Ugrás a tartalomhoz

A kvantumkémia alapjai és alkalmazása

Veszprémi Tamás, Fehér Miklós

Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft.

1.3. Szimmetriacsoportok szerinti besorolás

1.3. Szimmetriacsoportok szerinti besorolás

Az alábbi séma segít a különböző alakzatokat szimmetriacsoportokba sorolni. Amint céloztunk rá, a besoroláshoz a jó térbeli látás komoly előnyt jelent. Gyorsan hozzátesszük azonban, hogy amikor a csoportelméletet majd molekuláris sajátságok kinyerésére alkalmazzuk, a jó térlátás már nem alapvető fontosságú.

A besorolás első kérdésére adandó válasz eldönti, hogy az illető alakzat – pl. molekula – lineáris, illetve köbös – e kettő jelenti a „speciális” csoportokat – vagy egyéb. A lineáris molekulák is kétfélék lehetnek, attól függően, hogy lehet-e az alakzatot tengelyére merőleges síkban tükrözni (pl. CO2 molekula, a csoport neve Dh), vagy nem (CO, jele Cv). A köbös pontcsoportokba a tetraéderes (CH4, jele Td), oktaéderes (SF6, jele Oh), ikozaéderes (fullerén = C60, Ih), valamint a gömbszimmetrikus (jele R3) csoportok tartoznak.1

Ha a molekula egyik fennt említett csoportba sem sorolható, a következő kérdés a molekula főtengelyére vonatkozik. Ha ilyen nincs, kicsi a szimmetria és egyszerű az élet. Ez esetben, ha tükrözés lehetséges, a Cs csoporthoz jutunk (ide tartozik a nem lineáris, de síkmolekula NH3), vagy ha tükrözés nem lehetséges, de van a molekulának inverziós centruma (ilyen pl. a HFClCCHFCl – de csak az 1.2. ábrának megfelelő térállásban!) a Ci csoportban vagyunk. Ha a molekulának semmilyen szimmetriája sincs, szégyenszemre a C1 csoportba jutottunk, mely összesen egy elemet tartalmaz (vajon melyiket?).

 

1.2. ábra. Néhány molekula szimmetriája.

 

   

Most tehát ott tartunk, hogy van egy n fogású főtengelyünk. Ha ez egyben S2n is, és egyéb szimmetriaelem nincs, az S2n csoportba jutottunk. Erre példa a tetrametoxi-metán (1.2. ábra), mely megfelelő térállásban S4 szimmetriájú.

Az összes további csoport a C vagy D jelet kapja. Ha léteznek főtengelyre merőleges kétfogású tengelyek (ha egy létezik, akkor bizonyosan n darab létezik, mivel a főtengely n darabot generál) a D-vel jelzett csoportokhoz, ha nem léteznek, akkor a C csoportokhoz jutunk. Mindkettőben most már azonos kérdéseket teszünk fel. Először a főtengelyre merőleges σh síkra kérdezünk. Ha ilyen van, akkor az illető molekula a Cnh, ill. a Dnh pontcsoportba tartozik. Pl. a transz-diklór-etén a C2h, a BF3 a D3h pontcsoportba tartozik. Ha σh sík nincs, a főtengelyt tartalmazó σv síkra kérdezünk. Ha van ilyen (összesen megint csak n darab), akkor a Cnv, ill. Dnd csoportokról beszélünk. Pl. a vízmolekula a C2v, az allén (H2C=C=CH2 az 1.3. ábrán) D2d csoportba sorolható. Kis térlátással rájöhetünk, hogy amennyiben e csoportokban létezik főtengelyre merőleges tengely és σv is, akkor a síkok nem tartalmazzák e tengelyeket, hanem a tengelyek között helyezkednek el. Ezek a diéderes síkok, és ezért – noha továbbra is vertikálisak – nem σv-vel, hanem σd-vel jelöljük őket (ezért a Dnd elnevezés).

 

1.3. ábra. Különböző szimmetriájú molekulák.

 

   

Ha nincs σv, akkor a Cn, ill. Dn csoportokhoz jutunk. Előbbire példa a C2 szimmetriájú HS-SH molekula, utóbbira a D3 szimmetriájú gauche-etán. Mindkettő látható az 1.3. ábrán. Az egész procedúra az alábbi sémán foglalható össze.

