Ugrás a tartalomhoz

A kvantumkémia alapjai és alkalmazása

Veszprémi Tamás, Fehér Miklós

Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft.

1. fejezet - A csoportelmélet alapjai

1. fejezet - A csoportelmélet alapjai

A molekuláris szimmetria felismerése és tudatos felhasználása az elméleti kémia és a molekulaspektroszkópia számos területén nemcsak nagyon hasznos, hanem új szemléletet is ad. Segít eligazodni a molekulapálya elméletben, a forgási, rezgési és elektronspektroszkópia bonyolult világában, egyszerűvé teszi a kiválasztási szabályokat, segít megérteni a kémiai reakciók mechanizmusát és számos egyéb, első pillanatban nehéznek tűnő kérdésre ad egyszerű választ. Ezért mielőtt a kvantumelmélet sűrűjébe vágnánk, a szimmetria elméletének és szerepének alapfogalmait tisztázzuk. Tesszük ezt annak ellenére, hogy e fejezet nem tartozik szorosan a témánkhoz.

A szimmetria köznapi értelemben a szépség és harmónia fogalmaihoz kötődik. Matematikai értelemben szigorú és logikus elmélet kapcsolódik hozzá, melyből számunkra csupán néhány alapfogalom szükséges. Jó befektetés, mely hamarosan megtérül, mikor segítségével nehezen átlátható fogalmak és jelenségek válnak egyszerűvé. Ahhoz viszont némi kitartásra van szükség, hogy böngésszük a rémségek e kicsiny boltját.

1.1. Szimmetria elemek és szimmetriaműveletek

Szimmetrikus objektumok esetén mindig található olyan művelet, transzformáció, amelyet elvégezve az illető tárgyon, a transzformált alak az eredetitől megkülönböztethetetlen lesz. Pl. az Országház kupoláján átmenő, a Dunára merőleges függőleges síkban tükrözve a Parlament épületét a változást csak az venné észre, aki figyelemmel kíséri az éppen aktuális felállványozást. Két fontos fogalmat rejtettünk el ebben a példában. Az első a tükröző sík, a másik maga a tükrözés. Általánosan szimmetriaelemeknek nevezzük azokat a geometriai fogalmakat, melyek segítségével szimmetriaműveletek hajthatók végre. Szimmetriaműveletek (operációk) egy adott test olyan elmozdulásait jelentik, melyek a testet önmagára képezik le a szimmetria elemek segítségével. Az 1.1. táblázat a lehetséges szimmetriaelemeket és szimmetriaműveleteket foglalja össze.

 

1.1. táblázat. Szimmetriaelemek és szimmetriaműveletek.

 

   

Az első három szimmetriaelem, illetve a hozzárendelt művelet eléggé nyilvánvaló, különösebb magyarázatot nem igényel. Kicsit nehéz felfogni a forgatásos tükrözés hatását, ezért segítségül hívjuk az 1.1. ábrát. Az ábrán két, egymás fölötti, és egymástól 60-kal elforgatott szabályos háromszöget láthatunk, melyek oldalnézetben (ha a háromszögek megfelelő csúcsait összekötjük) korona alakzatot, felülnézetben pedig Dávid-csillagot formálnak. Vajon ennek az alakzatnak a szimmetriája megegyezik, vagy különbözik a szabályos háromszögétől? Mindazok a szimmetriaműveletek, melyek a szabályos háromszögben elvégezhetők – a 120-os forgatás, a tükrözés a háromszög súlyvonalaira, valamint a háromszög síkjára – a Dávid-csillagon is elvégezhetők. Mégis úgy érezzük, ez az alakzat valahogy szimmetrikusabb. Az érzés nem csal: ha az alakzatot a tengelye (mondjuk a z-tengely) körül 60-kal forgatjuk el, majd a forgatás után a z-tengelyre merőlegesen tükrözzük, az eredetitől megkülönböztethetetlen alakzathoz jutunk. Ezt a műveletet, mely a szabályos háromszögben „nincs benne” nevezzük forgatásos tükrözésnek.

 

1.1. ábra. Forgatásos tükrözés két egymás fölötti, egymástól 60-kal elcsavart szabályos háromszögalakzaton.

 

   

A szimmetriaműveletek szimbólumait alsó indexekkel szokás ellátni a következőképpen: ha 360n fokkal forgatunk, a művelet jele Cn. A szabályos háromszög 120-os forgatását tehát C3 jelöli. Ugyanezért a 60-os forgatást, és az utána következő tükrözést a Dávid-csillagon S6-tal szimbolizáljuk.

Az alakzat fő szimmetria tengelyét (a legnagyobb fogású – azaz a legnagyobb indexű – tengelyt) magában foglaló tükrözést vertikálisnak nevezzük és σv-vel jelöljük. Az erre merőleges tengely és a megfelelő tükrözés horizontális, jele σh. Amennyiben a vertikális sík a főtengelyre merőleges tengelyek között (és nem rajta) található, a síkot, és a műveletet diéderesnek nevezzük, a megfelelő jelölés σd. Ha a műveletet többször egymás után elvégezzük, ezt a felső indexben jelöljük. Pl. a C32 művelet azt jelenti, hogy a C3 műveletet kétszer hajtjuk végre egymás után. A C32360-os forgatást ír elő, ami olyan, mintha nem is tettünk volna semmit. Azaz, mintha a „semmi műveletet” hajtottuk volna végre. Ezt E-vel jelöljük, tehát C32=E. Ugyanígy értelmezhejük más műveletek „négyzetét”:

Vigyázni kell a forgatásos tükrözéssel, mivel

Ez utóbbit talán kicsit nehéz belátni, mivel első pillanatban nehéz példát találni páratlan n-re. De ha végiggondoljuk, hogy egy szabályos háromszögön, vagy háromszög alapú hasábon tulajdonképpen az S3 művelet is végrehajtható, máris minden világos: Az S33 művelet során 3-szor alkalmazzuk a tükrözést, ezért nem juthatunk vissza az eredeti helyzetbe. Azt csak a művelet hatszori végrehajtása, S36 után érjük el.

Ha tehát egy szimmetriaműveletet egymás után többször elvégzünk, új szimmetriaműveletet kapunk. Úgy is mondhatjuk, hogy egy szimmetria elem több szimmetriaműveletet is generálhat. Erre látható példa az 1.2. táblázatban.

 

1.2. táblázat. Szimmetriaműveletek generálása.

 

   

Ha különböző szimmetriaműveleteket végzünk el egymás után, akkor is új szimmetriaművelethez jutunk. Pl. az 1.1. ábra alakzatán elvégezve S6-ot, majd az inverziót az 1-es pont előbb 2-be, majd 5-be megy át, ami ugyanaz, mintha a C32 műveletet hajtottuk volna végre:

Figyelem! A szimmetriaműveletek egymás utáni elvégzése, „szorzása” általában nem felcserélhető, azaz nem kommutatív (ebben a példában viszont az).