Ugrás a tartalomhoz

A kvantumkémia alapjai és alkalmazása

Veszprémi Tamás, Fehér Miklós

Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft.

3.4. A mágneses momentum és a spin

3.4. A mágneses momentum és a spin

Az iránykvantálás igazolására Stern és Gerlach a következő kísérletet végezték el (3.10. ábra). Egy vákuumcsőben ezüstöt párologtattak és az ezüst gőzöket megfelelő réseken keresztülvezetve kollimált ezüstatomnyalábot hoztak létre. A nyalábot a mozgásirányra merőleges inhomogén mágneses téren keresztülvezetve, vizsgálták az atomok eltérülését.4

 

3.10. ábra. A Stern–Gerlach-kísérlet lehetséges kimenetei.

 

   

A klasszikus elektrodinamika szerint egy töltött részecske mozgása során mágneses teret indukál, tehát az atomban mozgó elektron is mágneses momentumot képvisel. Bizonyítható, hogy a mágneses és impulzusmomentumok arányosak egymással. Ha viszont ez igaz a „klasszikus” fizikában, igaznak kell lennie a fizikai mennyiségeket reprezentáló operátorokra is. Tehát ha a mágneses és az impulzusmomentum közötti összefüggés

akkor a megfelelő operátorok közötti összefüggés

Ennek megfelelően az L-re nyert eredmények alapján adódik a kvantált mágneses momentum kifejezése:

illetve a momentum z-irányú komponensének kifejezése:

ahol μB-t Bohr-magnetonnak nevezzük. Ennek tudatában értékeljük a Stern–Gerlach-kísérletet. Amennyiben az atomnak nincs mágneses momentuma, a külső tér nem zavarja az atomok mozgását és a nyaláb eltérülés nélkül folytathatja útját (3.10. a) ábra). Ha van mágneses momentuma az atomnak, de az iránykvantálás helyett a momentumok a tér tetszőleges irányába állhatnak be, a kölcsönhatás folytán a nyaláb kiszélesedése várható (3.10. b) ábra). Ha az iránykvantálás „működik”, és pl. =1, akkor három, =2-nél 5 stb. részre bomlott nyaláb várható (3.10. c) ábra). Az ezüstatomok külső elektronhéja épp olyan, mint a H-atomé: egy elektron egy s pályán tartózkodik, tehát =0, azaz mágneses momentum nem várható. Meglepetésre a 3.10. d) ábrán látható kétfelé hasadt nyalábot kapták a kísérlet eredményéül, és ugyanez az eredmény, ha hidrogénatomokkal ismételjük meg a kísérletet. Fel kell tehát tételezni, hogy az elektronnak van egy, nem pályamenti mozgásból adódó mágneses (és impulzus-) momentuma; és a momentum akkora, mintha =12 lenne. (Ekkor ugyanis az m=±12 miatt kétféle irányba állhat be a momentum.) Ezt az extra momentumot nevezik spinnek. Kezdetben a spint az elektron saját tengelye körüli forgásával próbálták értelmezni, erre utal a név is (spin = forgás, perdület). Később azután kiderült, hogy a tengely körüli forgás esetén az elektron felületi pontjainak a fény sebességénél nagyobb lenne a sebessége. Ma a spint egyszerűen úgy tekintjük, mint a részecskék jellemző tulajdonságát, éppúgy, mint a tömeget vagy a töltést. Mivel (látszólag) teljesen elkülönül az elektron mozgásából származó impulzusmomentumtól, létezését tudomásul vesszük, és mint önálló posztulátumot beilleszthetjük a kvantummechanika meglévő elméletébe. Ennek megfelelően az „új” fizikai mennyiségekhez új operátorokat választunk.

Válasszuk a spinmomentum komponenseihez a következő mátrixokat:

és a spinmomentum abszolút értékének négyzetéhez az

mátrixot. Könnyen ellenőrizhető, hogy az így definiált operátorok között pontosan ugyanazok a felcserélési szabályok működnek, mint a pálya-impulzusmomentum operátorok között, tehát pl.

