Ugrás a tartalomhoz

Matematika didaktikusan

Pálfalvi Józsefné dr. Csekő Sarolta

Typotex

Koordináták a síkban, a térben, a gömbfelületen

Koordináták a síkban, a térben, a gömbfelületen

Derékszögű koordináták a síkban és a térben

Diákjaink alsós koruk óta tudják, hogyan lehet a sík pontjait megadni két szám segítségével két egymásra merőleges egyeneshez képest. Később ezeket a számokat el is nevezték jelzőszámoknak (koordinátáknak). Érdemes föleleveníteni azt a legegyszerűbb esetet, amikor a sík pontjait maguk a gyerekek képviselik, a számok pedig azt jelentik, hogy hányadik helyen ül az illető az ajtótól, illetve a táblától számítva. Például (1;1)

( 1 ; 1 ) ül elöl, az ajtóhoz legközelebb, mögötte (1;2) ( 1 ; 2 ) stb. A jelzőszámok ekkor pozitív egész számok, és ritkán nagyobbak 6-nál, bár a második jelzőszám néha 7, sőt 8 is lehet.

A mezőn kincs van elásva, meg kell adnunk a helyét: ez a példa több szempontból is túlmegy az előbbin, általánosabb esetet szemléltet: Egyrészt a koordináták nemcsak egész számok lehetnek. Másrészt a két merőleges úttól való távolságok nem adják meg egyértelműen a kincs helyét. Ha például tudjuk, hogy egy észak–dél irányú úttól 0,250

0,250  km-re, a másik, nyugat–kelet irányú úttól 0,125 0,125  km-re van a kincs, akkor négy hely jöhet szóba. Azt is meg kell mondani hogy az észak–dél irányú úttól kelet vagy nyugat felé és a nyugat–kelet irányú úttól észak vagy dél felé található-e a kincs. Tehát nem egyszerűen távolságokkal, hanem irányított távolságokkal lehet megadni a kincs helyét. Idealizáljuk a példát: tekintsük a kincset pontszerűnek, az utakat pedig matematikai egyeneseknek, amelyeken megadjuk az egységet. Az utak metszéspontja legyen az origó (kezdőpont, (0;0) ( 0 ; 0 ) pont); az 1-nek megfelelő pontok kijelölésével irányítjuk is az egyeneseket. (Egyszerűség kedvéért legyen az egység mindkét tengelyen ugyanaz.)

Ebben a rendszerben a sík bármely pontjához tartozik egy valós számokból álló rendezett pár, és fordítva is, valós számokból álló bármely rendezett párhoz tartozik a síknak egy pontja. A kincs helyét egyértelműen meghatározza a két irányított távolság, ha tudjuk, hogy melyik távolságot melyik tengelytől – s akkor a másik tengely mentén kell mérni.

Harmadik általánosítási lehetőség az elásott kincs példája segítségévei: a síkból kiléphetünk a térbe. A kincs helyéről ugyanis a két jelzőszám, a két úttól való irányított távolság csak annyit mond: itt kell ásni. De milyen mélyre? Ha ezt nem tudjuk, akkor esetleg idő előtt abbahagyjuk az ásást. A mélység már egy harmadik koordináta. A három együtt adja meg a pontszerűnek tekintett kincs helyét. Nincs akadálya annak, hogy a „lefelé” – föld középpontja felé irányított tengelyen pozitív számmal fejezzük ki a mélységet. De megtehetjük azt is, hogy fölfelé irányítjuk ezt a harmadik tengelyt, és akkor a mélységet negatív szám fejezi ki. Lehet, hogy az utak segítségével az első két jelzőszámmal – megadott helyen épület áll, annak valamelyik emeletén, padlásán, falában is lehet a kincs. Ebben az esetben a harmadik jelzőszám előjele is fontos: mindhárom jelzőszám irányított távolságot fejez ki.

Egy negyedik általánosítási lehetőség: ha az utak nem merőlegesek egymásra, a tőlük való irányított távolságokkal akkor is egyértelműen meg lehet adni a kincs helyét. A távolságok helyett – amelyeket a tengelyekre merőleges szakaszok hossza ad meg, ha ugyan a pont nincs éppen a tengelyen – a másik tengellyel párhuzamos szakaszok hosszát is használhatjuk ilyenkor jelzőszámnak. A harmadik tengely sem kell, hogy merőleges legyen az első kettőre.

Ez az általánosítás ferdeszögű koordináta-rendszerekhez vezet. Nincs nagy gyakorlati jelentőségük; éppen csak megemlítjük ezt a lehetőséget is.

