Ugrás a tartalomhoz

Matematika didaktikusan

Pálfalvi Józsefné dr. Csekő Sarolta

Typotex

Szabályos poliéderek

Szabályos poliéderek

Poliéder azt jelenti: síklapú test. (Pontosabban: véges számú síklappal határolt test.) A sokszög szó mintájára alkotott magyar szóval úgy is nevezhetjük: soklap. (Sokszög görög szóval poligon; poliéder is görög szó, pontosan soklapot jelent.)

Ha egy testet csupa síklap határol, akkor ezek a síklapok csak szakaszokban találkozhatnak, mert síkok mindig egyenesekben metszik egymást. Ebből következik, hogy a csupa síkidommal határolt testek minden lapja sokszög. A sík- és térmértani modellező készlet lapjaiból sokféle poliédert lehet összeragasztani. A poliéderekre jellemző, hogy hány lapjuk van, egy-egy csúcsban hány találkozik közülük, és ezek hány oldalú sokszögek, mekkorák a sokszögek oldalai, szögei, mekkora szöget zárnak be egymással a szomszédos lapok stb.

Különösen érdekesek az olyan poliéderek – ezek a szabályos poliéderek –, amelyeknek minden lapjuk egybevágó szabályos sokszög, minden csúcsban ugyanannyi találkozik és ugyanakkora szöget zár be. A feltételek második felét („minden csúcsban ugyanannyi találkozik és ugyanakkora szöget zár be”) úgy is mondhatjuk: minden testszöglete egybevágó és szabályos; vagyis a testszögleteiről is ugyanazt kötjük ki, mint a lapjairól.

Ezek a feltételek így nagyon tudományosan hangzanak, de igen egyszerű szemléletes jelentésük van: akármelyik lapját nézzük, és ezt akármelyik oldalára fordítjuk, nem tudjuk megkülönböztetni sem a lapokat, sem az oldalaikat; és akármelyik csúcsában összefutó éleket nézzük, ezeket sem tudjuk megkülönböztetni egymástól, sem azt, hogy éppen melyik élt fordítjuk fölfelé. A szabályos sokszögek szabályosságát is lehet így érteni: nem oldalakról és szögekről beszélünk, hanem elforgathatóságról.

Szabályos sokszög végtelen sok van: n=3

n = 3 -tól kezdve minden n n -hez tartozik egy szabályos n n -szög. Mégpedig pontosan egy, ha csak az alakját tekintjük, a méretét nem. (Ez azt jelenti, hogy például minden szabályos ötszög hasonló, azaz egyező alakú.)

Szabályos poliéder viszont alakját tekintve csak ötféle van. Ezt a tényt – amit már a régi görögök is ismertek – maguk a tanulók felfedezhetik, miközben a modellező készletből poliédereket állítanak elő. Ilyen tapasztalatok és megfontolások vezethetik őket erre a felismerésre:

1. Próbálkozzunk szabályos háromszögekkel. Sikerül olyan poliédert ragasztani, amelyben 3 ilyen lap találkozik minden csúcsban; olyat is, ahol 4; olyat is, ahol 5; ha 6 találkozik, akkor a háromszögek már síkba terülnek ki, sohasem záródnak poliéderré.

2. Próbálkozzunk szabályos négyszögekkel (négyzetekkel). Három-három négyzet találkozik a kocka minden csúcsában. Négy nem találkozhat, ugyanazon okból, amiért hat háromszög sem. (90^°

90 ° -nak a négyszerese 360^° 360 ° , ugyanúgy, mint 60^° 60 ° -nak a hatszorosa.)

3. Szabályos ötszögek közül találkozhat egy csúcsban három, mert 108^°

108 ° -nak a háromszorosa csak 324^° 324 ° ; ezzel az elindulással is keletkezik egy szabályos poliéder.

4. Szabályos hatszögből már három is síkba terül, ha egy csúcsuknál összeillesztjük őket. (120^°

120 ° -osak a szögeik; 120^°·3=360^° 120 ° · 3 = 360 ° .)

