Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

8.2. Hossz, távolság, szög

8.2. Hossz, távolság, szög

A skalárszorzat segítségével most felépítjük az euklideszi tér geometriáját. A címbeli fogalmak tetszőleges euklideszi térre történő kiterjesztésénél a (közönséges) sík-, illetve térbeli kapcsolatokat vesszük alapul.

8.2.1 Definíció

Egy euklideszi térben az x_ vektor hosszán (vagy normáján vagy abszolút értékén) az önmagával vett skalárszorzatának a négyzetgyökét értjük. A skalárszorzat definíciója szerint ezt úgy kapjuk, hogy az x_ egy ortonormált bázisban vett koordinátáinak négyzetösszegéből négyzetgyököt vonunk. Az x_ vektor hosszát x_-szel jelöljük. Összefoglalva:

ahol x1,…,xn az x_ vektor koordinátái egy ortonormált bázisban.❶

8.2.2 Tétel

A hossz az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

(N1) x_0 és x_=0x_=0

(N2) λx_=λx_

(N3) x_+z_x_+z_

Bizonyítás: (N1), illetve (N2) azonnal következik a skalárszorzat pozitív definitségéből, illetve bilinearitásából. Az (N3) háromszögegyenlőtlenség igazolására a 8.2.8 Tétel után kerül majd sor.❷

8.2.3 Definíció

Egy R feletti V vektorteret normált (vektor)térnek nevezünk, ha értelmezve van rajta egy||·||:VRnorma, amely rendelkezik az (N1), (N2) és (N3) tulajdonságokkal.❶

A 8.2.2 Tételt tehát úgy is fogalmazhatjuk, hogy minden euklideszi tér egyben normált tér is. Ennek a megfordítása nem igaz, lásd a 8.2.4–8.2.5 feladatokat.

A hossz segítségével azonnal értelmezhető a távolság:

8.2.4 Definíció

Egy normált térben két vektor távolságán a különbségvektoruk hosszát értjük. Az x_ és z_ vektorok távolságát τx_,z_-vel jelöljük. Így τx_,z_=x_-z_

8.2.5 Tétel

A távolság az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

(M1) τx_,z_0 és τx_,z_=0x_=z_

(M2) τx_,z_=τz_,x_

(M3) τx_,z_τx_,w_+τw_,z_

Bizonyítás: Mindhárom (M) tulajdonság azonnal következik az azonos sorszámú (N) tulajdonságból [(N2)-t csak λ=–1-re kell felhasználni].❷

8.2.6 Definíció

Egy H halmazt metrikus térnek nevezünk, ha értelmezve van rajta egy τ:H×HRtávolság (vagy metrika), amely rendelkezik az (M1), (M2) és (M3) tulajdonságokkal.❶

A 8.2.5 Tételt tehát úgy is fogalmazhatjuk, hogy minden normált tér (és így speciálisan minden euklideszi tér) egyben metrikus tér is. Ennek a megfordítása nem igaz, lásd a 8.2.6–8.2.7 feladatokat.

Végül következik a szög definíciója. A síkon (vagy térben) két nemnulla vektor skalárszorzata a két vektor hosszának és a közbezárt szög koszinuszának a szorzata, azaz x_z_=x_zcosφ Innen cosϕ kifejezhető: cosφ=(x_z_)/(x_z) (a nevezőben x_ és z_ nem nulla, mert x_ és z_ nem nullvektor). Ennek alapján a közbezárt szög koszinusza megadható csak a skalárszorzat segítségével, és ez lehetővé teszi a szög definícióját tetszőleges euklideszi térben:

8.2.7 Definíció

Ha x_ és z_ egy euklideszi tér nullától különböző vektorai, akkor a közbezárt szögükön azt a 0≤ϕ≤π szöget értjük, amelyre

A fenti definíció csak akkor értelmez valóban szöget, ha a cosϕ-re megadott kifejezés –1 és +1 közé esik. Ezt az alábbi tétel biztosítja:

8.2.8 Tétel (Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenség)

Egy euklideszi tér bármely x_ és z_ vektorára fennáll az

egyenlőtlenség. Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x_ és z_ lineárisan összefüggők (azaz az egyik a másiknak skalárszorosa).❶

