Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

9. SZÁMOLÁSI EGYSZERŰSÍTÉSEK MAGYARÁZATA

9. SZÁMOLÁSI EGYSZERŰSÍTÉSEK MAGYARÁZATA

Sikerült-e megtalálni az 1. pontban említett számolási eljárások magyarázatát?

α

α ). Legkönnyebben az utolsóét találhatjuk meg. Ha egy szorzat egyik tényezőjét felezzük, a másikat viszont kétszerezzük, akkor a szorzat értéke nem változik. Az 1. pont számításának első két sorára 58⋅249=29⋅498 58 249 = 29 498 . A következő sorban viszont bonyolultabb a helyzet. Tulajdonképpen 28-nak vettük a felét, s így

28⋅498=14⋅996,
28 498 = 14 996 ,

tehát a maradék elhagyása miatt a 29 mellett álló 498-cal kisebb lesz a két új szám szorzata, mint az előbbi kettőé:

29⋅498=14⋅996+498.
29 498 = 14 996 + 498 .

A következő lépésekben hasonlóan:

14⋅996=7⋅1992=3⋅3984+1992=1⋅7968+3984+1992.
14 996 = 7 1992 = 3 3984 + 1992 = 1 7968 + 3984 + 1992 .

Így valóban

58⋅249=498+1992+3984+7968.
58 249 = 498 + 1992 + 3984 + 7968 .

Általában is ez a helyzet: valahányszor egy páratlan szám helyett az eggyel kisebb szám felét írjuk le, ezzel a páratlan szám mellett álló számmal kisebb lesz az új két szám szorzata, mint a régi kettőé; így ezeket mind hozzáadva az utoljára duplázott számhoz, kapjuk a kiinduláskor leírt két szám szorzatát.

β

β ) Az 1.b)-nél általánosabban kiszámíthatjuk pl. a 62⋅68 62 68 szorzatot úgy, hogy a 6⋅7 6 7 szorzat után leírjuk a 2⋅8 2 8 szorzatot.

Általában alkalmazható az eljárás két olyan szám szorzására, amelyek csak az utolsó jegyben különböznek, és az utolsó jegyek 10-re egészítik ki egymást. Ilyenkor az utolsó jegy elhagyásával maradó számot szorozzuk az 1-gyel nagyobb számmal, és utána írjuk az utolsó jegyek szorzatát, az utóbbit mindig 2-jegyű számnak írva, tehát az 1⋅9

1 9 -et 09 alakban. Pl.:

Az eljárás helyességét a számítás átalakításával láthatjuk be az utolsó előtti példa esetében pl. így:

62⋅68=62⋅60+62⋅8=62⋅60+60⋅8+2⋅8.
62 68 = 62 60 + 62 8 = 62 60 + 60 8 + 2 8 .

Az első két összeadandóban a 60-at kell 62-szer és még 8-szor venni, így

62⋅68=60⋅(62+8)+2⋅8=60⋅70+2⋅8=6_̲⋅7⋅100+2_̲⋅8=
62 68 = 60 ( 62 + 8 ) + 2 8 = 60 70 + 2 8 = 6 ̲ 7 100 + 2 ̲ 8 =

=4200+16=4216.
= 4200 + 16 = 4216 .

Az átalakításokat éppen a két tényező fönt leírt egyszerű kapcsolata tette lehetővé, így hasonló átalakítások minden, a mondott tulajdonságú szorzatnál elvégezhetők.

Az algebra nyelvén kifejezve, itt az (n+k)⋅(n+l)=n⋅(n+k+l)+k⋅l

( n + k ) ( n + l ) = n ( n + k + l ) + k l azonos átalakítást használjuk fel, ahol n n a tízeseket jelenti, vagyis 10t 10 t alakú és k+l=10 k + l = 10 . Így n⋅(n+k+l)=10t(10t+10)=t⋅(t+1)⋅100 n ( n + k + l ) = 10 t ( 10 t + 10 ) = t ( t + 1 ) 100 . Ez az azonosság számos további szorzási egyszerűsítésre ad lehetőséget olyan szorzatoknál, amelyeknél n n , vagy n+k+l n + k + l , vagy – mint esetünkben – a kettő szorzata több 0-ra végződik.

γ

γ ) Az 1.a) számítás helyességét a legkevésbé egyszerű látni. Az ott szereplő szorzat a felnyújtott ujjak számának feltüntetésével: (5+1)⋅(5+3) ( 5 + 1 ) ( 5 + 3 ) , a leírt kiszámításmód pedig: (1+3)⋅10+(5–1)⋅(5–3) ( 1 + 3 ) 10 + ( 5 1 ) ( 5 3 ) . Más a szorzatoknál az „1” és „3” helyébe kerül más számú ujj. Általában k k -val és l l -lel jelölve a felnyújtott ujjak számát, azt kell belátni, hogy az (5+k)⋅(5+l) ( 5 + k ) ( 5 + l ) szorzás mindig ugyanarra az eredményre vezet, mint a (k+l)⋅10+(5–k)⋅(5–l) ( k + l ) 10 + ( 5 k ) ( 5 l ) számítás. Egyszerű átalakításokkal, amelyeket konkrét számokkal már az előbbiekben is használtunk, az első szorzat így alakítható át:

(5+k)⋅(5+l)=(5+k)⋅5+(5+k)⋅l=5⋅5+k⋅5+5⋅l+k⋅l,_̲
( 5 + k ) ( 5 + l ) = ( 5 + k ) 5 + ( 5 + k ) l = 5 5 + k 5 + 5 l + k l , ̲

a második kifejezés pedig így:

(k+l)⋅10+(5–k)⋅(5–l)=k⋅10+l⋅10+(5–k)⋅5– –(5–k)⋅l=k⋅10+l⋅10+5⋅5–k⋅5–(5⋅l–k⋅l)= =k⋅10+l⋅10+5⋅5–k⋅5–5⋅l+k⋅l= =k⋅5+l⋅5+5⋅5+k⋅l._̲
( k + l ) 10 + ( 5 k ) ( 5 l ) = k 10 + l 10 + ( 5 k ) 5 ( 5 k ) l = k 10 + l 10 + 5 5 k 5 ( 5 l k l ) = = k 10 + l 10 + 5 5 k 5 5 l + k l = = k 5 + l 5 + 5 5 + k l . ̲

A két aláhúzott kifejezés csak a tagok sorrendjében és egyes tagokban a tényezők sorrendjében különbözik. Tudjuk azonban, hogy sem az összeadandók, sem a szorzótényezők felcserélése nem változtat a művelet eredményén, így a kétféle számítás eredménye mindig megegyezik.