Hatnál több szabályos háromszöget, négynél több négyzetet, háromnál több szabályos ötszöget vagy hatszöget szintén nem illeszthetünk egy csúcshoz, hatnál több oldalú szabályos sokszögekből pedig hármat sem: ezekben az esetekben a szögek összege több lenne 360^°

360 ° -nál. 360^° 360 ° -nál nagyobb szögösszeg előfordulhat ugyan egy csúcs körül, de csak úgy, hogy a lapok „fodrozódnak”, ami azt jelenti, hogy a lapszögek közt – a lapok egymással alkotott szögei közt – 180^° 180 ° -nál nagyobb és kisebb is van. Akkor pedig ezek a szögek nem egyenlők, és így a poliéder nem lehet szabályos.

Megfigyelések egyéb poliédereken. Euler poliédertétele

A KOMBI KOCKA elemein számos példát találhatnak a tanulók olyan csúcsokra, amelyek közül az élszögek összege – vagyis a lapokon levő szögek összege ennél a csúcsnál ^–360^°

- 360 ° -nál (4d 4 d -nél) több (l. az ábrát).

a) b) c)

Ilyen csúcsai azoknak a poliédereknek vannak, amelyek nem konvexek, éppúgy, mint 180^°

180 ° -nál nagyobb szögei azoknak a sokszögeknek vannak, amelyek nem konvexek. Szemléletesen úgy képzelhetjük, hogy az egyszerű sokszögek azért tudnak záródni, mert ami a 180^° 180 ° -ból egy-egy csúcsuknál hiányzik, az együtt 360^° 360 ° -ra gyűlik fel; ha némelyik csúcsuknál 180^° 180 ° -nál nagyobb a szög, akkor ez negatív hiány, és más csúcsoknál többnek kell hiányoznia, hogy meglegyen a 360^° 360 ° . (Ezek a hiányok a külső szögek, a negatív hiány negatív külső szög.) Poliédereinknél is megvizsgálhatjuk, mennyi a 360^° 360 ° -hoz képest a szöghiányok összege; ha többlet van, azt itt is negatív hiánynak tekinthetjük. A kocka minden csúcsában 270^° 270 ° a szögek összege, a hiány 360^° 360 ° -hoz képest 90^° 90 ° , ezeknek az összege a nyolc csúcsnál 720^° 720 ° (8 derékszög). Az előző ábrán látható poliédereknél, d d -ben számolva:

a) 10 csúcsnál egy-egy d

d hiányzik, 2 csúcsnál egy d d a többlet, a hiány összesen 8d 8 d .

b) 12 csúcsnál egy-egy, összesen 12d

12 d hiányzik, két csúcsnál egy-egy, egy csúcsnál két d d a többlet. A hiány itt is 8d 8 d .

c) 13 csúcsnál egy-egy, összesen 13d

13 d hiányzik, három csúcsnál egy-egy, egy csúcsnál két d d a többlet. A hiány szintén 8d 8 d .

Szabályos tetraédernél, más szabályos és nem szabályos poliédereknél is megvizsgálhatják és ellenőrizhetik ezt az eredményt. Találhatnak ellenpéldákat is, egyet az ábra mutat:

Ennek a poliédernek 16 csúcsa van. A 8 szélső csúcsánál egy-egy derékszög hiányzik a 360^°

360 ° -ból, belül – a lyuk szélénél – egy-egy derékszöggel több van 360^° 360 ° -nál. Együttvéve a szöghiány 0.

Miféle poliédereknél található 8d

8 d , 0 vagy egyéb szöghiány? Ennek a kérdésnek a vizsgálata topológiai fogalmakhoz vezet. Szemléletesen szólva: gömbbé felfújható felületű poliédereknél 8d 8 d a szöghiány. Az ábrán látható poliéder felületét tórusszá (belső gumivá, gumikarikává) lehet felfújni. Ezeknek a fogalmaknak pontos matematikai jelentést lehet adni. Egyelőre maradjunk a szemléletes elképzelésnél. Megjegyezzük még, hogy a gömbbé felfújható (azaz folytonos alakváltozással gömbfelületté alakítható, gömbszerű) felületű poliéderek közül azokat, amelyeknek minden lapja egyszerű sokszög (azaz folytonos alakváltozással körré alakítható, körszerű, úgy nevezzük: egyszerű poliéderek. A fenti poliéder azért sem egyszerű, mert a felülete nem gömbszerű, és azért sem, mert vannak nem körszerű lapjai: az elülső és a hátsó lapja körgyűrűvé alakítható folytonos alakváltozással. Az ábrán levő poliéder felülete ugyan gömbszerű, gömbbé fújható fel, de van egy olyan lapja, amely nem körszerű, ezért ez sem egyszerű poliéder. Mégis 8d 8 d a szöghiánya; ehhez elég, hogy gömbszerű legyen a felülete. Nem érvényes rá viszont Euler (Leonhard Euler (ejtsd: ajler) svájci születésű matematikus (1707–1783)) poliédertétele: nem igaz, hogy 2-vel kevesebb éle van, mint lapja és csúcsa együtt. Ha egy poliéder egyszerű, akkor nemcsak az igaz rá, hogy a szöghiánya 8d 8 d (mint minden gömbszerű poliéderre), hanem Euler poliédertétele is.

