Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

PÓK ÉS LÉGY

PÓK ÉS LÉGY

(GEODETIKUS VONALAK)

MOLNÁR, FERENC


Egy kocka alakú szoba egyik sarkában ül a pók, a tőle legtávolabbi oldalél közepén van a légy (1. ábra). A pók meg akarja fogni a legyet; minthogy azonban nem tud repülni, a falon mászva kénytelen eljutni a légy tartózkodási helyéhez. Erre sokféle lehetőség van. Eljuthat a légyhez pl. úgy, hogy végig a falak határán, azaz a kocka élein mászik, vagy pl. úgy, hogy útja során a szoba több falán (falak közé beleértve a mennyezetet és a padlót is), azaz a kocka több lapján áthalad, és az éleket csak keresztezi. Felvetődik a kérdés, hogyan kell a póknak haladnia, ha a legrövidebb úton akarja elérni a legyet? Ha tudna repülni, akkor nyilván egyenes vonalban repülve jutna el a legrövidebb úton a céljához. Repülni azonban nem tud, így a falon mászva kell megkeresnie a legrövidebb utat. A pók feladata tehát az, hogy a szoba falain, vagyis a kocka felületén haladó és a légyhez vezető utak közül megkeresse a legrövidebbet.

Mielőtt megoldanánk a pók feladatát, nézzünk egy egyszerűbb feladatot! Ha a légy a szobának azon a falán lenne, amelynek egyik sarkában ül a pók, akkor a pók egy síklapon mászva elérheti a legyet. Ekkor nyilván egyenes vonalban kell haladnia, hiszen két pont között a legrövidebb út az egyenes szakasz. A mi esetünkben nem ilyen egyszerű a helyzet, hiszen a pók és a légy nincs a kockának ugyanazon a lapján. Láthatjuk viszont, hogy a kockának két szomszédos (azaz élben találkozó) lapján vannak (pl. az 1. ábrán a PCAB

P C A B és BAFG B A F G lapon), így a legrövidebb út csak két ilyen szomszédos lapon át vezethet. Készítsük el a kocka felületének olyan, síkba kiterített hálózatát, ahol a PCAB P C A B és BAFG B A F G lapok szintén szomszédosak, és jelöljük meg rajta a pók és a légy helyét (2. ábra)!

Így síkbeli ábrához jutottunk, ahol két pontot összekötő legrövidebb vonal az egyenes. A hálózaton tehát a pók és a légy helyét jelölő pontokat (P

P és L L ) összekötő egyenes szakasz mutatja a pók legrövidebb útját. Ha most hálózatunkból ismét kockát készítünk, a hálózaton rajzolt vonalakból a kocka felületén haladó vonalakat kapunk. Nyilvánvaló, hogy a rajzolt vonalak ugyanolyan hosszúak maradnak, hiszen eközben a lapon nem nyúltak és nem zsugorodtak. A pók és a légy helyét a hálózaton összekötő egyenes szakaszból tehát a hálózat összeillesztése után megkapjuk a legrövidebb utat, amelyen a pók eljuthat a légyhez. Ez az út már nem egyenes, hanem, amint azt az 1. ábra mutatja, két egyenes szakaszból álló, úgynevezett törött vonal. A 2. ábráról azt is leolvashatjuk, hogy ez a legrövidebb út a kocka AB A B élét abban az M M pontban keresztezi, amely ezt az élt 1:2 1 : 2 arányban osztja.[3]

A pók azonban egy másik utat is választhat, ha a legrövidebben akarja elérni a legyet. Az 1. ábrán berajzolt szaggatott törött vonal mutatja ezt az utat, amely az előbbitől annyiban különbözik, hogy másik két szomszédos lapon át halad, és az AC

A C élt keresztezi az 1:2 1 : 2 arányban osztó N N pontban. Ez az út az előbbivel egyenlő hosszú, hiszen ugyanolyan nagyságú szakaszokból áll (3. ábra). Ezek után felvetődik a kérdés, hogy más szomszédos lapokon át nem juthat-e el a pók ezeknél rövidebb úton is a légyhez?

