuló eljárást, amellyel minden primitív H

H -háromszög előállítható, mégpedig pontosan egyszer.

Figyelembe véve az előbbi pontban kapott eredményünket, vegyünk először egy „bal oldali” (x_1

x 1 , y_1 y 1 , z_1 z 1 ) primitív P P -háromszöget, majd egy tőle különböző „jobb oldali” (x_2 x 2 , y_2 y 2 , z_2 z 2 ), ugyancsak primitív P P -háromszöget, ahol az x_i x i , y_i y i , z_i z i (i=1,2 i = 1 , 2 ) számokat a (2) alatti formulákkal képezzük, tehát x_i x i és y_i y i közül mindig x_i x i páros, y_i y i páratlan, és természetesen z_i z i is páratlan!

Nagyítsuk ezek után a bal oldali háromszöget (lineárisan) x_2

x 2 -szörösére, a jobb oldalit pedig x_1 x 1 -szeresére; így jutunk rendre az (x_2x_1 x 2 x 1 , x_2y_1 x 2 y 1 , x_2z_1 x 2 z 1 ) és (x_1x_2 x 1 x 2 , x_1y_2 x 1 y 2 , x_1z_2 x 1 z 2 ) P P -háromszögekhez, amelyek persze már nem primitívek. Illesszük össze őket egyenlő befogójuk mentén egyetlen H H -háromszöggé! Ennek oldalai a következők lesznek: x_2y_1+x_1y_2 x 2 y 1 + x 1 y 2 , x_1z_2 x 1 z 2 és x_2z_1 x 2 z 1 . Hasonlítsuk össze az oldalakat! Ha közülük x_2y_1+x_1y_2 x 2 y 1 + x 1 y 2 a legnagyobb vagy az egyik legnagyobb, akkor tovább folytatjuk meggondolásainkat, ellenkező esetben nem, mert akkor ebből a konstrukcióból nem kapunk olyan H H -háromszöget, amelyben a részháromszögek nem összeillesztett – általában egymástól különböző – befogóinak összege adja a leghosszabb, vagy legalább az egyik leghosszabb oldalt.

Tegyük fel azonban, hogy az x_2y_1+x_1y_2

x 2 y 1 + x 1 y 2 , x_1z_2 x 1 z 2 és x_2z_1 x 2 z 1 oldalakkal rendelkező H H -háromszögben a sorrendben elsőnek felírt oldal leghosszabb (ebbe beleértjük mindkét lehetőséget, amelyeket eddig külön szoktunk választani)! Nyilvánvaló, hogy ha ezt a háromszöget (1/d_1) 1 d 1 -szeresére kicsinyítjük, ahol d_1=(x_1,x_2) d 1 = ( x 1 , x 2 ) , akkor még mindig H H -háromszöghöz jutunk, hiszen x_1 x 1 is, x_2 x 2 is osztható d_1 d 1 -gyel (emiatt egész számok a kicsinyítéssel nyert, röviden: kicsinyített háromszög oldalai), továbbá egész a legnagyobb oldalhoz tartozó magassága is, ami biztosítja a terület egész voltát.

A kicsinyített háromszög oldalai közül mindig egy páros, kettő pedig páratlan. Ha ui. mind (x_1/d_1)

x 1 d 1 , mind (x_2/d_1) x 2 d 1 páratlan, akkor nyilván a leghosszabb oldal páros, a többiek páratlanok, ha viszont pl. (x_1/d_1) x 1 d 1 páros (természetesen ekkor (x_2/d_1) x 2 d 1 -nek páratlannak kell lennie, különben d_1 d 1 nem lenne x_1 x 1 és x_2 x 2 legnagyobb közös osztója), akkor az (x_1z_2/d_1) x 1 z 2 d 1 oldal páros, a többi páratlan és hasonlóan intézhető el az az eset is, amikor (x_2/d_1) x 2 d 1 páros.

