Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

8.5. Normális, önadjungált és unitér transzformációk

8.5. Normális, önadjungált és unitér transzformációk

Ebben a pontban csak (véges dimenziós) komplex euklideszi terekkel foglalkozunk. Itt az adjungált segítségével jól le tudjuk írni, mikor létezik egy transzformációnak ortonormált sajátvektorokból álló bázisa. Más megfogalmazásban: mely transzformációkhoz található olyan ortonormált bázis, amelyben a transzformáció mátrixa diagonális. Ezután két fontos speciális esetet részletesen is megvizsgálunk. A valós euklideszi terekben kissé más a helyzet, ezt a következő pontban tárgyaljuk.

8.5.1 Definíció

Egy A transzformációt normálisnak nevezünk, ha felcserélhető az adjungáltjával, azaz AA*=A*A

8.5.2 Tétel

Egy véges dimenziós komplex euklideszi térben akkor és csak akkor létezik az A transzformációnak ortonormált sajátvektorokból álló bázisa, ha A normális, azaz AA*=A*A

Bizonyítás: Először a feltétel elégségességét igazoljuk, tehát azt, hogy a normalitásból a kívánt bázis létezése következik.

Ha egy, a komplex test feletti vektortérben két transzformáció felcserélhető, akkor van közös sajátvektoruk. Vegyük ugyanis az egyik transzformáció egy sajátalterét. Ez a 6.4.6 feladat szerint a másik transzformációnak invariáns altere. Szorítsuk meg erre az altérre a másik transzformációt, és tekintsük egy tetszőleges sajátvektorát. Ez a két transzformációnak közös sajátvektora lesz.

Vegyük most a felcserélhető A és A* transzformációk egy e_ közös sajátvektorát. Alkalmas skalárral beszorozva elérhetjük, hogy e_=1 legyen. Ez lesz az ortonormált sajátbázis első eleme.

Tekintsük az U=e merőleges kiegészítő alteret. Mivel e invariáns altere volt A-nak, illetve A*-nak, ezért (a 8.4.3 Tétel szerint) U invariáns altere A*-nak, illetve A-nak. Ennek alapján a fenti eljárást az U altéren megismételhetjük stb. Így végül egy ortonormált sajátbázishoz jutunk.

A szükségességre rátérve, azt kell megmutatnunk, hogy ortonormált sajátbázis létezéséből AA*=A*A következik. Vegyük A egy ortonormált sajátbázisát, ebben az A mátrix diagonális. Ekkor az ortonormáltság miatt A*=[A]* tehát A* is diagonális mátrix. Két diagonális mátrix pedig felcserélhető, és így a megfelelő transzformációk, azaz A és A* is felcserélhetők.❷

A normális transzformációkra még egy érdekes karakterizációt adunk. További ekvivalens feltételeket a 8.5.10 feladat tartalmaz.

8.5.3 Tétel

Az A transzformáció akkor és csak akkor normális, ha A* felírható az AA*=AfA=fAA=A*A, polinomjaként, azaz van olyan A amellyel fCx

Bizonyítás: Ha A*=fA akkor AA*=A*A hiszen A a hatványaival és E-vel nyilván felcserélhető.

A megfordításhoz tegyük fel, hogy AA*=A*A Az előző tétel szerint ekkor van olyan ortonormált bázis, amelyben az A mátrix diagonális és A*=[A]* Legyenek A főátlójának elemei λ1,…, λk, ekkor A* főátlójának elemei λ1¯,,λk¯. Legyen n a különböző λj-k száma. Olyan f01x+…+αn–1xn–1 komplex együtthatós polinomot keresünk, amelyre A*=fA Ezt a transzformációk helyett a diagonális mátrixokra felírva, az

egyenletrendszer adódik (ahol az αi-k az ismeretlenek). Az azonos λ-khoz tartozó egyforma egyenletekből csak egyet megtartva egy olyan n×n-es egyenletrendszerhez jutunk, amelynek a determinánsa a különböző λj-k által generált Vandermonde-determináns. Mivel ez nem nulla, az egyenletrendszer (egyértelműen) megoldható, és így egy megfelelő f polinomot kapunk. (Hivatkozhattunk volna az interpolációs polinomokra bizonyított 3.2.4 Tételre is.)❷

A normális transzformációk két legfontosabb osztálya, amikor A*=A, illetve A*=A-1 ezek az önadjungált, illetve az unitér transzformációk.

8.5.4 Definíció

Az A transzformáció önadjungált, ha A*=A

Azonnal látszik, hogy egy önadjungált transzformáció normális, így létezik ortonormált sajátbázisa. A normális transzformációk közül pontosan azok önadjungáltak, amelyeknek a sajátértékei valósak (8.5.1 feladat).

8.5.5 Definíció

Az A transzformáció unitér, ha A*=A-1

Világos, hogy egy unitér transzformáció is normális, így létezik ortonormált sajátbázisa. A normális transzformációk közül pontosan azok unitérek, amelyeknek a sajátértékei egységnyi abszolút értékűek (8.5.3 feladat).

Az unitér transzformációk azzal jellemezhetők, hogy skalárszorzat-, norma-, illetve távolságtartók:

8.5.6 Tétel

Egy A transzformáció unitérsége az alábbi feltételek bármelyikével ekvivalens:

I. Skalárszorzattartás: x_,z_VAx_Az_=x_z_

II. Normatartás: x_VAx_=x_

III. Távolságtartás: x_,z_VTAx_,Az_=Tx_,z_

Bizonyítás: (I.) Ax_Az_=x_A*Az_=x_z_ minden x_,z_-re pontosan akkor teljesül, ha A*A=E

(II.) A norma speciális skalárszorzat, így a skalárszorzattartásból a normatartás következik. A megfordításhoz azt kell felhasználni, hogy a norma segítségével is egyértelműen felírható a skalárszorzat.