A szomszédos PBGD

P B G D és BAFG B A F G lapokon át vezető legrövidebb utat pl. a 4. ábrán látható hálózatba berajzolt egyenes szakasz adja a hálózat összeillesztése után. Könnyű meggyőződni arról, hogy a 4. ábrán szereplő PL P L szakasz hosszabb, mint a 3. ábra PL P L szakasza.

A 4. ábra PL

P L szakaszával ugyanis egyenlő hosszú a 3. ábra PK P K szakasza, és ez láthatóan nagyobb az ottani PL P L szakasznál. Aki ismeri Pythagorasz tételét, egyszerű számolással is meggyőződhetik erről. Ha ugyanis a kocka éle a a hosszúságú, akkor a 3. ábra PLB P L B derékszögű háromszögéből Pythagorasz tétele alapján:

PL=√(PB^2+BL^2)=√(a^2+((3a/2))^2)=√(a^2+(9a^2/4))=(a/2)√(13),
P L = P B 2 + B L 2 = a 2 + ( 3 a 2 ) 2 = a 2 + 9 a 2 4 = a 2 13 ,

míg a PKE

P K E derékszögű háromszögből:

PK =√(PE^2+EK^2)=√((2a)^2+((a/2))^2)= =√(4a^2+(a^2/4))=(a/2)√(17).
P K = P E 2 + E K 2 = ( 2 a ) 2 + ( a 2 ) 2 = = 4 a 2 + a 2 4 = a 2 17 .

√(17)

17 viszont nagyobb √(13) 13 -nál, tehát a 3. ábra PK P K szakasza nagyobb a PL P L szakasznál.

Az 1. ábráról látható, hogy a pók eljuthatna még a légyhez az eddigieken kívül a BAFG

B A F G és PBGD P B G D lapokkal szemközti szomszédos lapokon keresztül is; az ezeken át vezető legrövidebb út azonban ugyanolyan hosszú, mint amelyik a BAFG B A F G és PBGD P B G D lapokon át vezet (5. ábra).

Az 1. ábrán berajzolt törött vonal tehát valóban a pók legrövidebb útja. Figyeljük meg azonban, hogy ez az út csak a kocka felületén haladó utak között a legrövidebb, és nyilván hosszabb a két pontot összekötő egyenes szakasznál. Ha tehát a pók repülhetne, akkor a rövidebb úton is elérhetné a legyet. erre a figyelemre méltó tényre rövidesen visszatérünk még. Miután a pók feladatát megoldottuk, menjünk egy lépéssel tovább! Tegyük fel, hogy a pók, miután megfogta a legyet, a lehető legrövidebb úton végig akarja járni a kockának mind a hat lapját úgy, hogy visszatérjen kiindulási helyére, az egyik él felezőpontjába. Kérdés, hogy milyen úton kell haladnia? Az előzőek alapján könnyen megoldhatjuk ezt a feladatot is. Ehhez keresnünk kell a kocka felületének olyan síkba kiterített hálózatát, amelynek határvonalán a pók kiindulási pontja, azaz az 1. ábra L

L pontja, két helyen is előfordul, mégpedig úgy, hogy összeillesztés után ez a két pont a kocka felületén egybeessék. A hálózat két L L pontját összekötő egyenes szakasz adja meg összeillesztés után a keresett legrövidebb utat. Azonnal látható, nem mindegy, hogy milyen hálózatot készítünk. Feltételünk ugyanis az volt, hogy a pók a kockának mind a hat lapján át jusson vissza kiindulási helyére. Ezért szükséges, hogy a hálózaton a két L L pontot összekötő egyenes szakasz mind a hat lapon áthaladjon, továbbá az is, hogy az említett egyenes szakasz végig a hálózaton belül haladjon, egyetlen darabja se legyen a hálózaton kívül. Csak ebben az esetben kapunk ugyanis összeillesztés után a kocka felületén haladó zárt vonalat. Az egyetlen, feltételeinknek megfelelő kockahálózat a 6. ábrán látható;

a két L

L pontot összekötő egyenes szakasz mutatja a pók legrövidebb útját. A hálózat összeillesztése után a legrövidebb útvonal hat egyenlő hosszúságú szakaszból álló törött vonal lesz, amely a kocka éleit 45^∘ 45 -os szögben metszi (7. ábra).[4]