e=24 / c=16 / l=11} c+l?e+2 c+l=e+3
e = 24 c = 16 l = 11 c + l ? e + 2 c + l = e + 3

Aki a mondottakból azt szűri le, hogy csak olyan poliédereknek van 2-vel kevesebb éle, mint lapja és csúcsa együtt, amelyeknek a felülete gömbszerű és minden lapja körszerű (vagyis amelyek egyszerűek), az logikai hibába esett. Nem mondtuk, hogy ez az összefüggés csak az egyszerű poliéderekre érvényes. Azt mondtuk, hogy érvényes az egyszerű poliéderekre. Nézzük csak meg az előző poliéderen is a lapok, élek, csúcsok összefüggését: e=24

e = 24 (szintén), c=16 c = 16 (szintén), de l=10 l = 10 . Itt c+l=e+2 c + l = e + 2 , pedig ez a poliéder két okból nem egyszerű: sem a felülete nem gömbszerű, sem a lapjai nem (nem mind!) körszerűek. A tanulság nemcsak az, hogy „kétféle eltérés közömbösítheti egymást”. (Dolgozatíráskor is előfordulhat, hogy valaki úgy hibázik kétszer, hogy ebből helyes végeredmény adódik.) Nagyobb tanulság az, hogy „ha …, akkor …” és „pontosan akkor …, ha …” közt nemcsak akkor érdemes különbséget tenni, amikor éppen logikáról van szó. Minden matematikai és nem matematikai állításunkban törekednünk kell arra, hogy azt mondjuk, amit mondani akarunk. Például halljuk ki a következő állításokból, melyek mondják ugyanazt, melyek valami mást:

A) Ha P

P egyszerű poliéder, akkor igaz rá c+l=e+2 c + l = e + 2 .

B) Csak egyszerű poliéderekre igaz, hogy c+l=e+2

c + l = e + 2 .

C) Minden egyszerű poliéderre igaz, hogy c+l=e+2

c + l = e + 2 .

D) Pontosan az egyszerű poliéderekre igaz, hogy c+l=e+2

c + l = e + 2 .

E) Amelyik poliéder egyszerű, arra c+l=e+2

c + l = e + 2 .

F) Az egyszerű poliéderekre igaz, hogy c+l=e+2

c + l = e + 2 .

G) Az egyszerű poliéderekre igaz, hogy c+l=e+2

c + l = e + 2 .

(Az utóbbi kettő csak hangsúlyban különbözik – amit dőlt betűvel emeltünk ki –, mégis mást mond, és csak az egyik mond igazat. Jobb kerülni az olyan fogalmazásokat, amelyekben ilyen kis különbség is megváltoztatja a jelentést. Erre való a „pontosan” szóval való kiemelés. A téves G) állítást egyértelműbben fejezi ki D) vagy B).)

Lapszög

Ha a tanulók Babylon-játékból felépítik poliéderek élvázát, megfigyelhetik, hogy az élszögek – vagyis a pálcikák szögei – a Babylon-golyókon a lyukak távolságaival fejezhetők ki:

A poliéderek minden testszögletének megfelel a Babylon-golyón egy gömbsokszög. Ennek az oldalaival lehet megadni a testszögletben található élszögeket. (Az oldalakat szögegységekben mérhetjük.) Mit árulnak el a testszögletről ennek a gömbsokszögnek a szögei (l. az ábrát)?

