Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

9.8. Térfogat és determináns

9.8. Térfogat és determináns

Ebben a pontban megmutatjuk, hogy a determináns geometriai jelentése a(z előjeles) térfogat. Gondolatmenetünk bármilyen test feletti vektortérre érvényes, azonban a közvetlen geometriai kapcsolat miatt csak a valós test feletti vektorterekre fogunk szorítkozni.

A síkon bármely két vektor egy (esetleg elfajuló) paralelogrammát feszít ki, amelynek az egyik csúcsa az origó. A térben három vektor ugyanígy egy paralelogramma alapú hasábot, egy ún. paralelepipedont határoz meg. Ennek általánosításaként azt mondjuk, hogy egy R feletti n-dimenziós V vektortérben tetszőleges n darab vektor egy (n-dimenziós) paralelepipedont feszít ki. Ezt úgy kell „elképzelnünk”, hogy az élei a megadott vektorok, illetve azok eltolt példányai, a csúcsai pedig a vektorokból képezhető összegek „végpontjai” (a síkon 0_, a_1, a_2 és a_1+a_2  a térben 0_, a_1,a_2,a_3,a_1+a_2,a_1+a_3,a_2+a_3 és a_1+a_2+a_3). A csúcsok száma ennek megfelelően 2n.

Értelmezni akarjuk a paralelepipedonok (előjeles) térfogatát. Ez azt jelenti, hogy minden vektor-n-eshez egy valós számot rendelünk hozzá, azaz egy D:VnR függvényről van szó. Vizsgáljuk meg, milyen tulajdonságokat várunk el egy paralelepipedon térfogatától, azaz milyen feltételeket kell ennek a D függvénynek kielégítenie.

Az egyik követelményünk az, hogy ha egy paralelepipedon egyik élét — a többi él változatlanul tartása mellett — λ-szorosára változtatjuk, akkor a térfogat is a λ-szorosára változzék. Ugyanígy, ha az egyik a_ élt az a_'+a_'' összegre bontjuk, a többi élt változatlanul hagyjuk, akkor a keletkező két paralelepipedon térfogatának összege egyezzen meg az eredeti paralelepipedon térfogatával. Ez a két feltétel azt jelenti, hogy D (a bilineáris függvényekhez hasonlóan) mindegyik változójában lineáris, azaz összeg- és skalárszorostartó.

A következő elvárásunk az, hogy ha a paralelepipedon elfajuló, azaz az n darab vektor V-ben egy n-nél kisebb dimenziós alteret generál, akkor a térfogat legyen nulla. Ez más szavakkal azt jelenti, hogy ha az a_1, ,a_n vektorok összefüggők, akkor Da_1,,a_n=0

Végül azt szeretnénk, hogy az „egységkocka” térfogata 1 legyen. Ehhez rögzítsünk le V-ben egy e_1,,e_n bázist, és írjuk elő a De_1,,e_n=1 feltételt.

9.8.1 Tétel

Legyen V egy n-dimenziós vektortér R felett és e_1,,e_n egy rögzített bázis V-ben. Ekkor pontosan egy olyan D:VnR függvény létezik, amely

(i) mindegyik változójában lineáris;

(ii) lineárisan összefüggő vektorokhoz 0-t rendel;

(iii) De_1,,e_n=1

Ha az a_j vektornak az e_1,,e_n bázis szerinti i-edik koordinátáját αij-vel jelöljük, akkor

(1)

vagyis Da_1,,a_n éppen annak a mátrixnak a determinánsa, amelynek az oszlopai az a_j vektorok (pontosabban ezek koordinátavektorai).❶

A tétel alapján a paralelepipedon (előjeles) térfogatát az éleihez (a fenti módon) tartozó determinánssal adhatjuk meg.

Megjegyezzük még, hogy a tétel a determináns alternatív definiálására is alkalmas.

Bizonyítás: Először tegyük fel, hogy egy D:VnR függvény rendelkezik az (i) – (iii) tulajdonságokkal. Ekkor (ii) speciális eseteként kapjuk, hogy

(iv) ha az a_j vektorok között van két azonos, akkor Da_1,,a_n=0

Most megmutatjuk, hogy

(v) ha két vektort felcserélünk, akkor D értéke az ellentettjére változik („előjelet vált”).