A 6. ábrán az is látható, hogy ha a pók kiindulási helye nem az él középpontja, hanem egy tetszőleges másik pontja, akkor is ugyanolyan hosszú az általa bejárt legrövidebb út. Egy ilyen utat a hálózaton az LL

L L szakasszal párhuzamos szakasz ábrázol, amely nyilván egyenlő hosszú az LL L L szakasszal, hiszen annak eltolásával keletkezett. Térjünk vissza most a pók eredeti feladatához, és nézzük meg kissé részletesebben, hogy tulajdonképpen milyen feladatot is oldottunk meg. A feladatot – a póktól és légytől függetlenül – úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a kocka felületének két pontját összekötő, a kocka felületén haladó vonalak közül a legrövidebbet keressük. Sőt, továbbmenve, felvethetünk egy sokkal általánosabb problémát is: vegyünk fel egy tetszőleges (nem feltétlenül síklapokból álló) felületen két pontot, és keressük meg azt a vonalat, amely a két pontot a felületen összekötő vonalak között a legrövidebb. Az ilyen vonalat a felület két pontját összekötő geodetikus vonalnak nevezzük. Eljutottunk tehát a geometria egyik szép és sok esetben igen nehéz feladatához, felületek geodetikus vonalainak a megkereséséhez. Ha arra gondolunk, hogy a síkban két pontot összekötő legrövidebb vonal az egyenes szakasz, akkor láthatjuk, hogy tetszőleges felületen a geodetikus vonalak ugyanezt a szerepet töltik be.

A geodetikus vonal fogalmának fenti meghatározásában igen lényeges az a kikötés, hogy az a felület két pontját a felületen összekötő vonalak között a legrövidebb. Ha ezt a kikötést elhagyjuk, akkor egyszerűen azt mondhatjuk, hogy a két pontot összekötő vonalak közül az egyenes szakasz a legrövidebb. Ez az egyenes szakasz azonban általában nincs a felületen, amint azt már a pók és légy problémájának tárgyalásakor is láttuk. Előfordulhat természetesen, hogy a felület két pontját összekötő egyenes szakasz a felületen van (ilyen pl. a kocka valamelyik lapjának két pontját összekötő szakasz): ebben az esetben természetesen ez az egyenes szakasz a két pontot a felületen összekötő vonalak között is a legrövidebb, azaz geodetikus vonal. A fentiekből mindjárt levonhatjuk azt a következtetést, hogy a felületeken elhelyezkedő egyenesek geodetikus vonalak. A kocka példája mutatja, hogy vannak olyan felületek, amelyeken egyenes vonal húzható. A kockához hasonlóan találhatunk egyenes szakaszokat más síklapokból összetett felületeken is. Ezeket poliéderfelületeknek nevezik: ilyen pl. a hasáb és a gúla felülete. Vannak azonban a nem síklapokból álló felületek között is olyanok, amelyeken egyenes található. A legismertebbek ezek közül a hengerpalást és a kúppalást: ezeknek az ún. alkotói egyenesek, vagyis ezeknek a felületeknek geodetikus vonalai. Általában viszont nem mondhatjuk, hogy a felületek geodetikus vonalai egyenesek. Ezért, ha a felület két pontját a felületen összekötő legrövidebb vonal nem egyenes szakasz, akkor az nyilván nem lesz a legrövidebb az összes (persze nemcsak a felületen haladó) vonalak között, amelyek a két pontot összekötik, hiszen ezek között az egyenes szakasz a legrövidebb. Ezt már a pók és a légy példájában is láttuk. Az elmondottakat talán még világosabbá teszi a következő példa: egy terem első sorában ülő legalacsonyabb ember nem feltétlenül a legalacsonyabb a teremben ülő összes ember között, hiszen egy másik sorban ülhet nála alacsonyabb ember is. Hasonló dologról van szó, amikor két pontot egy felületen összekötő vonalak, illetve amikor a két pontot összekötő összes vonal között keressük a legrövidebbet.