Azt, hogy mekkora szögben hajlanak egymáshoz a poliéder lapjai. (Két olyan lap szögét, amelyek élben találkoznak, az élre egy pontjában emelt, a lapokban fekvő merőleges szakaszok szögével határozhatjuk meg. Ha az éleket jelentő pálcikáknak arra a pontjára gondolunk, amely a golyó felületén van, akkor világos, hogy az itt emelt, a képzeletbeli lapok félsíkjában fekvő merőlegesek szöge éppen a gömbsokszög egyik szöge.)

Ilyen megfeleltetést találunk tehát:

testszöglet gömbsokszög
élszöge (élek szöge) oldala
lapszöge (lapok szöge)     szöge

Készítsenek a tanulók Babylonból és sík- és térmértani építőből is szabályos tetraédereket és oktaédereket. Mivel ezeknek a lapjai szabályos háromszögek, a Babylonból való építéskor olyan lyukakat kell keresniük a golyókon, amelyeknek a szögtávolsága 60^°

60 ° . Ez egy teljes főkör (360^° 360 ° ) hatodát jelenti. Több olyan főkör is található a golyókon, amelyeket a rajtuk levő lyukak hat egyenlő ívre osztanak. (Az maga is érdekes matematikai probléma, hogy ha a lyukak koordinátái 45^° 45 ° többszörösei, akkor ebből hogyan következik hat-hat ilyen ív egyenlősége.) Amikor szabályos tetraédert építenek, akkor egy-egy testszöglethez három olyan lyukat kell találniuk, amelynek páronként 60^° 60 ° a szögtávolsága. (Gyakori hiba, hogy egyik lyuknak valamelyik Sarkot akarják választani, pedig úgy nem sikerülhet a kívánt testszöglet kitűzése. Egyenlítői lyuk is csak egy lehet a három közül.) Kérdezzük meg, mekkorára becsülik annak a gömbháromszögnek a szögeit, amelyet három ilyen lyuk alkot (úgy képzeljük, hogy a lyukak közepe egy-egy csúcs). Bizonyára lesz, aki azt hiszi, 60^° 60 ° -osak ezek is éppúgy, mint az oldalak. Amikor kockát építenek, akkor az oldalak is 90^° 90 ° -osak, a szögek is. Most azonban a szögek egyenlők ugyan, de nem 60^° 60 ° -osak, hanem nagyobbak. Erről meggyőződhetnek úgy, hogy a modellező készletből épített szabályos tetraéderek közül megpróbálnak annyit összeilleszteni egy él mentén, amennyi elfér. Öt elfér, marad is hézag, de sokkal kisebb, semhogy elférne oda egy hatodik. Így ismét meggyőződhetnek arról, hogy a gömbháromszög szögeinek összege nagyobb 180^° 180 ° -nál.

Hasonló tapasztalatokat szerezhetnek szabályos oktaéderek építésével, szintén mindkétféle modellező készlettel.

A szabályos sokszögekkel való parkettázásban szerzett tapasztalataik nyomán a tanulók bizonyára feltételezik, hogy nemcsak kockával lehet hézagmentesen kitölteni a teret – korlátlanul építkezni –, hanem szabályos tetraéderrel és oktaéderrel is. Tapasztalataik meggyőzik őket arról, hogy ez nem így van. Arról is meggyőződhetnek azonban, hogy bár külön-külön sem a szabályos tetraéder, sem a szabályos oktaéder nem alkalmas a tér hézagmentes kitöltésére, együtt a kettő igen, ha élhosszaik egyenlők. A sík- és térmértani modellező készletből külön-külön épített szabályos tetraéderek és oktaéderek összerakása még csak tapasztalatgyűjtés ennek a belátásához. A Babylonból ilyen modell alapján készített térrács azonban már a bizonyítás alapgondolatát is megadja. Ebben az esetben ugyanis a lyukak szabályos elrendezése olyan képzeletbeli matematikai modellt ad, ami a modell fizikai megvalósításának pontatlanságától független.