A spin a mechanikai mozgástól független, ezért Ŝ és komponensei is függetlenek a mechanikai mozgáshoz tartozó operátoroktól, azaz felcserélhetők a koordináta és impulzus operátorokkal és ebből következően az impulzusmomentum operátorral is. Belátható az is, hogy Ŝz sajátértékei +2 és 2 vagy – a mágneses kvantumszám analógiájára – bevezetve az msmágneses spinkvantumszámot

Az Ŝ2 operátor egyetlen sajátértéke 342. Bevezetve a mellékkvantumszám mintájára az s kvantumszámot, melynek értéke 1/2, az Ŝ2 sajátértéke S2=2ss+1. Mivel az elektron spinje állapottól függetlenül mindig ugyanaz, 32, vagyis az elektronnak állapottól független adata, a hullámfüggvény csak egy újabb változóval gyarapodik, az ún. spinkoordinátával, mely az ms értéke:

Minthogy a koordináta és a spin egymástól függetlenek, a függvény spintől függő része leválasztható a helykoordinátáktól függő résztől:

Azt mondjuk, hogy a ϕspinpálya függvény szétválasztható egy Ψpályafüggvényre és egy ηspinfüggvényre. A spinfüggvény kétféle lehet:

Természetesen α és β az Ŝ2 operátornak is sajátfüggvényei, méghozzá degenerált sajátfüggvényei, hiszen az egyetlen sajátértékhez tartoznak:

A spin és a mechanikai mozgás függetlensége azt vonja maga után, hogy a spin operátor független a Hamilton-operátortól, tehát az adott állapot energiáját nem befolyásolja. Az állapot jellemzéséhez így most a Ĥ,L̂2,L̂z operátorok kiegészülnek az Ŝ2 és Ŝz operátorokkal. Minthogy a spin a szabadsági fokok számát eggyel növelte, a kétféle spinbeállás két különböző, de azonos energiájú állapotot eredményez, tehát a degeneráció megkétszereződött: adott kvantumszám esetén a degenerált szintek száma

Említettük, hogy speciálisan a H-atom esetén az adott n kvantumszámhoz tartozó – összesen n2 – állapot degenerált. A spinnel együtt ez mostg 2n2-re nő.

Végezetül még át kell gondolnunk, hogy a spin figyelembevételével hogyan kell módosítanunk az impulzus- (és mágneses) momentumról alkotott elképzelésünket.

Az atom teljes impulzusmomentuma nyilván a kétféle momentum vektori összege:

Ami igaz a fizikai mennyiségre, igaz a megfelelő operátorokra is:

A Ĵ operátorra is pontosan ugyanazok a felcserélési szabályok érvényesek, mint L̂-re vagy Ŝ-re. Az is kimutatható, hogy a Ĵ2,L̂2,Ŝ2 és Ĵz operátorok felcserélhetők, tehát egy állapot jellemzésére (az energiával) együttesen alkalmazhatók, hiszen a megfelelő fizikai mennyiségek egyidejűleg mérhetők. (Nem cserélhető azonban fel a Ĵ2 az L̂z-vel vagy az Ŝz-vel!)

A Ĵ operátor sajátértékei is hasonlók:

ahol j az ún. belső kvantumszám. Az eddigiekből nyilvánvaló, hogy az energia független a j-től is, és természetesen a degenerált állapotok száma j-ből is meghatározható. Az L és S vektorok természetesen csak úgy összegeződhetnek, hogy az eredő J térirányú komponense kielégítse a

összefüggést. (Természetesen mj az m és az ms kvantumszámok analógja.) Ennek megfelelően a spin és a pálya kétféleképpen kombinálódhat, minthogy a spinnek csak kétféle beállása lehetséges:

Ha pl. =0 (pl. H-atom, Ag-atom), akkor  j=12 ( j=12 nem lehetséges, mert az impuzlusmomentum vektor hossza mindig pozitív és valós érték), és  ms=±12, azaz mágneses térben kétféle beállás és így dublett-felhasadás várható, amint azt a Stern–Gerlach-kísérlet bizonyítja.