   

Kész is vagyunk, most már csak a gyakorlás van hátra. Rajta tehát nézzünk néhány példát!

1. Mely szimmetriacsoportba sorolható a p-diklórbenzol?

A molekula nem tartozik egyik speciális csoportba sem, rendelkezik viszont forgástengellyel (pl. a két szemközti klóratomon keresztül), mely 180-os forgatást tesz lehetővé. Jobban megfigyelve a molekula szimmetriáját az előző tengelyre merőlegesen két másik forgástengelyt fedezhetünk fel, egyet a benzolgyűrű síkjában, egyet pedig arra merőlegesen. Mivel mindhárom tengely csak 180-os forgatást enged meg, bármelyik tengelyt tekinthetjük főtengelynek. Az S4-es forgatás ugyanakkor nem tartozik a molekula szimmetria csoportjába, mivel egy ilyen művelet megváltoztatná a molekula elhelyezkedését. A fönti sémára pillantva már tudható, hogy a szóba jövő pontcsoportok a D2, D2h vagy D2d. Kiválasztva a három tengely valamelyikét főtengelynek, keressünk egy rá merőleges σh tükrözést. Ha pl. a gyűrű síkjára merőleges tengely a főtengely, a gyűrű síkjára valóban tükrözhetjük a molekulát. Ennélfogva a keresett pontcsoport a D2h.

2. Mi a szék konformációjú ciklohexán (1.2. ábra) szimmetriája?

Kis merengés után rájöhetünk, hogy a molekula szimmetria tekintetében azonos az 1.1. ábrán látható objektummal. Nem tartozik egyik speciális csoportba sem, de létezik egy C3 forgástengelye. Sőt az 1.1. ábra tanulsága szerint az alakzathoz egy S6-os forgatásos tükrözés is tartozik. Kicsit nehezen ismerhető fel a főtengelyre merőleges három kétfogású tengely: ezek az 1.2. ábrán látható módon keresztülmennek a gyűrű szemközti oldalainak a felezőpontjain. Tehát ismételten a D csoportok valamelyikére kell tippelnünk. A főtengelyre merőleges σh tükrözés most viszont megváltoztatná molekula orientációját. Találunk azonban a főtengelyt magában foglaló három vertikális tükörsíkot melyek a gyűrű szemközti atomjain mennek át, minden sík éppen két C2 tengely között. Ezért e síkok diéderesek, és a keresett pontcsoport a D3d.

3. Mi a szimmetriája a tetrametoxi-metánnak (1.2. ábra)?

Induljunk ki az egyszerűség kedvéért a molekula tetraéderes CO4 részéből. Milyen szép is lenne, ha nem kellene tovább bajlódni, hiszen nem vitás, a metilcsoportok elrontják a Td szimmetriát! Ráadásul orientációjuknak megfelelően a molekula szimmetriája más és más lehet. Az 1.2. ábrának megfelelő beállás esetén például viszonylag könnyen található egy kétfogású tengely, melyről kicsit alaposabb vizsgálódás után kiderül, hogy egy S4 forgatásos tükrözés tengelye is egyben. Bárhogy is meresztjük a szemünket, semmilyen más tengelyt, vagy szimmetriasíkot nem találhatunk: a molekula az S4 csoportba tartozik. Mindazonáltal, ha az olvasó térlátása jó, akkor pusztán gondolati úton, ha kevésbé jó, akkor egy molekulamodell segítségével könnyen ellenőrizheti, hogy változtatva a metilcsoportok beállításán lehetséges még a molekula D2d, C2v, Cs, ill. C1 szimmetriája is.

Végezetül, nézzünk egy pár további példát, melyek segítségével az olvasó ellenőrizheti tudását és térlátását. A megoldásokat a fejezet végén található Megjegyzések rovatban gyűjtöttük össze.2

1. Mi a szimmetriája a következő objektumoknak: négyzet alapú piramis, teniszütő a Szaturnusz bolygó, a Parlament épülete, az Eiffel torony, Erzsébet híd?

2. Mely szimmetriacsoportba sorolhatók a következő molekulák: H2S, NH3, CH2=CH2, CH4, acetilén, benzol, BF3 naftalin, CH3CH3 (fedő és nyílt állásban)?

3. Milyen szimmetria operációk tartoznak a C3v pontcsoportba?

4. Bizonyítsa be, hogy a kocka és az oktaéder szimmetriája megegyezik!