Említettük már, hogy a különböző felületek geodetikus vonalainak megkeresése általában nem könnyű feladat. Mégis bizonyos felületeken egyszerűen meghatározhatjuk a geodetikus vonalakat, ha még egyszer figyelmesen megnézzük a pók feladatának megoldását. Ezt a feladatot azért tudtuk aránylag könnyen megoldani, mert a kocka felületét síkba terítettük ki, és felhasználhattuk, hogy síkban két pont között a legrövidebb út az egyenes. Ebből már látható, hogy ha egy felület síkba kiteríthető (szokás azt is mondani, hogy síkba fejthető), akkor a felület két pontját összekötő legrövidebb felületi vonalat a következőképpen kaphatjuk meg: a síkba kiterített felületen berajzoljuk a két pontot összekötő egyenes szakaszt, és ez a felület visszahajlítása során a keresett legrövidebb vonalba megy át. A síkba kiterített felületen berajzolt egyenesek lesznek tehát visszahajlítás után az eredeti felület geodetikus vonalai.

Az említett eljárást alkalmazhatjuk minden, síklapokból öszszetett felületre, azaz a poliéderekre, hiszen ezek síkba kiteríthetők. Azonban más felületeket is tudunk síkba fejteni. Ilyenek pl. a hengerpalást és a kúppalást, ezeknek a geodetikus vonalait is könnyen meg tudjuk tehát határozni. Ha az egyenes körhenger[5] palástján felvett két pontot (A

A és B B ) összekötő legrövidebb vonalat akarjuk meghatározni, akkor eljárhatunk úgy, hogy felvágjuk a hengerpalástot az egyik ponton átmenő alkotó mentén. A kiterített hengerpalást egy téglalap lesz (amelynek alapja a henger alapkörének kerülete, magassága a henger magassága): itt megrajzoljuk az A A és B B pontokat összekötő egyenes szakaszt, ebből kapjuk meg visszahajlítás után a két pontot a hengerpaláston összekötő legrövidebb vonalat. A kapott vonalat a B B ponton túl is megrajzolhatjuk, ha előzőleg a síkbeli ábrán meghosszabbítjuk az AB A B szakaszt. Attól függően, hogy az A A és B B pontok hol helyezkednek el a hengerpaláston, különböző geodetikus vonalakhoz juthatunk.

Ha a két pont nincs ugyanazon az alkotón, és nincs rajta a henger alapkörén vagy egy azzal párhuzamosan elhelyezkedő körön, akkor az AB

A B egyenes nem lesz párhuzamos a téglalap egyik oldalával sem. Egy ilyen egyenesből visszahajlítás során a hengerpaláston kapott vonalat csavarvonalnak nevezzük (8. ábra). A csavarvonal tehát a hengernek geodetikus vonala. Az ábráról azonnal leolvasható a csavarvonalnak egy érdekes tulajdonsága. Ha berajzolnánk a 8. ábra téglalapján a függőleges egyeneseket, akkor láthatnánk, hogy az AB A B egyenes a függőlegesek mindegyikével ugyanazt a szöget zárja be. Mivel visszahajlítás során ezek a függőleges egyenesek a henger alkotóiba mennek át, elmondhatjuk, hogy a csavarvonal a henger mindegyik alkotóját ugyanakkora szögben metszi.