Cseréljük fel például a_1-et és a_2-t. Ekkor (i) és (iv) alapján

tehát valóban Da_2,a_1,a_3,,a_n=- Da_1,a_2,a_3,,a_n 

Írjuk fel az a_j -ket az e_i báziselemek lineáris kombinációjaként: a_j=i=1nαije_i  Ennek alapján De_m1,,e_mn-et az (i) tulajdonság felhasználásával nn darab

(2)

típusú tag összegére bonthatjuk. A (iii), (iv) és (v) feltételek alapján itt mindegyik Da_1,,a_n érték egyértelműen meghatározott (0 vagy ±1), és így De_m1,,e_mn értéke is egyértelmű. Ezzel beláttuk, hogy legfeljebb egy ilyen D függvény létezik.

Az előzőkből (1) is azonnal következik. Először is (iv) alapján Da_1,,a_n ha az De_m1,,e_mn=0-k között szerepel két azonos. Vegyünk most egy olyan tagot, ahol az e_-k mind különbözők, azaz m1,…, mn az 1,…,n számok egy permutációja. Ekkor (iii) és (v) alapján e_ aszerint 1 vagy –1, hogy az m1,…, mn permutáció az 1,…,n-ből páros vagy páratlan sok cserével keletkezett-e, más szóval az m1,…, mn páros vagy páratlan permutáció-e. Ennek alapján De_m1,,e_mn annak az n! számú Da_1,,a_n tagnak az összege, ahol m1,…, mn végigfut az 1,…,n számok összes permutációján és I az m1,…, mn permutáció inverziószáma. Ez pedig éppen az αij számokból képezett determináns értéke (pontosabban a transzponált mátrix determinánsának a definíció szerinti megadása). Ezzel (1)-et beláttuk.

Hátra van még annak az igazolása, hogy valóban létezik ilyen D függvény. Az előzőek szerint egyedül a determináns lehet megfelelő. Így azt kell megmutatni, hogy a determináns valóban rendelkezik az (i)-(iii) tulajdonságokkal. Ez pedig azonnal következik a determináns elemi tulajdonságaiból.❷

Megjegyzések: 1. A tétel bizonyítását a determináns tulajdonságaira történő hivatkozás nélkül is befejezhettük volna. Ugyanis láttuk, hogy egyedül az a D lehet jó, amelyre -1Iαm11αm22αmnn éppen a (2)-ben szereplő nn darab tag összege, ahol mindegyik Da_1,,a_n érték egyértelműen meghatározott (0 vagy ±1). Innen (iii) teljesülése nyilvánvaló, (i) és (iv) pedig egyszerű számolással adódik, és az utóbbi kettőből (ii) is könnyen levezethető (lásd a 9.8.1 feladatot). Persze mindezzel tulajdonképpen a megfelelő determinánstulajdonságok újbóli bizonyítását végeztük el.

Egy másik, kicsit kevesebb számolással járó lehetőség, ha megmutatjuk, hogy az (i) és (ii) tulajdonságnak eleget tevő függvények a természetesen adódó műveletekre nézve egy egydimenziós vektorteret alkotnak, és így a (iii) feltétel egyértelműen kijelöl ebben egy megfelelő D függvényt (vö. a 9.8.2 feladattal).

2. Mivel (adott test felett) bármely két n-dimenziós vektortér izomorf, ezért dolgozhattunk volna végig V=Rn-nel is. Ekkor az e_1,,e_n bázisnak értelemszerűen a szokásos egységvektorokat célszerű választani.

Feladatok

9.8.1 Vezessük le a (ii) tulajdonságot (i)-ből és (iv)-ből.

9.8.2 Legyenek F1 és F2 olyan VnR függvények, amelyekre (i) és (ii) teljesül és F2 nem azonosan nulla. Mutassuk meg, hogy van olyan λR amellyel F1F2.

9.8.3 Legyen az AHom V lineáris transzformáció mátrixa az e_1,,e_n bázisban A. Lássuk be, hogy az Fv_1,,v_n=DAv_1,,Av_n és a Gv_1,,v_n=(detA)Dv_1,,v_n függvények azonosan egyenlők.

Megjegyzés: A feladat alapján kapjuk, hogy a determináns tulajdonképpen az a skalár, ahányszorosára a transzformáció a térfogatot növeli.

9.8.4 Igazoljuk a determinánsok szorzástételét.

9.8.5

a) Legyen P1, P2 és P3 a sík három pontja, Pj (szokásos Descartes-féle koordinátái) legyenek γ1j és γ2j (j=1,2,3). Bizonyítsuk be, hogy a Pj pontok akkor és csak akkor esnek egy egyenesbe, ha γ11γ12γ13γ21γ22γ23111=0

b) Fogalmazzuk meg és lássuk be a megfelelő térbeli állítást: mikor esik négy pont egy síkba?

c) Igazak maradnak-e a fenti eredmények ferdeszögű koordinátarendszerben is?