Nem várhatunk a tanulóktól ezen a fokon kifogástalan bizonyításokat. Még az is csak lassanként alakul ki, hogy mit szabad egyáltalán felhasználni egy bizonyításban, mennyivel jelent többet egy geometriai bizonyítás egy ábrán észrevett összefüggés méréssel való ellenőrzésénél stb. Lassanként kezdik megérteni ezt a két dolgot:

a) Ábrán (modellezéssel stb.) csak kevés esetet tudunk megnézni. A bizonyítás értéke abban van, hogy minden lehetséges (általában végtelen sok) esetre vonatkozik.

b) Ábrán (modellezéssel stb.) csak bizonyos pontosságig tudunk ellenőrizni valamit. A bizonyítás sohasem az ábrára, hanem egy elképzelt alakzatra vonatkozik, amely végtelenül pontos. Sőt végtelen sok, végtelenül pontos alakzatra.

Ha valamit le tudunk fordítani a számok nyelvére, akkor a második nehézséget kiküszöbölhetjük, mert a számok már teljesen pontosak. (Nincs pontosan 3 cm hosszúságú színes rúd, de a 3 szám pontos.) A koordináta-módszer és annak fizikai megvalósulásai – négyzethálós papír, szöges-lyukas tábla, színesrúd-készlet, Dienes-készlet, Babylon-készlet – többek között ehhez adnak nagy segítséget. A geometriát segítenek aritmetizálni, és ezzel a mérési pontatlanságtól megszabadítanak; az aritmetikát pedig (az algebrával és a szám–szám függvényekkel együtt) geometrizálják, a képzelet és a manipuláció számára hozzáférhetőbbé teszik.

Távolság

Szerencsére a tanulók sokféle távolságfogalommal találkoztak már az életben; ez alapot ad arra, hogy a távolság matematikai fogalmát elég általános formában alakítsuk ki.

a) „Milyen messze van légvonalban?” A földfelszín kis – még síknak tekinthető – darabján ez a legegyszerűbb geometriai távolságfogalomhoz vezet: két pont távolsága az őket összekötő szakasz hossza.

b) Ha már figyelembe kell venni a Föld görbületét, akkor a légvonalbeli távolság úgy értendő: „a lehető legegyenesebben” a földfelszín közelében, vagyis a lehető legrövidebb utat követve a felület mentén. Ez a geodetikus vonal fogalma. Gömbfelületen a főkörívek a legrövidebb (a geodetikus) vonalak.

c) Érdemes néhány példát adni síkba kiteríthető felületek geodetikus vonalaira. Ilyen példák: Mi a legrövidebb útvonal, amelyen a pók eléri a legyet a fal mentén maradva? (Másik változatban: mi a legrövidebb villanydrót hossza a falak mentén?) Milyen módon halad a legrövidebb vonal, amely a hengert – vagy a kúpot – megkerülve ugyanoda visszaér?

d) Terepasztalon vagy domborzati térképen bonyolultabb esetben is megvizsgálhatják a geodetikus vonal kérdését. Lehetséges-e, hogy több legrövidebb út van? (Földgömb átellenes pontjai! Hát még?)

e) A gyakorlatban általában nem rövidebb és hosszabb közt választhatunk csupán, hanem figyelembe kell vennünk bizonyos tilalmakat, akadályokat. Közben van egy tó, ott nem mehet út. Csak meglevő utakat követhetünk, minden más tiltva van. Utcákon mehetünk, az épületeket meg kell kerülnünk. Ebbe a széles kategóriába tartozik az a távolságfogalom is, amely csak a négyzetháló vonalai mentén való haladásra van tekintettel: a négyzethálót út- (vagy utca-) hálózatnak képzelhetjük. Bizonyos pontok között egy legrövidebb út lehetséges (az ábrán A

A és C C közt), mások közt több (A A és B B , B B és C C közt). A legrövidebb út hosszát ilyenkor is távolságnak nevezhetjük. Erre a távolságfogalomra is kiterjeszthetjük az olyan feladatokat, mint adott ponttól adott távolságra levő pontok keresése.

Ha vannak menetrendi vagy egyéb adataink, számíthatjuk a távolságot időben is, pénzben is: az a két helység van közelebb ebben az esetben, amelyek között rövidebb ideig tart vagy olcsóbb az út.

A távolságfogalom kiterjesztése: különbségeket, eltéréseket is távolságnak tekinthetünk. Például két logikai lap „távolságán” érthetjük azt, hogy hány tulajdonságban különböznek. Önmagától mindegyik 0-ban, mindegyik másiktól 1, 2, 3 vagy 4 tulajdonságban különbözik; a maximális távolság 4. Hárombetűs (vagy más adott betűszámú) szavak távolságán érthetjük azt, hogy ugyanazon a helyen levő betűik közt hány különbözik; például VÁC és TÁC távolsága 1, TAB távolsága az utóbbitól 2, az előbbitől 3.