Az x_2y_1+x_1y_2

x 2 y 1 + x 1 y 2 , x_1z_2 x 1 z 2 és x_2z_1 x 2 z 1 számok D_1 D 1 legnagyobb közös osztója lehet ugyan nagyobb is d_1 d 1 -nél, de az előbbi bekezdésben mondottak miatt akkor is csupán d_1 d 1 -nek valamely páratlan többszörösével egyenlő. (Páratlan számnak nem lehet páros osztója, és az eredeti H H -háromszög oldalait d_1 d 1 -gyel osztva két páratlan számhoz is jutottunk.) A 7. pontban említettük már, hogy egyrészt a páratlan közös osztókkal való osztás változatlanul hagyja az oldalak paritását, másrészt azt is könnyű belátni, hogy ha a kiindulásul szolgáló háromszög H H -háromszög volt, akkor az oldalakat legnagyobb páratlan közös osztójukkal osztva, a kapott háromszög is H H -háromszög marad.

A mondottakból következik, hogy ha az x_2y_1+x_1y_2

x 2 y 1 + x 1 y 2 , x_1z_2 x 1 z 2 és x_2z_1 x 2 z 1 oldalakkal rendelkező H H -háromszögben a sorrendben elsőnek felírt oldal leghosszabb, akkor az a háromszög, amelynek oldalai rendre

(1/D_1)(x_2y_1+x_1y_2), (1/D_1)⋅x_1z_2 és (1/D_1)⋅x_2z_1,
1 D 1 ( x 2 y 1 + x 1 y 2 ) , 1 D 1 x 1 z 2 és 1 D 1 x 2 z 1 ,

ahol D_1=(x_2y_1+x_1y_2,x_1z_2,x_2z_1),
ahol D 1 = ( x 2 y 1 + x 1 y 2 , x 1 z 2 , x 2 z 1 ) ,

primitív H

H -háromszög. Ennek a primitív H H -háromszögnek bal oldali derékszögű részháromszöge az (x_1 x 1 , y_1 y 1 , z_1 z 1 ) primitív P P -háromszögből keletkezik, ha annak oldalait rendre megszorozzuk (x_2/D_1) x 2 D 1 -gyel. Ezzel szemben a jobb oldali derékszögű részháromszög az (x_2 x 2 , y_2 y 2 , z_2 z 2 ) primitív P P -háromszögből áll elő, ha annak oldalait sorjában (x_1/D_1) x 1 D 1 -gyel szorozzuk.

A bal oldali (x_1

x 1 , y_1 y 1 , z_1 z 1 ) primitív P P -háromszögből és a tőle különböző jobb oldali (x_2 x 2 , y_2 y 2 , z_2 z 2 ), ugyancsak primitív P P -háromszögből még három, a fentitől – és egymástól is – különböző primitív H H -háromszöget tudunk létrehozni az imént ismertetetthez hasonló eljárással. A részleteket mellőzve csupán a keletkező primitív H H -háromszögek oldalait írjuk le:

(1/D_2)(y_1y_2+x_1x_2), (1/D_2)⋅x_1z_2 és (1/D_2)⋅y_2z_1,
1 D 2 ( y 1 y 2 + x 1 x 2 ) , 1 D 2 x 1 z 2 és 1 D 2 y 2 z 1 ,

ahol D_2=(y_1y_2+x_1x_2,x_1z_2,y_2z_1);
ahol D 2 = ( y 1 y 2 + x 1 x 2 , x 1 z 2 , y 2 z 1 ) ;

(1/D_3)(x_1x_2+y_1y_2), (1/D_3)⋅y_1z_2 és (1/D_3)⋅x_2z_1,
1 D 3 ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) , 1 D 3 y 1 z 2 és 1 D 3 x 2 z 1 ,

ahol D_3=(x_1x_2+y_1y_2,y_1z_2,x_2z_1);
ahol D 3 = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 , y 1 z 2 , x 2 z 1 ) ;

(1/D_4)(x_1y_2+x_2y_1), (1/D_4)⋅y_1z_2 és (1/D_4)⋅y_2z_1,
1 D 4 ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) , 1 D 4 y 1 z 2 és 1 D 4 y 2 z 1 ,

ahol D_4=(x_1y_2+x_2y_1,y_1z_2,y_2z_1).
ahol D 4 = ( x 1 y 2 + x 2 y 1 , y 1 z 2 , y 2 z 1 ) .

