Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

8.3. Komplex euklideszi tér

8.3. Komplex euklideszi tér

Most a komplex test feletti véges dimenziós vektorterekre adaptáljuk az előző két pontban tárgyalt fogalmakat és eredményeket.

8.3.1 Definíció

Legyen e_1,,e_nrögzített bázis V-ben. Ekkor az adott bázis szerint vett skalárszorzaton az alábbi S:V×VC függvényt értjük:

A valós esethez képest tehát annyi a változás, hogy az első vektor koordinátáinak a komplex konjugáltját kell venni.

Az így definiált skalárszorzat pozitív definit ermitikus bilineáris függvény, ami részletesen kiírva a következőket jelenti:

A valós esethez képest tehát két helyen van változás: a két tényező felcserélésekor a skalárszorzat a komplex konjugáltjába megy át, valamint az első tényezőt λ-val szorozva a skalárszorzat nem λ-val, hanem annak konjugáltjával, λ¯-tal szorzódik. Megjegyezzük még, hogy az x_0_x_x_>0 feltétel azt is magában foglalja, hogy x_x_ minden x_-re valós szám (ez egyébként az x_z_=z_x_¯ tulajdonságból adódik — vö. a 7.4.4 Tétellel).

Az ortogonalizációs tétel komplex változata szerint most is igaz a megfordítás: minden pozitív definit ermitikus bilineáris függvényhez található olyan bázis, hogy a szerinte vett skalárszorzat éppen az adott függvénnyel egyenlő. Így a 8.1.2 Tétel megfelelője érvényben marad:

8.3.2 Tétel

A (komplex) skalárszorzatot pozitív definit ermitikus bilineáris függvényként is definiálhatjuk.❶

Ezután az euklideszi tér, az ortonormált rendszer, az ortonormált bázis, a merőlegesség, a merőleges kiegészítő értelmezése ugyanaz, mint a valós esetben volt (8.1.3–8.1.6 Definíciók). A 8.1.7 Tétel is változtatás nélkül érvényes.

A vektor hossza komplex euklideszi térben is az önmagával vett skalárszorzat négyzetgyöke (8.2.1 Definíció). Ez (a pozitív definitség miatt) most is (nemnegatív) valós szám. A vektor hosszát egy ortonormált bázis szerinti koordinátákkal úgy írhatjuk fel, hogy a koordináták abszolút értékének négyzetösszegéből vonunk négyzetgyököt:

A hosszra ugyanúgy teljesülnek a 8.2.2 Tétel (N1)–(N3) állításai, tehát egy komplex euklideszi tér egyben (komplex) normált tér is.

A (norma segítségével definiált) távolság fogalma és (M1)–(M3) tulajdonságai (8.2.4 Definíció, 8.2.5 Tétel) azonosak a valós esetben látottakkal, és így most is metrikus teret kapunk.

Szöget nem értelmezünk (csak merőlegességet), hiszen a 8.2.7 Definíció most cosϕ-re általában komplex értéket adna.

A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség (8.2.8 Tétel) azonban továbbra is érvényes, a második bizonyítás minimális változtatással, a harmadik bizonyítás pedig némi trükk alkalmazásával átvihető a komplex esetre is (lásd a 8.3.4 feladatot).

Feladatok

8.3.1 Mutassuk meg, hogy az alábbi feladatok állításai komplex euklideszi térben is érvényben maradnak: 8.1.2, 8.1.3, 8.1.5, 8.1.6, 8.1.8, 8.1.9, 8.1.11, 8.1.14, 8.2.14, 8.2.15.

8.3.2 Legyen V egy komplex euklideszi tér. Bizonyítsuk be, hogy

a) x_-iz_ és ix_+z_ pontosan akkor merőlegesek, ha x_=iz_

b) x_+iz_ és ix_+z_ pontosan akkor merőlegesek, ha x_=z_ és az x_z_ skalárszorzat tiszta képzetes.

8.3.3 Vizsgáljuk meg a 8.2.3 feladat állításait komplex euklideszi tér esetén.

8.3.4 Bizonyítsuk be a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenséget komplex euklideszi térre.

8.3.5 A Cn szokásos euklideszi térben egy x_ vektor konjugáltját úgy kapjuk, hogy x_ minden komponensét konjugáljuk: ha x_=x1xn akkor x¯_=x1¯xn¯ Egy tetszőleges HCn részhalmazra legyen H¯ a H-beli vektorok konjugáltjainak a halmaza. Végül egy vektort nevezzünk valósnak, ha minden komponense valós.

a) Bizonyítsuk be, hogy z_ és z_¯ akkor és csak akkor összefüggők, ha z_ egy valós vektor skalárszorosa.

b) Mutassuk meg, hogy H¯ akkor és csak akkor altér, ha H altér.

c) Igazoljuk, hogy bármely U altérre U¯=U¯

d) Lássuk be, hogy egy U0_ altérre U¯=U akkor és csak akkor teljesül, ha U-nak létezik valós vektorokból álló bázisa.

e) Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor létezik olyan U altér, amelyre U=U¯ ha n páros.