Polárkoordináták a síkban

Az alkalmazások szempontjából nagyon fontos viszont az, hogy a sík bármely pontját egyértelműen meg lehet adni egy távolság és egy szög segítségével. Az elásott kincs példáján: megadhatjuk, milyen messze van egy kúttól, és hogy aki a kútnál áll, kelet felé fordulva, annak mennyivel kell elfordulnia bal kéz felé, hogy éppen a kincsre nézzen.

Annak természetesen nincs jelentősége, hogy merre van arccal, amikor forogni kezd, és annak sincs, hogy bal kéz felé kezd forogni, de ezek a matematikában leginkább szokásos megállapodások. (Amikor a keleti irányt mondjuk kezdő iránynak, akkor a térképek szokásos beállítására gondolunk. Matematikaibban fogalmazva: az x

x tengely irányából az óramutató járásával ellenkező irányba mérjük a szöget.)

Ilyen módon is két számmal adhatjuk meg egy pont helyét a síkban. Milyen számokkal?

Megint idealizálunk, és a mezőt, ahol a kincs el van rejtve, nem a földfelszín egy részének, nem is a sík egy részének, hanem matematikai értelemben vett – minden irányban végtelen – síknak tekintjük. A kút sem kút már, hanem a síknak egy pontja. Az első jelzőszám most a kincsnek – amely szintén pontszerű – ettől a kezdőponttól való távolsága. Nem irányított távolsága, hanem egyszerűen: távolsága. Adott hosszegységben mérve ez mindig egy nemnegatív valós szám. (Ha a pontszerű kincs a pontszerű kútban van, akkor 0, különben pozitív.) Nemcsak az igaz, hogy a távolság mindig egy nemnegatív valós szám; hanem az is, hogy bármely nemnegatív valós szám lehet (adott egységhez, mégpedig bármilyen egységhez képest). A következő ábra segítheti őket a megértésében.

I. Az elásott kincs távolsága a kúttól mindig nemnegatív valós szám:II. Az elásott kincstávolsága a kúttól bármely nemnegatív valós szám lehet:I. és II. együtt

A másik jelzőszám milyen szám lehet?

Ha az első jelzőszám 0, akkor semmi vagy bármi, nincs jelentősége. Nem kell semerre fordulnunk, illetve akármerre fordulunk, a kincs helyén vagyunk. Minden más esetben: ha az alapiránytól (kelet) meghatározott irányban (bal felé) kezdjük a forgást, akkor negatív számokra nincs szükség; ha kelet felé van a kincs, akkor 0 lesz az elfordulás, ha másfelé van, akkor valamilyen pozitív elfordulással abba az irányba fordulhatunk. Most azonban az már nem igaz, hogy az elfordulás szöge bármilyen nemnegatív valós szám lehet. (Feltételezzük, hogy nem forgunk hiába: mihelyt a kincs felé nézünk, megállunk). A szögmérés egységétől függ, hogy milyen pozitív valós számok lehetségesek. Ha például fokban mérjük a szöget, akkor csak 360^°

360 ° -nál kisebbek, ha derékszögben, akkor 4-nél kisebbek, ha radiánban, akkor 2? 2 ? -nél (kb. 6,3 6,3 -nél) kisebbek stb. Bárhogy adunk meg egy nemnegatív valós számot mint távolságot és egy ennek a feltételnek megfelelő (pl. 360-nál kisebb) nemnegatív valós számot, ezek együtt mindig meghatározzák a síknak egy pontját, a kincs helyét.

Hengerkoordináták, térbeli polárkoordináták

Amikor derékszögű koordinátákról volt szó, akkor végül tekintetbe vettük azt is, milyen mélyen (vagy magasan) van a kincs. Ez volt a harmadik koordináta. Ha polárkoordinátákkal adjuk meg a kincs helyét, akkor is lehet éppen ez a harmadik adat, amely még szükséges a hely meghatározásához: az a szám, amely kifejezi, hogy a kincs milyen mélyen vagy magasan van. Ez már negatív szám is lehet, nem úgy, mint az első két jelzőszám. A síkbeli polárkoordinátákat ezzel a harmadik adattal – mondjuk így: magassággal – kiegészítve úgy nevezzük: hengerkoordináták. (Gondoljunk arra, hogy a henger alap körének sugara a távolság, a szögtől függ, hogy a palást melyik alkotóján vagyunk, a harmadik adat pedig a henger alkotóján elfoglalt helyünket adja meg. Mivel a sugár változik, ne egy hengerre gondoljunk, hanem közös forgástengelyű körhengerek sokaságára.)

