Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

3. SZÁMKITALÁLÁS

3. SZÁMKITALÁLÁS

Ismeretes rengeteg számkitaláló játék, ezek közül bemutatunk kettőt.

a) Gondolj egy számot, szorozd meg 6-tal, vegyél el belőle 3-at, vedd a dupláját, add össze a számjegyeket, amit kaptál, vedd 3-szor, add össze a számjegyeket, ha az eredmény többjegyű, annak is add össze a jegyeit és ismételd, amíg egyjegyű eredményt nem kapsz, szorozd meg ezt a számot 4-gyel, adj hozzá 13-at! Ha jól számoltál, 49-et kaptál. Növelhetjük a hatást azzal, hogy előre felírjuk egy lapra a végeredményt, és lefordítva letesszük, a végén pedig csak fölemeljük: „Itt az eredmény”.

b) Írj le egy számot, írj ugyanezekkel a jegyekkel, csak más sorrendben egy másikat, és vond ki a nagyobbikból a kisebbet! Csináld ezt meg több számmal is, és mondd meg a végeredményeket:

801, 17 612, 2574, 295 576, 19 998.
801 , 17 612 , 2574 , 295 576 , 19 998 .

Nézd meg a számításodat, a második és negyedik kivonásban biztosan hibáztál!

Vajon honnan lehet ezt tudni? Hiszen nem ismerjük a számokat, amiket a felszólított kivont, ill. amiből az a) esetben a számítások kiindultak. Mindkét esetben a „ 9-es próba” adja a magyarázatot, amellyel az első cikkben ismerkedett meg az olvasó, belátva, hogy egy szám 9-cel osztva annyi maradékot ad, mint amennyit a számjegyeinek összege ad.

Ezt a tényt felhasználják számítások ellenőrzésére is, ugyanis összeg, különbség és szorzat maradéka 9-cel osztva ugyanannyi, mint az egyes számok maradékai összegének, különbségének, illetve szorzatának az osztási maradéka, és ugyanez áll a hatványozásra is, hiszen a hatványozás ismételt szorzás csupa egyenlő tényezővel.

Ennek alapján könnyen kiszámíthatjuk egy művelet vagy műveletsor eredményének osztási maradékát az egyes számok maradékából, és meghatározhatjuk a végeredmény maradékát. Ha a kettő nem egyezik, akkor hiba van a számításban. (De hiba akkor is lehet, ha a 9-cel való osztás maradékával nincs baj.)

A 3.a) pontban leírt játék ezek alapján így érthető: A 6-tal való szorzáskor 3-mal osztható számot kaptunk, ez a 3 elvételével és a kétszerezéssel sem változott meg. (Ezek a lépések egyébként lényegtelenek a feladat szempontjából.) A 3-mal való szorzás után már 9-nek egy többszörösét kapjuk, így a jegyek ismételt összeadásával végül egy egyjegyű és 9-cel osztható számhoz jutunk. Ilyen csak a 9 és a 0, de a számjegyek összege 0 nem lehet, tehát a jegyek összeadásának eredménye csak 9 lehet. A további műveletek eredményét már ismerjük, és így olyan eredményt alakíthatunk ki, amilyent éppen akarunk.

A b) pontban a különbség két tagja ugyanazt a maradékot adja 9-cel osztva, mert ugyanaz a számjegyek összege (ugyanazokból a jegyekből áll mind a két szám), így a különbség osztható 9-cel, tehát kell, hogy a számjegyeinek összege is 9-cel osztható legyen. Ez nem teljesül a második és negyedik eredményre, tehát ezek biztosan hibás számításból eredtek. Megjegyzendő azonban, hogy a másik három számítás is lehet hibás, hiszen sok olyan számolási hiba lehetséges, amely az eredményt 9-cel osztható számmal változtatja meg, és ekkor a számjegyek összege 9-cel osztható marad.