Ezek közül a primitív H

H -háromszögek közül is csak azokat tartjuk meg, amelyekben az első helyen álló oldal a legnagyobb.

A kiindulásul szolgáló bal és jobb oldali primitív P

P -háromszögek felcserélése nyilván nem vezet újabb primitív H H -háromszögekhez, csupán olyanokhoz, amelyek úgy származtathatók, hogy egy már előzőleg létrehozott primitív H H -háromszöget tükrözünk legnagyobb oldalának felezőmerőlegesére, ezért természetesen a tükrözöttel egybevágó háromszöget kapunk.

A különböző (x_1

x 1 , y_1 y 1 , z_1 z 1 ) és (x_2 x 2 , y_2 y 2 , z_2 z 2 ) primitív P P -háromszögek hegyesszögeinek nagysági viszonyaitól függően lehetséges, hogy mind a négy esetben olyan primitív H H -háromszög keletkezik a megfelelően felnagyított részháromszögek egyenlő befogójuk mentén történő összeillesztésével, majd ennek a háromszögnek esetleges kicsinyítésével, amelyben a részháromszögek nem összeillesztett befogóinak összege, illetőleg ennek alkalmas kicsinyítése adja a leghosszabb oldalt. Annyi azonban mindenképpen bizonyos, hogy a négy eset közül legalább kettőben a mondott tulajdonságú primitív H H -háromszöghöz jutunk.

Ugyancsak az (x_1

x 1 , y_1 y 1 , z_1 z 1 ) és (x_2 x 2 , y_2 y 2 , z_2 z 2 ) primitív P P -háromszögek hegyesszögeinek nagysági viszonyait figyelembe véve láthatjuk be, hogy a fenti négy esetben valóban csupa különböző primitív H H -háromszöget kapunk, legfeljebb nem az az oldal lesz feltétlenül a legnagyobb, amely a derékszögű részháromszögek nem egymás mellé illesztett befogóiból tevődött össze. Tekintettel arra, hogy ezek a meggondolások elég egyszerűek, elvégzésüket az igen tisztelt Olvasóra bízzuk.

Világos továbbá, hogy ha másik pár primitív P

P -háromszögből indulunk ki: (x_1^′ x 1 , y_1^′ y 1 , z_1^′ z 1 )-ből és (x_2^′ x 2 , y_2^′ y 2 , z_2^′ z 2 )-ből, ahol legfeljebb az egyik vesszőtlen háromszög lehet azonos valamely vesszőssel, azonkívül a két vesszős háromszög ismét különböző, akkor felhasználásukkal a fentebb ismertetett eljárás újabb négy primitív H H -háromszöghöz vezet, amelyek egymástól is, a korábbiakban kapottak mindegyikétől is különböznek. Legfeljebb nem az az oldaluk lesz feltétlenül a legnagyobb, amely a derékszögű részháromszögek nem egymás mellé illesztett befogóiból tevődött össze. A 9. pontban ugyanis láttuk, hogy ha bármely H H -háromszöget (így természetesen bármely primitív H H -háromszöget is) a legnagyobb oldalához tartozó magassággal két derékszögű háromszögre osztunk, akkor ezek a részháromszögek – a sorrendtől eltekintve – pontosan egy pár primitív P P -háromszögből származtathatók – azok oldalait rendre megszorozva ugyanazzal a racionális számmal, amely azonban nem okvetlenül egyenlő a két részháromszög esetében. Bár ebben a pontban azt tapasztaltuk, hogy ugyanabból a primitív P P -háromszögpárból kedvező esetben négy különböző primitív H H -háromszög is állítható elő, ahol a legnagyobb oldalhoz tartozó magasság az adott primitív P P -háromszögpár elemeihez hasonló részháromszögeket hoz létre, a négy esetben azonban jól megkülönböztethető egymástól a részháromszögek összeillesztésének módja, akár a részháromszögek hegyesszögeit, akár a primitív P P -háromszögek oldalainak megszorzására használt, egyértelműen meghatározott állandó racionális számokat tekintjük is.