Azonnal megállapíthatjuk, hogy ha x_ és z_ közül legalább az egyik a nullvektor, akkor mindkét oldal 0, tehát elég azzal az esettel foglalkozni, amikor x_ és z_ egyike sem 0_

Első bizonyítás: Tekintsük az x_ és z_ által generált alteret. Ez egy legfeljebb 2-dimenziós euklideszi tér, és így a közönséges síkkal vagy annak egy alterével izomorf (mint euklideszi tér is, lásd a 8.1.14 feladatot). A síkon viszont igaz az egyenlőtlenség (hiszen éppen abból indultunk ki), továbbá egyenlőség pontosan akkor érvényes, ha a vektorok párhuzamosak, azaz összefüggők.❷

Második bizonyítás: Írjuk fel mindkét oldalt egy ortonormált bázis szerinti koordináták segítségével, majd emeljünk négyzetre. Mivel mindkét oldalon nemnegatív szám áll, így a négyzetre emelés ekvivalens egyenlőtlenséget eredményez. Ez a következőképpen fest:

A műveleteket elvégezve és átrendezve a

alakot kapjuk. A jobb oldali négyzetösszeg nyilván nemnegatív (amivel az egyenlőtlenséget már igazoltuk), és csak akkor nulla, ha minden tagja nulla. Ez utóbbi azt jelenti, hogy x_ és z_ koordinátái arányosak, tehát az egyik vektor valóban a másik skalárszorosa. Megjegyezzük, hogy a második bizonyítás tulajdonképpen egy valós számokra vonatkozó elemi egyenlőtlenséget igazolt középiskolás úton. Ennek speciális eseteként megkaphatjuk a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget is (lásd a 8.2.8 feladatot).

Harmadik bizonyítás: Legyen λ tetszőleges skalár, és tekintsük a

skalárszorzatot. Ez (x_0_ miatt) λ-nak másodfokú polinomja, továbbá minden λ valós számra nemnegatív értéket vesz fel. Ez csak úgy lehet, ha a diszkriminánsa nempozitív, azaz

Ez éppen a bizonyítandó egyenlőtlenség négyzetre emelt alakja.

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a diszkrimináns nulla, ami (a negatív diszkriminánsú másik esettel szemben) éppen azt jelenti, hogy a szóban forgó másodfokú polinomnak van gyöke. Ekkor tehát alkalmas λ-ra

λ x _ + z _ = 0 azaz λx_+z_=0_ vagyis z_=-λx_

A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenség (a továbbiakban CBS) igen széles körben alkalmazható. Most a 8.2.2 Tételbeli (N3) háromszögegyenlőtlenség még hiányzó bizonyítását pótoljuk a segítségével.

A háromszögegyenlőtlenség bizonyítása [8.2.2 Tétel, (N3)]: x_+z_x_+z_ teljesülését kell belátnunk. Ezzel (a nemnegativitás miatt) ekvivalens, ha a két oldal négyzetére látjuk be a megfelelő egyenlőtlenséget. A bal oldal négyzete x_2+2x_z_+z_2 a jobb oldal négyzete pedig x_2+2x_z_+z_2 Csak a középső tagban van eltérés, és ott a CBS biztosítja a kívánt irányú egyenlőtlenséget.❷

A fenti bizonyításból az is kiderült, hogy (a geometriai tapasztalatunkkal összhangban) a háromszögegyenlőtlenségben pontosan akkor áll egyenlőség, ha a két vektor egyirányú, azaz az egyik a másiknak nemnegatív skalárszorosa.

Feladatok

8.2.1 Mennyi egy ortonormált bázis két elemének a távolsága?

8.2.2 Mennyi az x_ és z_ vektorok szöge, ha x_=z_=x_-z_0?

8.2.3 Bizonyítsuk be tetszőleges euklideszi térben az alábbi állításokat. Mely közismert geometriai tételek általánosításáról van szó?

a) x_z_x_+z_2=x_2+z_2

b) x_=z_x_+z_x_-z_

c) x_+z_2+x_-z_2=2 x_2+2 z2

8.2.4 Az alábbi RnR függvények közül melyekre lesz az Rn vektortér normált tér? (Az x_ vektor komponenseit xj-vel jelöljük.)

a) maxj=1nxj b) maxj=1nxj c) |x1|; d) j=1nxj **e) j=1n|xj|31/3

8.2.5

a) Mutassunk példát olyan normált térre, amely nem euklideszi tér, azaz a norma nem skalárszorzatból származik.

