Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

9.7. Hilbert harmadik problémája

9.7. Hilbert harmadik problémája

Az 1900-as párizsi nemzetközi matematikai kongresszuson David Hilbert „Matematikai problémák” címmel tartott előadást, és ebben nagyszabású kutatási programot jelölt ki a XX. század matematikusai számára. Az itt felvázolt 23 problémakör jelentősen meghatározta a matematika fejlődési irányát, és a felvetett kérdések közül jónéhány ma is megoldatlan. Legkönnyebbnek a 3. probléma bizonyult, amely poliéderek átdarabolására vonatkozott, és amelyet M. Dehn néhány hónap alatt megoldott.

A probléma előzménye Bolyai Farkas és P. Gerwien tétele a sokszögek átdarabolhatóságáról: egymástól függetlenül bebizonyították, hogy két egyenlő területű sokszög mindig átdarabolható egymásba, azaz az egyiket szét lehet vágni egyenes vonalakkal véges sok részre úgy, hogy a kapott részekből a másik összerakható legyen. (Más szóval a két sokszöget páronként egybevágó részsokszögekre lehet felbontani, a bizonyítást lásd a 9.7.1 feladatban.)

Már Bolyai Farkas felvetette, vajon érvényes-e hasonló tétel azonos térfogatú poliéderekre is, és Hilbert ennek megválaszolását tűzte ki a 3. problémában, azt sejt(et)ve, hogy ez az átdarabolás a térben már nem mindig lehetséges. A válasz valóban negatív:

9.7.1 Tétel

Az egységnyi térfogatú kocka és szabályos tetraéder nem vágható szét véges sok poliéderre úgy, hogy az egyes darabokat alkalmas egybevágóságok átviszik egymásba.❶

Bizonyítás: Tegyük fel indirekt, hogy a kocka és a tetraéder mégis egymásba darabolhatók lennének, és legyenek a felbontási eljárás során keletkező P poliéderek összes lapszögei β1,…, βm. A βi-k között szerepel a kocka és a tetraéder lapszöge is, az előbbi π/2, az utóbbit jelöljük α-val, ekkor cosα=1/3.

Legyen V a valós számok szokásos vektortere a racionális test felett és ebben W a βi-k által generált (legfeljebb m-dimenziós) altér. Mivel az α nem racionális számszorosa π/2-nek (lásd a 9.7.2 feladatot), vagyis π/2 és α lineárisan független vektorok W-ben, ezért α és π/2 kibővíthető a W bázisává. Ennélfogva megadható olyan f:WQ lineáris leképezés, amelyre f(π/2)=0 és f(α)=1. A linearitás alapján bármely ξ,ψW-re f(ξ+ψ)=f(ξ)+f(ψ) érvényes, így speciálisan f(π)=2f(π/2)=0 is teljesül.

Vezessük be most a P poliéderekre az alábbi függvényt, az ún. Dehn-invariánst:

ahol az összegezés a P poliéder összes e éle szerint történik, |e| az e él hossza, β az e élnél levő lapszög és f az imént definiált függvény.

Megmutatjuk, hogy F „additív”, azaz ha P-t egy S síkkal szétvágjuk P1-re és P2-re, akkor

(1)

Vegyük a bal oldalon az F(P) összeg egy tetszőleges |ef(β) tagját. Ha S-nek nincs közös pontja az e éllel, akkor ez a tag a jobb oldalon érintetlenül szerepel pontosan az egyik Pi-ben. Ha S az e élt két darabra, e1-re és e2-re vágja, akkor (1) jobb oldalán |e1f(β)+|e2f(β)=|ef(β) jelenik meg. Ha e benne van S-ben, akkor S a β lapszöget vágja fel két részre, β=β12, ekkor a jobb oldalon |ef1)+|ef2) szerepel, ami f linearitása miatt továbbra is |ef(β)-val egyenlő. Végül azt az esetet kell még vizsgálnunk, ha S a P-ben nem szereplő új éleket hoz létre P valamelyik lapján. Egy ilyen e él szükségképpen P1-nek és P2-nek is éle és a keletkező lapszögekre β12=π teljesül. Így ez az él az (1) jobb oldalán álló F(P1)+F(P2) összeghez

értékkel járul hozzá. Ezzel (1)-et teljes egészében beláttuk.