Nézzük most, hogy milyen más geodetikus vonalakhoz juthatunk a két pont más elhelyezkedése esetén. Ha a két pont ugyanazon az alkotón van (pl. a 8. ábrán az A

A és C C pont), akkor az alkotó mentén vezet a legrövidebb út az egyik pontból a másikba, azaz az alkotók is geodetikus vonalak. Ezt már eddig is tudtuk, hiszen az alkotók a hengerpaláston elhelyezkedő egyenesek. Két ilyen pontot a téglalapon függőleges egyenes szakasz köt össze. Ha viszont a hengerpalástot határoló körvonalon veszünk fel két pontot (pl. a 8. ábrán A A és D D ), akkor a paláston ezen a körvonalon vezet a legrövidebb út, hiszen síkba fejtéskor ez a kör a téglalap alapjába, vagyis egyenesbe megy át. Ugyancsak látható, hogy az alapkörrel együtt a vele párhuzamos, azaz a henger tengelyére merőleges síkmetszetek (amelyek az alapkörrel egybevágó körök) szintén geodetikus vonalak, hiszen síkba fejtéskor a téglalap alapjával párhuzamos egyenesekbe mennek át. Íly módon eljutottunk az egyenes körhenger összes geodetikus vonalához. Ezek tehát az alkotók, a tengelyre merőleges síkmetszetként adódó körök és a csavarvonalak. A hengerpaláston két pontot összekötő legrövidebb út tehát mindig egy ilyen vonalon vezet.

Ha viszont a hengerpalást egy E

E pontjából kiinduló, és a palást körüljárása után a kiindulási pontba visszavezető utak közül keressük a legrövidebbet, akkor a következőképpen járhatunk el: a hengerpalástot az E E ponton átmenő alkotó mentén felvágva, síkba kiterítjük. A kapott téglalap mindkét függőleges oldalán megtalálható az E E pont, az alaptól azonos távolságra. Ezt a két E E pontot összekötő egyenes szakasz adja visszahajlítás után a keresett legrövidebb utat. Mivel az említett egyenes szakasz a téglalap alapjával párhuzamos, visszahajlítás után az alapkörrel párhuzamos (azaz a tengelyre merőleges síkban lévő) körbe megy át (9. ábra).

Ez a kör lesz tehát a palástot körüljáró legrövidebb út.

Nézzük most ez utóbbi problémát az egyenes körkúp[6] palástján felvett P

P pont esetén! A probléma megoldásához vágjuk fel a kúppalástot a P P ponton átmenő alkotó mentén, majd terítsük ki síkba: ily módon egy körcikket kapunk (10. ábra).

A P

P pont a körcikknek mindkét sugarán megtalálható, mégpedig az O O csúcstól egyenlő távolságban. Nyilván a két P P pontot összekötő egyenes szakasz adja visszahajlítás után a palástot körüljáró és a kiindulási pontba visszavezető legrövidebb utat.

Ez az út egy hurokszerű vonal. Az eredmény kissé meglepő, hiszen a szemlélet és a henger példája alapján azt várhattuk volna, hogy a kúp tengelyére merőleges síkban lévő kör a legrövidebb út. (Ezek a körök azonban nem geodetikus vonalak, hiszen a kiterített kúppaláston a körcikk alapjával koncentrikus körívek lesznek.) Az ábráról leolvasható, hogy a kapott hurokszerű vonal visszaérkezéskor ugyanolyan szögben metszi a P

P ponton átmenő alkotót, mint kiinduláskor, az átellenes alkotóhoz pedig derékszögben hajlik.

Ha figyelmesebben megnézzük a 10. ábrát, láthatjuk, hogy okoskodásunk csak abban az esetben helytálló, ha a körcikk csúcsánál lévő szög az egyenes szögnél, azaz 180^∘

180 -nál kisebb. Ha ez a szög homorú, vagyis 180^∘ 180 -nál nagyobb (esetleg pontosan 180^∘ 180 : ebben az esetben a kúppalástból síkbafejtés után egy félkört kapunk), akkor a két P P pontot összekötő egyenes szakasz a körcikken kívül halad, és így visszahajlítás után nem lesz a paláston, vagyis nem kapjuk meg a fenti hurokszerű vonalat (11. ábra).