Az elmondottakból mindenesetre kiderül, hogy ha két különböző primitív P

P -háromszögből indulunk ki, azokból az ismertetett módon négy különböző primitív H H -háromszög állítható elő. Ezek közül legalább kettő olyan – de lehetséges, hogy mind a négy –, ahol a legnagyobb oldalhoz tartozó magasság bontja a H H -háromszöget a kiindulásul szolgáló háromszögekhez hasonló részháromszögekre. Különböző primitív P P -háromszögpárokból csupa különböző primitív H H -háromszögnégyest származtathatunk. Különbözőnek tekintünk két primitív P P -háromszögpárt, ha legfeljebb egy elemük közös, de ugyanannak a párnak az elemei feltétlenül különböznek egymástól. Két primitív H H -háromszögnégyest pedig akkor mondunk különbözőnek, ha a két háromszögnégyesnek összesen nyolc eleme páronként is különböző.

11. Engedjük meg végül, hogy a kiindulásul vett bal és jobb oldali primitív P

P -háromszögek azonosak legyenek; jelöljük őket egyszerűen (x x , y y , z z )-vel! Az összetételükből létrehozható primitív H H -háromszögek közül kétfélével foglalkoztunk már a 7. pontban. Megállapítottuk, hogy egyrészt az összes egyenlő szárú primitív H H -háromszöget megkapjuk, ha a primitív P P -háromszögeket rendre tükrözzük egyik, majd másik befogójukra, és a tükörképet mindkét esetben hozzáillesztjük az eredeti háromszöghöz, másrészt egy bizonyos primitív P P -háromszögből kiindulva mindig két egyenlő szárú primitív H H -háromszöghöz jutunk, mégpedig egy hegyesszögűhöz a hosszabb, és egy tompaszögűhöz a rövidebb befogóra való tükrözéskor.

Nem foglalkoztunk még azzal az esettel, amikor pl. a bal oldali (x

x , y y , z z ) háromszöget lineárisan y y -szorosára, a jobb oldalit pedig x x -szeresére nagyítjuk, majd az így nyert (xy x y , y^2 y 2 , yz y z ) és (x^2 x 2 , xy x y , xz x z ) P P -háromszögeket összeillesztjük xy x y egyenlő befogójuk mentén egyetlen H H -háromszöggé, amelynek oldalai rendre: y^2+x^2 y 2 + x 2 , xz x z és yz y z . Mivel (x x , y y , z z ) mindenesetre P P -háromszög, ezért y^2+x^2=z^2 y 2 + x 2 = z 2 , a kapott H H -háromszög oldalai tehát y^2 y 2 , xz x z és yz y z , amelyeket legnagyobb közös osztójukkal, z z -vel osztva mintegy „visszakapjuk” primitív H H -háromszögként a kiindulásul vett (x x , y y , z z ) primitív P P -háromszöget. Érdekes, hogy ebben az esetben a bonyolultabb összetétellel állítjuk elő az alapelemül alkalmazott primitív P P -háromszöget, amiben persze nincs semmi csodálatos, hiszen derékszögű háromszögben a legnagyobb oldalhoz, az átfogóhoz tartozó magasság az eredetihez hasonló részháromszögekre osztja azt, és az is világos, hogy másféle háromszög nem rendelkezhet ezzel a tulajdonsággal. Végül az is nyilvánvaló, hogy ha a bal oldali (x x , y y , z z ) részháromszöget nagyítanánk lineárisan x x -szeresére, a jobb oldalit pedig y y -szorosára, akkor az imént követett eljárással újra az eredeti (x x , y y , z z ) primitív P P -háromszöget nyerjük eredményül, csak az előbbihez képest átfogójának felezőmerőlegesére tükrözött állásban. Azt szinte felesleges is említenünk, hogy másik két azonos primitív P P -háromszögből kiindulva, nemcsak különböző hegyes- és tompaszögű egyenlő szárú, hanem különböző derékszögű primitív H H -háromszöghöz is jutunk.