**b) Bizonyítsuk be, hogy egy normált tér pontosan akkor tehető euklideszi térré (azaz pontosan akkor definiálható rajta egy, az x_2=x_x_ azonosságot kielégítő skalárszorzat), ha bármely x_ és z_ esetén x_+z_2+x_-z_2=2 x_2+2 z_2 teljesül.

8.2.6 Az alábbiakban Rn-en többféleképpen megpróbáljuk két vektor távolságát definiálni. Mely esetekben kapunk metrikus teret? (Az x_ illetve z_ vektor komponenseit xj-vel, illetve zj-vel jelöljük.)

a) |x1z1|; b) j=1nxj-zj

c) Ahány komponensben x_ és z_ különbözik, azaz ahány j-re xjzj.

8.2.7 Mutassunk példát olyan vektortérre, amely metrikus tér, de a metrika nem normából származik (azaz nem definiálható úgy egy norma, hogy a τx_,z_=x_-z_ azonosság teljesüljön).

8.2.8 Hogyan következik a CBS-ből a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség:

Mikor áll egyenlőség?

8.2.9 Melyek igazak az alábbi állítások közül (k tetszőleges pozitív egész, a c_i vektorok egy euklideszi tér elemei)?

a) Ha a c_1,,c_k vektorok páronként merőlegesek, akkor c_1,,c_k

b) Ha j=1kc_j2=j=1kc_j2 akkor a j=1kc_j2=j=1kc_j2 vektorok páronként merőlegesek.

8.2.10 Milyen szöget zárnak be az R4 szokásos euklideszi térben az alábbi vektorok?

a) 1111 és 1110 b) 1111 és 1-1-1-1 c) 1210 és 0121

8.2.11 Tekintsünk az R4 szokásos euklideszi térben egy egységnyi oldalú kockát

a) Határozzuk meg a csúcsok, az élek és a testátlók számát.

b) Milyen hosszúak a testátlók?

c) Milyen szöget zár be egy testátló egy éllel?

d) Milyen szöget zár be két testátló?

e) Mennyi a kocka köré, illetve a kockába írt (4-dimenziós) gömb sugara?

8.2.12 Definiáljuk és számítsuk ki az R4 szokásos euklideszi térben az U=u_=u1u2u3u4   u1+u2+u3+u4=0 altér és az 1234 vektor távolságát.

8.2.13 Tegyük fel, hogy az Ax_=b_ valós egyenletrendszer nem oldható meg. Ekkor olyan z_ közelítő megoldást szeretnénk találni, amelyre az Az_ vektor a lehető legközelebb van b_-hez. Hogyan keressünk ilyen z_-t, és milyen értelemben lesz ez legjobb közelítő megoldás? Illusztráljuk mindezt az alábbi egyenletrendszeren:

8.2.14 Legyen e_1,,e_n egy euklideszi tér ortonormált bázisa. Igazoljuk az alábbi azonosságokat:

a) x_=j=1ne_jx_e_j

b) x_z_=j=1nx_e_je_jz_

c) Parseval-formula: c_1,,c_k

8.2.15 (Bessel-egyenlőtlenség.) Mutassuk meg, hogy ha x_ ortonormált rendszer, akkor bármely x_2j=1k|x_c_j|2 vektorra x_2j=1k|x_c_j|2 Mikor áll egyenlőség?

8.2.16 Lássuk be, hogy a CBS (nemcsak a skalárszorzatokra, azaz a pozitív definit függvényekre, hanem) a pozitív szemidefinit függvényekre is igaz: ha A egy pozitív szemidefinit szimmetrikus bilineáris függvény, akkor bármely x_ és z_ vektorra Αx_,z_2Αx_,x_Αz_,z_

M*8.2.17 Egy n-dimenziós euklideszi térben maximálisan hány (nemnulla) vektor adható meg úgy, hogy közülük bármely kettő a) 60; b) 120 fokos szöget zárjon be egymással?

*8.2.18

Mutassuk meg, hogy a CBS végtelen dimenziós euklideszi térben is igaz (a végtelen dimenziós euklideszi tér értelmezését lásd a 8.1.15 feladatban).