Ebben az esetben a keresett legrövidebb út az, amely a P

P pontból az alkotó mentén a kúp csúcsához vezet, majd onnan ugyanezen az alkotó mentén vissza a P P pontba. Nem mondhatjuk persze, hogy ez az út körüljárja a kúppalástot, viszont az ábráról látható, hogy minden olyan út, amely a P P pontból kiindulva körbejárja a palástot, nagyobb a fenti útnál. Azt a meglepő tényt kaptuk tehát, hogy ilyenkor a palástot ténylegesen körbejáró utak között tulajdonképpen nincs is legrövidebb. Ha a körcikk csúcsánál lévő szög 180^∘ 180 , akkor a két P P pontot összekötő egyenes szakasz a félkör átmérőjén halad. Visszahajlítás után most sem kapjuk meg a fenti hurokszerű vonalat (12. ábra).

Ebben az esetben is ugyanúgy juthatunk el a keresett legrövidebb úthoz, mint az előbbi esetben.

Az egyenes körhenger és körkúp csak igen speciális esetei a henger- és kúpfelületeknek, amelyek mind síkba fejthetők. Általános hengerfelületnek nevezzük az olyan felületet, amely úgy keletkezik, hogy valamely síkbeli vonal mentén egy olyan egyenest mozgatunk önmagával párhuzamosan, amely nincs benne a vonal síkjában. Ha ez a síkbeli vonal kör, és az egyenes a kör síkjára merőlegesen mozog, akkor egyenes körhenger keletkezik. Általános kúpfelülethez viszont úgy jutunk, hogy egy síkbeli vonal mentén egy egyenest mozgatunk úgy, hogy állandóan áthaladjon egy rögzített ponton is (ezt a pontot a vonal síkján kívül vettük fel). Ha a síkbeli vonal kör, és a rögzített pont a kör középpontjában, annak síkjára állított merőlegesen van, akkor egyenes körkúp keletkezik. Ezeket a felületeket egyik egyenesük (alkotójuk) mentén történő felvágás után síkba teríthetjük, és így geodetikus vonalaikat az előbbiek szerint könnyen meghatározhatjuk. Sőt a henger- és kúpfelületeken kívül is vannak még további felületek, amelyek síkba teríthetők; ezeknek vizsgálata azonban már a geometria magasabb fejezeteibe tartozik.

Vajon mik a geodetikus vonalai a harmadik legismertebb görbe felületnek, a gömbnek? A gömbfelületen nem ilyen egyszerű a helyzet, ugyanis ezt nem lehet kiteríteni a síkba. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy pl. papírból nem tudjuk elkészíteni hajlítással a gömbfelület modelljét. A gömbfelület geodetikus vonalait más úton kell tehát meghatározni. Ennek részletezésébe nem bocsátkozhatunk, csak megemlítjük, hogy a gömbfelületen az ún. főkörök a geodetikus vonalak. A főkörök a gömb középpontján átmenő síkoknak a gömbfelülettel alkotott metszésvonalai: a gömb sugarával egyenlő sugarú körök. A földgömbön pl. a hosszúsági körök (délkörök) mind főkörök. A gömbfelület két pontját összekötő legrövidebb vonalat tehát a következőképpen kaphatjuk meg: a két pont és a gömb középpontja által meghatározott síkkal elmetsszük a gömbfelületet. A kapott főkörnek a két pontot összekötő nem hosszabbik íve lesz a keresett legrövidebb vonal (13. ábra).

