Ugrás a tartalomhoz

A kvantumkémia alapjai és alkalmazása

Veszprémi Tamás, Fehér Miklós

Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft.

1.2. A csoport fogalma

1.2. A csoport fogalma

A matematikában gyakran definiálnak különböző, ún. algebrai struktúrákat annak alapján, hogy egy adott halmaz elemei között értelmezett művelet milyen tulajdonságokkal rendelkezik. Esetünkben a legfontosabb algebrai struktúra a csoport. Csoportnak nevezünk egy halmazt és a halmaz elemei között értelmezett műveletetet, ha a halmaz bármely elemei között elvégezve a műveletet

– igaz a műveleti zártság (azaz bármely elemek között elvégezve az adott műveletet, a végeredmény is a csoport valamely eleme,

– igaz az asszociativitás (azaz, ha A, B, C a csoport elemei, akkor A(BC)=(AB)C (ahol most reprezentálja a halmazon értelmezett műveletet),

– létezik egységelem (melyre igaz, hogy AE=EA=A) és

– a csoport minden elemének létezik a csoporton belüli inverze (ahol az inverz definiciója: AA1=A1A=E).

Amennyiben a fentieken kívül még a kommutativitás is érvényes (azaz AB=BA), a csoportot kommutatív csoportnak nevezzük. Ha példaként tekintjük az egész számok halmazát, a fenti tulajdonságok ellenőrzésével könnyen rájöhetünk, hogy ez a halmaz az összeadás műveletére nézve kommutatív csoportot ad (hiszen az összeadás kommutatív, asszociatív, az egységelem a 0 és minden elem inverze a szám 1-szerese). Ugyancsak csoportot ad a racionális számok halmaza a szorzás műveletére (mely esetben az egységelem az 1 és a számok inverze a reciprokuk). Ugyanakkor a szorzás az egész számok halmazán nem ad csoportot, hiszen egy egész szám inverze (az 1 kivételével) nem egész szám, tehát kívül esik a halmazon.

Hasonló módon látható be, hogy egy alakzathoz (legyen az egy épület, egy virág, vagy egy molekula) rendelhető összes szimmetriaművelet a műveletek egymás utáni elvégzésére, mint műveletre nézve csoportot ad. Ebben az esetben tehát a halmaz elemei a szimmetriaműveletek, vagy operációk, a csoporton belüli művelet pedig az operációk „szorzása”, azaz egymás utáni elvégzése. A csoport neve szimmetriacsoport (gyakran pontcsoportnak is mondjuk). Így pl. a szabályos háromszög egy olyan szimmetriacsoportba sorolható, melynek elemei az egységelem (E), a 120 és 240-os forgatás a háromszög középpontján átmenő tengely körül (C3 és C32), három (egymással 120-os szöget bezáró) C2 forgatás a háromszög síkjában, három σv tükrözés a háromszög síkjára merőleges síkban és egy σh tükrözés a háromszög síkjában. A C3 és C32 forgatások egymás inverzei és minden C2 és σ önmaga inverze (tehát pl. σh=σh1). Az, hogy a sok közül mely szimmetriacsoportba sorolható az illető tárgy, attól függ, hogy milyen operációkat enged meg a tárgy szimmetriája. Pl. a V-betű (avagy a vízmolekula) szimmetriája a következő műveleteket teszi lehetővé: E, C2 (a V betű csúcsán átmenő és síkjában fekvő tengely körül), valamint két, egymásra merőleges, a tengelyt magában foglaló σv tükrözés. A következő pontban adunk az egyes alakzatok csoportba sorolásához egy algoritmust, mely az életet megkönnyíti, de a jó térlátást – sajnos – nem tudja helyettesíteni.