Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

8.4. Transzformáció adjungáltja

8.4. Transzformáció adjungáltja

Legyen V egy n-dimenziós (valós vagy komplex) euklideszi tér.

8.4.1 Tétel

Minden AHom V lineáris transzformációhoz pontosan egy olyan A*Hom V létezik, amellyel bármely x_,z_V vektorra Ax_z_=x_A*z_ teljesül.

Ezt az A* transzformációt az A transzformáció adjungáltjának nevezzük.❶

Külön felhívjuk a figyelmet arra, hogy az adjungált nemcsak az A transzformációtól, hanem a skalárszorzattól is függ. Ha tehát ugyanazon a V vektortéren egy másik skalárszorzatot veszünk (és így persze egy másik euklideszi teret kapunk), akkor ugyanannak a transzformációnak (általában) más lesz az adjungáltja.

Bizonyítás: Legyen e_1,,e_n ortonormált bázis V-ben.

Tekintsük először a valós esetet. Ha vesszük az e_j bázisban A,x_ és z_ mátrixát, akkor az Ax_z_ skalárszorzatot a következőképpen írhatjuk fel:

A keresett A* transzformációval az x_A*z_ skalárszorzatra ugyanígy

adódik. A két skalárszorzat mindegyike (x_-ben és z_-ben) bilineáris függvény, ezért pontosan akkor azonosak, ha (ugyanabban a bázisban felírt) mátrixuk megegyezik, azaz [A]T=A* Felhasználva a mátrixok és a lineáris leképezések közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést, innen azt nyerjük, hogy pontosan egy ilyen A* transzformáció létezik.

A komplex esetben mindössze annyi a változás, hogy a transzponáltak helyett mindenütt az adjungált mátrixot (azaz a transzponált konjugáltját) kell venni.❷

A bizonyításból az is kiderült, hogyan kapjuk az adjungált transzformáció mátrixát ortonormált bázisban: valós esetben az A mátrix transzponáltját, a komplex esetben pedig az adjungáltját kell venni. Ezt fontossága miatt külön tételként is kimondjuk. Mivel valós mátrix transzponáltja és adjungáltja ugyanaz, ezért az egyöntetűség kedvéért a jövőben (a valós és a komplex esetben egyaránt) az adjungált mátrix elnevezést és jelölést fogjuk használni.

8.4.2 Tétel

Ortonormált bázisban A*=[A]* azaz A* mátrixát úgy kapjuk meg, hogy A mátrixát tükrözzük a főátlóra és (komplex esetben) konjugáljuk.❶

A transzformációknál az adjungálás és a műveletek ugyanolyan kapcsolatban állnak, mint a mátrixoknál (lásd a 8.4.1 feladatot).

Valós euklideszi térben A és A* karakterisztikus polinomja, minimálpolinomja és sajátértékei megyegyeznek, komplex esetben pedig egymás konjugáltjai lesznek (lásd a 8.4.7 feladatot).

Az invariáns alterekre vonatkozó alábbi egyszerű tétel a későbbiekben fontos szerepet játszik majd.

8.4.3 Tétel

U akkor és csak akkor invariáns altere A-nak, ha U invariáns altere A*-nak.❶

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy U invariáns altere A-nak, és mutassuk meg, hogy U invariáns altere A*-nak. Ehhez z_UA*z_U igazolandó, vagyis hogy z_-vel együtt A*z_ is merőleges tetszőleges u_U vektorra. A kérdéses skalárszorzatot képezve valóban u_Az_=Au_)z_ adódik, hiszen Au_U és z_U A megfordítást ugyanígy (vagy az (A*)*=A és (U)=U összefüggésekből) kapjuk.❷

Feladatok

8.4.1 Igazoljuk az adjungált transzformáció alábbi tulajdonságait:

8.4.2 Tekintsük a síkon a szokásos skalárszorzatot. Adjuk meg az alábbi transzformációk adjungáltját:

a) tükrözés az x-tengelyre;

b) tükrözés az origón átmenő tetszőleges egyenesre;

c) az origó körüli (pozitív irányú) 90 fokos elforgatás;

d) az origó körüli tetszőleges szögű elforgatás;

e) merőleges vetítés az x-tengelyre;

f) merőleges vetítés az origón átmenő tetszőleges egyenesre;

g) az y-tengellyel párhuzamos vetítés a 45 fokos y=x egyenesre;

h) az a lineáris transzformáció, amely az x-tengely pontjait helybenhagyja, az y-tengely pontjait pedig –90 fokkal elforgatja.

8.4.3 Tekintsük a térben a szokásos skalárszorzatot, és legyen c_ egy rögzített vektor. Az A transzformáció egy u_ vektorhoz rendelje hozzá az u_×c_ vektoriális szorzatot. Határozzuk meg A*-ot.

8.4.4 Tekintsük a 8.1.4 feladatban definiált euklideszi tereket, és határozzuk meg a kétszeri differenciálás (az ff” lineáris transzformáció) adjungáltját.

8.4.5 Mutassuk meg, hogy ha A2=O akkor minden x_-re Ax_A*x_ Igaz-e az állítás megfordítása?

8.4.6 Tekintsük A és A* egy-egy sajátvektorát. Bizonyítsuk be, hogy vagy a hozzájuk tartozó sajátértékek egymás konjugáltjai, vagy pedig a két sajátvektor merőleges egymásra.

8.4.7 Igazoljuk, hogy valós euklideszi térben A és A* karakterisztikus polinomja, minimálpolinomja és sajátértékei megyegyeznek, komplex esetben pedig egymás konjugáltjai lesznek. (Egy polinom konjugáltján az együtthatók konjugálásával nyert polinomot értjük.)

8.4.8 Lássuk be, hogy Ker A*=(Im A) és ImA*=(Ker A)

8.4.9 Igazoljuk, hogy A és A* kép-, illetve magterei azonos dimenziójúak.

8.4.10 Legyen ACk×n,b_Ck és tekintsük az Ax_=b_ lineáris egyenletrendszert (n ismeretlen, k egyenlet). Bizonyítsuk be, hogy ez akkor és csak akkor oldható meg, ha b_ merőleges az A*z_=0_ homogén egyenletrendszer minden megoldására (a merőlegességet a Ck szokásos euklideszi térben értjük).

8.4.11

a) Bizonyítsuk be, hogy ha A*A=O akkor A=O

b) Mutassuk meg, hogy Ker A*A=Ker A és Im A*A=Im A*

8.4.12

Tegyük fel, hogy A*B=O Bizonyítsuk be, hogy

a) Im A és Im B merőleges alterek;

b) Ker A+B=Ker AKer B

Igaz-e az a), illetve b) állítás megfordítása?

*8.4.13 Mutassuk meg, hogy ha A*B=BA*=O akkor Im A+B=Im A  Im B

M*8.4.14 Legyen V egy véges dimenziós vektortér a valós vagy a komplex test felett, és definiáljunk rajta különböző skalárszorzatokat.

a) Melyek azok az AHom V transzformációk, amelyekre A* nem függ a skalárszorzattól (tehát bármely skalárszorzat szerint ugyanaz)?

b) Legyen S1 és S2 két skalárszorzat. Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor lesz minden AHom V transzformációnak az S1 és S2 szerint képzett adjungáltja ugyanaz, ha S1S2, ahol λ≠0.