Ebből következik, hogy egymásba átdarabolható poliéderek Dehn-invariánsa meg kell hogy egyezzen. A K egységkockára F(K)=12f(π/2)=0. A megfelelő R szabályos tetraéder élhosszát b-vel jelölve ugyanakkor F(R)=6bf(α)=6b≠0. Ez az ellentmondás igazolja, hogy K és R valóban nem darabolhatók át egymásba.❷

Megjegyzések: 1. A térbeli átdarabolhatóságnál tulajdonképpen tetszőleges egybevágóság helyett csak mozgásokat kellett volna megengedni, hiszen ha egy P poliédernek egy síkra vonatkozó tükörképe P’, akkor P és P’ a (háromdimenziós) térben általában „nem vihetők át ténylegesen” egymásba. Belátható azonban, hogy P és P’ feldarabolhatók úgy, hogy az egyes részeket már mozgással is egymásba vihetjük, és így az átdarabolhatóság definíciójánál valóban mindegy, hogy tetszőleges egybevágóságokat vagy csak mozgásokat engedünk meg.

2. A síkbeli és térbeli helyzet eltérése világosan mutatja annak az okát, miért lehet a sokszögek területfogalmánál hatékonyan használni az átdarabolásokat (lásd Euklidész), ugyanakkor a poliéderek térfogatánál nemigen kerülhető meg valamiféle határátmenet.

3. Ha a geometriai, „rendes” szétvágások helyett tetszőleges részhalmazokra történő (diszjunkt) felosztásokat is megengedünk, akkor alapvetően megváltozik a helyzet. Megmutatható például, hogy egy gömb (ilyen halmazelméleti értelemben) átdarabolható két(!) ugyanekkora sugarú gömbbe. Egy sokáig megoldatlan probléma volt, hogy egy azonos területű négyzet és kör átdarabolható-e egymásba; ezt nemrégen igazolta Laczkovich Miklós (ráadásul csak eltolásokra van szükség).

Feladatok

9.7.1 Bolyai Farkas és P. Gerwien tétele. Mutassuk meg, hogy két azonos területű sokszög mindig átdarabolható egymásba.

9.7.2 Szögek és koszinuszok.

a) Mutassuk meg, hogy cosα=1/3 esetén α/π irracionális szám.

b) Lássuk be, hogy ha γ/π és cosγ is racionális, akkor cosγ=0,±1/2 vagy ±1.

9.7.3 Cauchy-féle függvényegyenlet. Tekintsük azokat a minden valós számon értelmezett f valós értékű függvényeket, amelyekre bármely a,b valós szám esetén fennáll az f(a+b)=f(a)+f(b) egyenlőség.

a) Mutassuk meg, hogy a racionális számok halmazán szükségképpen f(x)=cx (alkalmas c konstanssal).

b) Ha f legalább egy pontban folytonos, akkor f(x)=cx minden valós x-re.

c) Ha f egy akármilyen kis intervallumban korlátos, akkor f(x)=cx minden valós x-re.

d) Van olyan f(x)≠cx függvény, amely kielégíti a Cauchy-féle függvényegyenletet.

9.7.4 Hasábok és tetraéderek.

a) Átdarabolható-e egymásba két azonos térfogatú hasáb (az alapok tetszőleges sokszögek lehetnek)?

*b) Legyenek A, B, C, D ebben a sorrendben egy kocka alaplapjának szomszédos csúcsai és A’, B’, C’, D’ rendre a velük szomszédos csúcsok a fedőlapon. Átdarabolhatók-e egymásba az ABCB’ és ABCC’ (azonos alapú és magasságú) tetraéderek?

*9.7.5 Négyzet és háromszög. Mutassuk meg, hogy egy azonos területű négyzet és háromszög csak eltolásokkal nem darabolható át egymásba.

9.7.6 Négyzetek és kockák.

a) Mutassuk meg, hogy egy négyzet akkor és csak akkor vágható szét pontosan n darab négyzetre, ha n≠2, 3 vagy 5.

b) Mutassuk meg, hogy ha n elég nagy, akkor egy kocka szétvágható pontosan n darab kockára.

*c) Igazoljuk az előző állítást minden n≥48-ra.

M*9.7.7 Háromszögek.

a) Akkor és csak akkor bontható fel minden háromszög pontosan n darab hasonló háromszögre, ha n≠2, 3 vagy 5.

b) Akkor és csak akkor bontható fel minden háromszög pontosan n darab egybevágó háromszögre, ha n négyzetszám.

c) Ha n négyzetszám, két négyzetszám összege vagy egy négyzetszám háromszorosa, akkor létezik olyan háromszög, amely felbontható n darab egybevágó és az eredeti háromszöghöz is hasonló részre.

Megjegyzés: Megmutatható, hogy a c) rész megfordítása is igaz. Ha azonban elhagyjuk azt a kikötést, hogy a kis (egybevágó) háromszögek az eredeti háromszöghöz hasonlók legyenek, akkor számos további megfelelő n érték adódik már a szabályos háromszögnél is.