Hangsúlyozzuk, hogy a két ponton átmenő főkörnek a két pont által határolt darabjai közül a kisebbet kell vennünk. Itt említjük meg, hogy a geodetikus vonal elnevezést nemcsak szűken két pontot összekötő legrövidebb vonalra szokás érteni, hanem általánosabban azokra a vonalakra, amelyek valamely felületen az egyenes szerepét játsszák. A gömb főkörei ilyen értelemben geodetikus vonalak, és ilyen értelemben lesznek a síkba kiterített felület egyeneseiből is visszahajlítás során az eredeti, síkba fejthető felület geodetikus vonalai. A fenti példa azt a figyelemre méltó tényt mutatja, hogy a geodetikus vonal elnevezést ily módon használva, a felület két pontját összekötő legrövidebb vonal mindig geodetikus vonal, de egy geodetikus vonaldarab nem feltétlenül a legrövidebb a végpontjait összekötő és a felületen haladó vonalak között. Erre más példát is mutathatunk. Az egyenes körhengernek két, ugyanazon az alkotón lévő pontját összeköthetjük pl. az alkotón kívül csavarvonallal is, amely geodetikus vonal, és mégis hosszabb, mint a két pontot összekötő alkotó-szakasz. Ha tehát két pontot több geodetikus vonaldarab köt össze, akkor ezek közül a legrövidebbet kell kiválasztanunk. Ezzel a legrövidebb geodetikus vonaldarabbal mérhetjük a felületen a két pont távolságát, annak megfelelően, hogy síkban két pont távolsága az összekötő egyenes szakasz hossza.

Földünkön két tetszőleges helyet összekötő legrövidebb út mindig egy főkörív. Két földrajzi hely egymástól való távolságát ezzel a legrövidebb főkörívvel mérik, és a két hely által meghatározott ortodrómának nevezik. Ha két földrajzi hely ugyanazon a hosszúsági körön van, akkor az ortodróma a hosszúsági körnek egy íve. Ha viszont két, ugyanazon a szélességi körön lévő földrajzi helyet tekintünk, az ezeket összekötő legrövidebb út nem a szélességi kör mentén vezet – amint azt első pillanatra a szemlélet alapján várni lehetne –, hiszen a szélességi körök általában nem főkörök. Az egyetlen szélességi kör, amely egyúttal főkör is, az egyenlítő. Az egyenlítő egyik pontjából a másikba tehát az egyenlítő mentén vezet a legrövidebb út. (Ezzel kapcsolatban érdemes megemlíteni, hogy mialatt egy szélességi kör mentén körbejárunk, az Északi, illetőleg a Déli saroktól ugyanolyan távolságban maradunk, hiszen a sarkoktól egy szélességi kör pontjaihoz vezető főkörívek – amelyek egyúttal hosszúsági körök ívei is – egyenlő hosszúak.)

Az előbbiek szerint, ha valaki a legrövidebb úton akar eljutni az egyik földrajzi helyről egy másikra, akkor a két hely által meghatározott ortodróma mentén kell haladnia. A repülőgépek és tengerjáró hajók azonban biztonsági okokból általában mégsem az ortodróma mentén, hanem egy másik vonal, a két helyet összekötő loxodróma mentén haladnak. A loxodróma, vagy más szóval az állandó irány vonala olyan vonal, amely úgy köt össze a földgömbön két földrajzi helyet, hogy közben minden délkörrel ugyanakkora szöget zár be. A repülőgépek és hajók ezt a vonalat egyszerűbben tudják követni, mert így csak egyszer kell beállniuk az iránytű segítségével a megfelelő irányba, és azután már csak arra kell ügyelniük, hogy ne térjenek el ettől az iránytól. Így hosszabb úton haladnak ugyan, de kisebb az eltévedés veszélye.