A hengerkoordináták nem szerepelnek a tananyagban (mint ahogy a ferdeszögű koordináták sem), de könnyen eszébe juthat valamelyik gyereknek ez a lehetőség a térbeli pont helyének megadására, ezért említjük. A polárkoordináták másik általánosítása a térre: egyetlen távolság- és két szögadattal határozzuk meg a pont helyét. A magasságot is szöggel adjuk meg tehát: a kezdőponttól a ponthoz (a kúttól a kincshez) húzott szakasznak a vízszintessel bezárt szögével. Ez a szög pozitív, 0 és negatív is lehet, de az abszolút értéke legföljebb egy derékszög (90^°

90 ° ). A síkbeli polárkoordináták ezzel a harmadik (szög-) adattal együtt alkotják a térbeli polárkoordinátákat.

A hengerkoordináták szemléletesen szólva azzal adják meg egy pont helyét a térben, hogy mekkora alapsugarú forgáshengeren található a pont, és a hengeren hol. A térbeli polárkoordináták viszont azt adják meg, hogy közös középpontú gömbfelületek közül melyiken (tehát ismét: mekkora sugarún) található a pont és azon hol. Ha a gömb sugara adott, például a földgömbön kell egy pont helyét meghatároznunk, akkor a távolságadatra nincs szükség, két szögadattal lehet meghatározni a pont helyét. A földrajzi hosszúság és szélességadatok éppen ezek a szögek. A különbség csak az, hogy a délköröket nem 0-tól 360-ig számozzuk kelet felé (ez felelne meg az Északi Sark felől nézve az óramutató járásával ellentétes forgásiránynak), hanem kelet felé és nyugat felé egyaránt csak 180^°

180 ° -ig. Ha a nyugati hosszúságokat negatív, a keletieket pozitív számokkal jelöljük, akkor a földrajzi hosszúságok – más szóval: a délkörök – számozása ^–180 - 180 -tól 180-ig megy. Ehhez hasonlóan jelölhetjük az északi szélességeket pozitív, a déli szélességeket negatív számokkal, és akkor a földrajzi szélességek 90-től ^–90 - 90 -ig terjedő értékek lehetnek. Ezek pontosan a térbeli polárkoordináták szögadatai. A föld középpontjától való távolság a harmadik – pontosabban az első – térbeli koordináta. Ehelyett a gyakorlatban inkább a tengerszint feletti magasságot szokták használni, ami szintén lehet negatív is, nemcsak pozitív vagy 0.

Érdemes ilyen módon megteremteni a kapcsolatot a földrajz (eligazodás a földgömbön!) és a matematika közt: eljuttatni a tanulókat ahhoz a felismeréshez, hogy a földrajzból ismert szélességek és hosszúságok lényegében térbeli polárkoordináták. Azt azonban meg kell gondolniuk, hogy ezek a térbeli polárkoordináták az egyenlítő síkjában felvett síkbeli polárkoordinátáknak a térre való kiterjesztései. Ebben a síkban az x

x tengely a 0 (greenwichi) délkör felé mutat a föld középpontjából, vagyis egyáltalában nem kelet felé, mint egy olyan koordináta-rendszerben, amelyet egy szokásos állású térképhez rögzítünk. Innen számítjuk a síkbeli polárkoordináta szögét, a másik szögadatot pedig az egyenlítő síkjától – nem pedig a vízszintes síktól! – észak, illetve dél felé.

Térbeli polárkoordinátákkal szokás megadni az égitestek helyét is egy földi megfigyelőhelytől számítva. Ilyenkor a harmadik jelzőszám (a második szögadat) valóban egy olyan vízszintes síktól számít, amelyet képzeletben a megfigyelőhelyhez rögzítünk. (Ez egy olyan sík, amely a föld simának képzelt felületét a megfigyelőhely pontjában érinti.) Pozitív akkor, ha az égitest a látóhatár fölött van, negatív akkor, ha alatta van („lement”). A második jelzőszámot – az első szögadatot – viszont ilyenkor rendszerint a déli iránytól a keleti irány felé számítják. (A neve: azimut – ezt persze nem kell megtanítani!) Bár az égitesteknek csak az irányát látjuk, ki lehet számítani és könyvekben meg lehet találni számos égitest tőlünk való távolságát is. A megfigyelőhelyünkhöz rögzített térbeli jelzőrendszerben az az első jelzőszám.