Tegyük fel, hogy a hidrogénatom elektronja a 2p pályán van. Mivel most =1, már valóban várható a kétféle kombináció a spin és a pályamomentum között:

A spin beállási lehetőségeit multiplicitásnak nevezzük. Jelen esetben ez kettő, azaz dublett. Ezt az elektronállapot leírásánál a bal felső sarokban szokták jelölni: 2P (az elektronállapotot nagybetűvel jelöljük). A jobb alsó sarokban a j értékét tüntetjük fel, az első esetben tehát 2P32, a másodikban 2P12 a pontos szimbólum. Mindkét állapothoz ugyanaz az elektronkonfiguráció tartozik: 2p1 (ami azt jelenti, hogy a 2p pályán egy elektron van). Az első esetben négyféle beállási lehetőség van a tér irányában, mivel  mj=32,12,12, vagy 32. A második esetben kétféle beállási lehetőség van, mivel  mj=12, vagy 12.

Az első tehát négyszeresen, a második kétszeresen degenerált. Így végső soron a 2p1 konfigurációhoz a hidrogénnek hat állapota tartozik, melyek degeneráltak.

A fenti fejtegetésben egy egyszerűsítő feltételt alkalmaztunk. A spin és a pályamomentum ugyanis nem teljesen függetlenek egymástól, a kettő közötti kapcsolat a relativisztikus effektusokból következik. Ezek figyelembe vételével módosul a kép: A Ĥ operátor most már nem cserélhető fel az L̂z és Ŝ z operátorokkal, csak a Ĵ2-vel és Ĵ z-vel, és megszűnik a j szerinti degeneráció is. Ennélfogva fellép a spin és a pályamomentumok közötti spin-pálya csatolás és a fenti

állapotokhoz már különböző energia tartozik. Ez a különbség a H-atomnál még csak 4,5105 eV körüli érték, de a nagyobb rendszámú atomoknál már jóval számottevőbb. A spin-pálya csatolásból eredő felhasadás a spektroszkópiában közismert. Továbbra is megmarad az azonos j-hez, de különböző mj-khez tartozó állapotok degenerációja. Ez a degeneráció csak mágneses térben szűnik meg az iránykvantálásnak megfelelően. Mindezt a 3.11. ábrán illusztráltuk.

 

3.11. ábra. A hidrogénatom 2p állapota.

 

   

Megjegyzések

  1. Könnyű bizonyítani, hogy egy operátor négyzetének a sajátfüggvényei azonosak az operátor eredeti sajátfüggvényeivel, és sajátértékei az eredeti sajátértékek négyzetei. Legyen x az  operátor sajátfüggvénye. Akkor

    q.e.d.

  2. A (2.12) összefüggés szerint

    Másrészt belátható, hogy L̂z kifejezhető a φ differenciáloperátorral, ugyanis:

    és (3.8) alapján

    Behelyettesítve:

    Tehát L̂z=iφ, és a megoldandó sajátértékegyenlet:

    A pofonegyszerű differenciálegyenlet megoldása pedig:

    ahol C független f-től (ám természetesen függhet még r-től és ϑ-tól).

  3. Legyen az  operátor két degenerált sajátfüggvénye f és g, azaz

    Ekkor igaz, hogy

    q.e.d.

  4. Az inhomogén mágneses tér a mágneses momentummal rendelkező részecskéket a momentum nagyságával, a mágneses tér gradiensével (azaz az inhomogenitás mértékével), valamint a momentum és a gradiens irányai által bezárt szög szinuszával arányos mértékben téríti el eredeti irányuktól.