(III.) A távolságot a norma segítségével definiáltuk, tehát a normatartásból következik a távolságtartás. A megfordítás az u_=Tu_,0_ összefüggésből adódik.❷

Feladatok

8.5.1

a) Bizonyítsuk be, hogy egy normális transzformáció akkor és csak akkor önadjungált, ha a sajátértékei valósak.

b) Igaz-e, hogy ha egy transzformáció sajátértékei valósak, akkor szükségképpen önadjungált?

8.5.2 Mutassuk meg, hogy egy A önadjungált transzformációra az A,A2,,Am, transzformációk vagy mind különbözők, vagy pedig legfeljebb két különböző van közöttük.

8.5.3

a) Bizonyítsuk be, hogy egy normális transzformáció akkor és csak akkor unitér, ha a sajátértékei egységnyi abszolút értékűek.

b) Igaz-e, hogy ha egy transzformáció sajátértékei egységnyi abszolút értékűek, akkor szükségképpen unitér?

8.5.4 Igaz-e, hogy egy véges dimenziós komplex vektortéren bármely A lineáris transzformáció normálissá tehető, azaz értelmezhető úgy egy skalárszorzat, hogy A normális legyen?

8.5.5 Tekintsük a C4 szokásos euklideszi teret. Az alábbi transzformációk közül melyek lesznek normálisak, önadjungáltak, illetve unitérek?

8.5.6

Legyen A és B önadjungált. Önadjungált lesz-e A+B, λA,A2 illetve AB? Oldjuk meg a feladatot önadjungált helyett unitér, illetve normális transzformációkra is.

8.5.7

a) Véleményezze az alábbi gondolatmenetet. Két önadjungált transzformáció szorzata is önadjungált, ugyanis: (i) egy transzformáció akkor és csak akkor önadjungált, ha van olyan ortonormált sajátvektorokból álló bázis, amely szerinti mátrixa diagonális és a főátló elemei valósak; (ii) két ilyen mátrix szorzata megint ilyen mátrixot ad; (iii) ha tehát a két önadjungált transzformáció megfelelő mátrixát felírjuk és összeszorozzuk, akkor a szorzat is ilyen típusú mátrix lesz, vagyis a szorzattranszformáció is önadjungált.

b) Igazoljuk, hogy az A és B önadjungált transzformációk AB szorzata akkor és csak akkor önadjungált, ha AB=BA

8.5.8 Mutassuk meg, hogy egy normális transzformáció sajátalterei páronként merőlegesek. Igaz-e az állítás megfordítása?

8.5.9 Legyen az A normális transzformáció mátrixa valamely b_1,,b_n bázisban A. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha a b_1,,b_n bázis ortonormált, akkor AA*=A*A.

b) Ha AA*=A*A, akkor a b_1,,b_n bázis ortonormált.

8.5.10 Bizonyítsuk be, hogy egy A transzformáció normalitása az alábbi feltételek bármelyikével ekvivalens.

a) x_VAx_=A*x_

b) A és A* sajátvektorai azonosak.

c) Minden λ-ra KerA-λE=Ker A*-λ¯E

d) Minden λ-ra Im A-λE=ImA*-λ¯E

e) Minden λ-ra KerA-λEIm A-λE

8.5.11 Bizonyítsuk be, hogy ha az A és B normális transzformációkra AB=O akkor BA=O is teljesül.

8.5.12 Mutassuk meg, hogy az A és B normális transzformációknak akkor és csak akkor létezik közös ortonormált sajátbázisa, ha AB=BA

8.5.13 Lássuk be, hogy ha az A és B normális transzformációk felcserélhetők (azaz AB=BA), akkor AB is normális. Igaz-e az állítás megfordítása?

8.5.14 Bizonyítsuk be, hogy egy transzformáció akkor és csak akkor normális, ha felírható egy önadjungált és egy unitér transzformáció szorzataként, amelyek egymással felcserélhetők.

8.5.15 Mutassuk meg, hogy egy komplex euklideszi téren minden transzformációhoz létezik olyan ortonormált bázis, amelyben a transzformáció mátrixa felsőháromszög-mátrix.

8.5.16 Legyen V egy n-dimenziós komplex euklideszi tér és A illetve A*A karakterisztikus polinomjának gyökei (multiplicitással számolva) legyenek λ1,…, λn, illetve μ1,…, μn.

a) Mutassuk meg, hogy μ1,…, μn nemnegatív valós számok.

b) Bizonyítsuk be, hogy j=1n|λj|2j=1nμj

c) A b)-beli egyenlőtlenségben pontosan akkor áll egyenlőség, ha A normális.

8.5.17 Bizonyítsuk be, hogy egy transzformáció akkor és csak akkor merőlegességtartó, ha egy unitér transzformáció skalárszorosa.

8.5.18 Írjuk fel egy unitér transzformáció mátrixát egy ortonormált bázisban. Bizonyítsuk be, hogy

a) két különböző oszlopvektor szokásos Cn-beli skalárszorzata 0, egy oszlopvektor önmagával vett skalárszorzata pedig 1;

b) ugyanez érvényes oszlopok helyett sorokra is;

c) a mátrix determinánsának abszolút értéke 1;

d) a mátrix bármely elemének ugyanannyi az abszolút értéke, mint a hozzá tartozó előjeles aldeterminánsnak.