12. Úgy véljük, az elmondottakból eléggé kitűnik, hogy a 10. és 11. pont eljárásai különböző kiinduló primitív P

P -háromszögpárokból csupa különböző primitív H H -háromszögnégyest állítanak elő, ha a primitív P P -háromszögpárok elemei nem azonosak, és ugyancsak csupa különböző primitív H H -háromszöghármast, ha a primitív P P -háromszögpárok elemei azonosak. Azt is tisztáztuk, hogy mikor tekintünk különbözőnek két primitív P P -háromszögpárt, továbbá két primitív H H -háromszögnégyest, hasonlóan két primitív H H -háromszöghármast. Említettük, hogy egy-egy primitív H H -háromszögnégyesből, illetve H H -háromszöghármasból csak azokat a háromszögeket – esetenként legalább kettőt – használjuk fel az összes primitív H H -háromszög meghatározására, amelyekben a legnagyobb oldalhoz tartozó magasság bontja a H H -háromszöget a kiindulásul szolgáló háromszögekhez hasonló részháromszögekre.

Azt állítjuk, hogy „végighaladva” az azonos és nem azonos elemekből álló különböző primitív P

P -háromszögpárok (végtelen) sorozatán, a 10. és 11. pont eljárásainak – amelyek lényegében azonos szerkezetűek – utasításait követve csakugyan megkapunk minden primitív H H -háromszöget, mégpedig pontosan egyszer. Az ismétlődést már kizártuk az eddigiek során. Tegyük fel azonban, hogy találtunk olyan primitív H H -háromszöget, amely nem szerepel az általunk előállítottak között!

Ez nem lehetséges, hiszen a 9. pontban láttuk, hogy ha bármely H

H -háromszöget (így természetesen bármely primitív H H -háromszöget is) a legnagyobb oldalához tartozó magassággal két derékszögű háromszögre osztunk, akkor ezek a részháromszögek – a sorrendtől eltekintve – pontosan egy pár primitív P P -háromszögből származtathatók – azok oldalait rendre megszorozva ugyanazzal a racionális számmal, amely azonban nem okvetlenül egyenlő a két részháromszög esetében. De az összes primitív P P -háromszögpár között ennek a bizonyosnak is elő kellett fordulnia, és eljárásainkban mindegyik primitív P P - -háromszögpárból létrehoztunk valamennyi lehetséges különböző primitív H H -háromszöget: négyet, ha a primitív P P -háromszögpár elemei különbözők voltak, és hármat, ha elemei megegyeztek. Ennélfogva annak a primitív H H -háromszögnek, amelyet hiányoltunk az általunk előállítottak sorozatából, szükségképpen mégiscsak szerepelnie kell abban. Ez ellentmondás, amit csupán feltevésünk elvetésével lehet feloldani. Tehát a 10. és 11. pontban leírt eljárásaink csakugyan megadnak minden primitív H H -háromszöget, mégpedig pontosan egyszer. Ezt kívántuk bizonyítani.

Az összes H

H -háromszög mármost ugyanúgy kapható meg az összes primitív H H -háromszögből, ahogyan az összes P P -háromszög az összes primitív P P -háromszögből.

A H

H -háromszögeknek, speciálisan a primitíveknek számos érdekes tulajdonsága van; egy részük levezethető, illetőleg bizonyítható a fentiekben tárgyaltak alapján, más részük további vizsgálatokat igényel.