Még egy érdekes tényre mutatunk rá a gömbfelülettel kapcsolatban. A gömbfelületeken a főkörök, mint geodetikus vonalak játsszák azt a szerepet, amit a síkban az egyenesek. Ez többek között azt jelenti, hogy ha Földünkön valaki tudomása szerint egyenes vonalban halad, akkor mozgását egy másik bolygó élőlénye úgy látja, mintha egy főkör mentén haladna, azaz valójában nem egyenes vonalban halad. Ennek alapján a síkbeli háromszögek mintájára alkothatunk a gömbfelületen olyan háromszögeket, amelyeknek oldalai főkörívek. Ezeknek a gömbháromszögeknek nevezett gömbi alakzatok több olyan tulajdonsággal rendelkeznek, mint a síkbeli háromszögek. Ezekből az észrevételekből kiindulva, a síkgeometriához hasonlóan fel lehet építeni a gömbfelületen is egy geometriát. Ebben az ún. gömbi geometriában pl. a főkörök veszik át az egyenesek, a gömbháromszögek a síkbeli háromszögek szerepét. Ez a geometria azonban több lényeges tekintetben eltér a síkgeometriától. Be lehet bizonyítani pl., hogy a gömbháromszög szögeinek összege a síkbeli háromszögtől eltérően nem 180^∘

180 , hanem mindig nagyobb ennél. Látható továbbá, hogy a gömbi geometriában nincsenek párhuzamos egyenesek, hiszen bármely két főkör a gömb két átellenes pontjában metszi egymást. Éppen az utóbbi tény miatt mondjuk azt, hogy a gömbi geometria a síkbeli, euklidészi geometriától eltérően az ún. nem euklidészi geometriák egyik fajtája. Ezek után gondolhatná valaki, hogy mi tulajdonképpen a Földön élünk, amely igen jó közelítéssel gömb alakú, tehát a gömbi geometriát kellene használnunk. Ennek ellenére mi mégis a síkbeli, euklidészi geometriát használjuk! Ez azonban mégsem okoz bajt, mert egy nagy sugarú gömb felületének kis darabja már igen jó közelítéssel síknak tekinthető. Földünk is ilyen nagy sugarú gömb, és így gyakorlatilag teljesen kielégítő, ha az euklidészi geometriát használjuk. Nem kell tehát például a síkbeli háromszögek helyett gömbháromszögekkel dolgoznunk, hiszen a gyakorlatban előforduló háromszögek oldalai nagy sugarú főkörök kis ívei, amelyek már igen jó közelítéssel egyenes szakaszok. Hasonlóan, ha Földünkön tudomásunk szerint egyenes vonalban haladva, nem túlságosan nagy távolságot teszünk meg, akkor szintén egy nagy sugarú főkörnek igen kis ívén, tehát gyakorlatilag egyenes szakaszon haladunk végig. Megnyugtathatjuk tehát magunkat abban a tekintetben, hogy bár Földünkön nagy méretekben a gömbi geometria érvényes, a gyakorlatban előforduló méretek mellett nem követünk el számottevő hibát, ha az euklidészi geometriát használjuk.



[3] Az LAM

L A M háromszög ugyanis hasonló a PBM P B M háromszöghöz (2. ábra), hiszen megfelelő szögeik egyenlők (az A A és B B csúcsnál derékszögek vannak, az M M csúcsnál lévő szögek csúcsszögek, a P P és L L csúcsnál lévő szögek váltószögek). Minthogy pedig az AL A L szakasz fele a BP B P szakasznak, a hasonlóság aránya 1:2 1 : 2 , tehát az AM A M szakasz is fele a megfelelő BM B M szakasznak, vagyis az M M pont az AB A B szakaszt 1:2 1 : 2 arányban osztja.

[4] Ez a legrövidebb útvonal egy, a kocka felületén elhelyezkedő szabályos hatszög, pontosabban a kockának MN

M N testátlójára merőleges síkban lévő szabályos hatszög metszete.

[5] Egyenes körhengernek nevezzük az olyan hengert, amelynek alapja (vezérvonala) kör, alkotói a kör síkjára merőlegesek.

[6] Egyenes körkúpnak nevezzük az olyan kúpot, amelynek alapja (vezérvonala) kör, csúcsa az alapkör középpontjában az alapkör síkjára állított merőlegesen van.