Ugrás a tartalomhoz

A kvantumkémia alapjai és alkalmazása

Veszprémi Tamás, Fehér Miklós

Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft.

3. fejezet - A hidrogénatom és egyéb furcsaságok

3. fejezet - A hidrogénatom és egyéb furcsaságok

Egy mikrorendszer állapotának meghatározásához a Schrödinger-egyenletet kell megoldanunk. Ennek első lépése a Hamilton-operátor megszerkesztése. A kinetikus energia operátora univerzális, adott részecskeszám mellett mindig azonos. A rendszert tehát a potenciális energia függvény jellemzi és ettől függ a megoldás nehézsége is. A Schrödinger-egyenlet zárt, analitikus formában csak a legegyszerűbb potenciálfüggvények esetében oldható meg. Ebben a fejezetben ezek közül mutatunk három példát. Az első esetben egyetlen részecske mozog potenciálmentes térben. Ennél egyszerűbb lehetőség nincs is. A második eset a harmonikus rezgő rendszerekkel foglalkozik, míg a harmadik példában egy V=e2r alakú, ún. centrális erőteret alkalmazunk (melyben a potenciális energia csak a középponttól mért távolságtól függ, az iránytól nem). Ezt tárgyaljuk a legrészletesebben, hiszen ez nem más, mint a hidrogénatom esete. Mivel számunkra most csak a levonható tanulságok fontosak, áttekintjük a megoldás menetét, de a konkrét matematikai levezetésekben nagyokat ugrunk.

3.1. A szabadon mozgó részecske

Válasszunk egy m tömegű részecskét, mely szabadon mozog az univerzumban és jól érzi magát, mivel a tér potenciálmentes, azaz V=0. Ekkor természetesen

és így az időtől független Schrödinger-egyenlet az alábbi nagyon egyszerű alakban írható fel:

Ez egy másodrendű parciális differenciálegyenlet, melynek egy partikuláris megoldását a következő kifejezés adja:

és amely akkor lesz korlátos, ha a, b és c valósak. A Schrödinger-egyenletbe visszahelyettesítve megkapjuk az energiát:

Mivel a teljes energia most kizárólag a kinetikus energiát tartalmazza, felírható ugyanakkor

Tehát a hullámfüggvény

alakú.

Vagy – amennyiben a (2.15) időfüggést is figyelembe vesszük:

mely egy tovaterjedő síkhullám egyenlete. Ha pl. py=pz=0, akkor

és mivel egy x-irányban tovaterjedő hullám egyenlete:

következik, hogy a síkhullám hullámhossza λ= h p, rezgésideje pedig τ= h E Tehát a p impulzusú részecske λ hullámhosszú síkhullámként viselkedik. Nézzük a térbeli sűrűségeloszlást:

konstans!

Azt kaptuk tehát, hogy a részecske a tér bármely pontján egyforma valószínűséggel lehet jelen – más szóval a részecske helyéről semmit sem tudunk. (Hát persze, hiszen az impulzust pontosan ismerjük!) Ugyancsak nem tudunk semmit arról az időről, melyet a részecske az adott állapotban tölt (hiszen az energiát is pontosan ismerjük). A részecskék ilyen állapotát nevezik anyaghullámnak.

Látható az is, hogy miként az impulzuskomponensek, a részecske energia-sajátértékei is tetszőlegesek lehetnek: potenciálmentes térben a részecske mozgása nem kvantált. Abban a pillanatban azonban, amikor a potenciális energia nem zérus és a részecske mozgását korlátozzuk, belép a kvantáltság.