Ha az ilyen példákban – közülük az egyszerűbb fajtájúakban – keressük azt, ami közös, akkor ilyen tulajdonságokat veszünk észre:

1. A

A távolsága A A -tól mindig 0. A távolság minden más esetben pozitív. (Nincsenek egymást közömbösítő, ellenkező előjelű távolságok.)

2. A

A távolsága B B -től ugyanannyi, mint B B távolsága A A -tól. (Bizonyos példákra ez nem érvényes. Például, ha egyirányú a közlekedés bizonyos utakon. De nagyon sok egyszerű példára érvényes.)

3. A

A -ból B B -be és B B -ből C C -be a távolság együttesen nem lehet kisebb, mint A A -ból C C -be. (Ha B B -n át kisebb volna, akkor azt az utat vennénk alapul A A és C C távolságának megállapításakor.)

Ez a metrikus tér játékosan egyszerű, de matematikailag mégis mély fogalma. (Nem formalizáljuk, de a gondolatát példákon és ellenpéldákon át megközelíthetjük.)

Ezen a fogalmon számos példa túllép, egy általánosabb távolságfogalom körébe tartozik. Ilyen például az alakzatok távolsága a geometriában.

Nem érdemes külön tanítani pont és egyenes, két párhuzamos egyenes, két kitérő egyenes, pont és sík, két kör távolságát (stb., stb.). Sokkal egyszerűbb, mindezeket magába foglaló távolságfogalom ez:

Két alakzat távolságán legközelebbi pontjaik távolságát értjük.

És ha nincsenek legközelebbi pontjaik? Például az origótól 10 cm-nél kisebb távolságra levő pontok és az origótól 20 cm-re levő pontok két olyan halmazt alkotnak, amelyekből akárhogy veszünk ki egy-egy pontot, a távolságuk 10 cm-nél nagyobb, például 11 cm, de kivehetünk pontokat úgy, hogy a távolságuk 10 cm-hez közelebb, még közelebb, annál is közelebb legyen, csak éppen legközelebbieket nem vehetünk ki.

Ennek elkerülésére megállapodunk, hogy ha két alakzat távolságát keressük, akkor a pontok kiválasztása előtt lezárjuk őket. Kiegészítjük a két halmazt határpontjaikkal (már amelyik eddig nem tartozott hozzájuk). Így már lesznek legközelebbi pontjaik. Ezeknek a távolsága lesz a két alakzat (ponthalmaz) távolsága. (Említettük, hogy a halmazelméleti nézőpont sok geometriai kérdés vizsgálatakor felesleges energiákat vonna el. Egyszerűbb a geometriai alakzatokat mindig zárt ponthalmazokként kezelni, hacsak külön okunk nincs arra, hogy ezt ne tegyük. Ez az álláspont éppen az, amit a távolságfogalomban is követünk: zárt ponthalmazokra szorítkozunk.)

Mi ennek a távolságfogalomnak a jelentése, ha pont és egyenes távolságára, párhuzamos, kitérő egyenesek, pont és sík, két kör stb. távolságára alkalmazzuk? Részben olyan tapasztalati tényekhez juthatunk el ezeknek a kérdéseknek a vizsgálatakor, amelyeket a tanulók elég nyilvánvalóaknak látnak ahhoz, hogy bizonyítás nélkül fogadják el őket, részben olyanokhoz, amelyeket ezek alapján már könnyű belátni. Magunknak mondva: folyamatosan bővül az axiómarendszerünk is, bizonyított tételeink rendszere is. A definíciók számát viszont nem növeljük feleslegesen.

Érdemes meggondolni, hogy az alakzatok távolsága – mint legközelebbi pontjaik távolsága – olyan értelemben vett távolság-e, amilyenekre a fenti 13. tulajdonság érvényes. Mindjárt az 1. tulajdonsággal baj van: nemcsak önmaguktól vannak 0 távolságra a ponthalmazok, hanem minden olyan ponthalmaztól, amellyel van közös pontjuk. A 3. tulajdonság sem érvényes rá. A távolságnak csak egy általánosabb fogalma körébe tartozik.