Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

7.4. Komplex bilineáris függvény

7.4. Komplex bilineáris függvény

Ebben a pontban V egy véges dimenziós vektorteret jelent a komplex test felett. A bilineáris függvényeket úgy szeretnénk értelmezni, hogy az ortogonalizációval és a kvadratikus alakokkal kapcsolatos eredmények a komplex esetre is átvihetők legyenek.

Ha változtatás nélkül fenntartanánk a 7.1.1 Definíciót, akkor Αix_,ix_=i2Αx_,x_=-Αx_,x_ miatt például nem léteznének definit vagy szemidefinit kvadratikus alakok. Ezért és más hasonló okok miatt annyit módosítunk a bilineáris függvény definícióján, hogy az első változót λ-val megszorozva a függvényérték nem λ-val, hanem annak komplex konjugáltjával, λ¯-tal szorzódik (a többi kikötés, tehát az összegre bontások és a második változóból a skalár kiemelése változatlan marad). Azaz:

7.4.1 Definíció

Az A:V×VC leképezést (komplex) bilineáris függvénynek nevezzük, ha (a 7.1.1 Definíció képletszámozása szerint)

(ii) Αu_+u'_,v_=Αu_,v_+Αu_',v_

!(iii)! Αλu_,v_=λ¯Αu_,v_FIGYELEM! Itt a jobb oldalon lambda konjugáltja szerepel;

(iv) Αu_,v_+v_'=Αu_,v_+Αu_,v_'

(v) Αu_,λv_=λΑu_,v_

A valósban látottakhoz hasonlóan a komplex bilineáris függvények is jellemezhetők a báziselemek képével (7.1.2 Tétel, csak a bilineáris függvénynek most kicsit módosul a képlete, lásd alább), és ugyanúgy definiáljuk most is a bilineáris függvény mátrixát (7.1.3 Definíció). A 7.1.4 Tételben az (1) és (2) előállítások annyiban változnak, hogy az első vektor koordinátái helyére azok komplex konjugáltjait kell írni:

7.4.2 Tétel

Jelölje az A komplex bilineáris függvény mátrixának elemeit egy adott bázisban αij, az u_ illetve v_ vektorok koordinátáit pedig u1 ,…, un, illetve v1,…, vn. Ekkor

ahol a * a mátrix adjungáltját (azaz transzponáltjának a konjugáltját) jelenti.❶

A bizonyítás teljesen hasonlóan történik, mint a valós esetben. (A jövőben is csak azokat a bizonyításokat részletezzük, ahol jelentős eltérés van a valós bilineáris függvényekhez képest.)

Tekintsük most a kvadratikus alak problémáját (még az ortogonalizáció előtt). A kvadratikus alak definíciója (és à jelölése) változatlan (7.3.1 Definíció). Először azt igazoljuk, hogy a valós esettől eltérően itt a kvadratikus alak egyértelműen meghatározza a(z őt származtató) bilineáris függvényt, vagyis komplex esetben kölcsönösen egyértelmű kapcsolat áll fenn a kvadratikus alakok és az összes bilineáris függvény között.

7.4.3 Tétel

Minden kvadratikus alak pontosan egy bilineáris függvényből származik.❶

Bizonyítás: Ki fogjuk fejezni Αu_,v_-t az Α~x_=Αx_,x_ értékek segítségével. Ehhez „fejtsük ki” az Α~u_+v_ illetve A~u_+iv_ kifejezéseket:

A második egyenlőséghez az első i-szeresét hozzáadva Αv_,u_ kiesik és így Αu_,v_ (egyértelműen) kifejezhető a kvadratikus alak u_,v_,u_+v_ és u_+iv_ helyeken felvett értékeivel.❷

Egy komplex bilineáris függvény esetén általában a kvadratikus alak is komplex értékű. A definit, szemidefinit, illetve indefinit jelleg eleve csak akkor értelmezhető, ha a kvadratikus alak csak valós értékeket vesz fel. Az alábbiakban ennek teljesülésére adunk egy egyszerű szükséges és elégséges feltételt.

7.4.4 Tétel

Az à kvadratikus alak akkor és csak akkor vesz fel csupa valós értéket, ha minden u_,v_ vektorra Αu_,v_=Αu_,v_¯

Az ilyen tulajdonságú A-kat Hermite-féle vagy ermitikus bilineáris függvényeknek nevezzük. [A francia Hermite név szóeleji h-ját (valamint szóvégi e-jét) nem ejtjük, és ezért ez a h betű az ermitikus jelzőből már ki is marad.] Szokásos még az önadjungált bilineáris függvény elnevezés is (magyarázatát lásd alább, az ermitikus függvény mátrixánál).❶

Bizonyítás: Ha Αu_,v_=Αv_,u_¯ akkor ezt speciálisan u_=v_=x_-re alkalmazva Αx_,x_=Α(x_,x_) adódik. Így Α~x_ megegyezik a konjugáltjával, tehát valós szám. Ezzel beláttuk, hogy a kvadratikus alak csak valós értékeket vehet fel.

Megfordítva, tegyük fel, hogy a kvadratikus alak csak valós értékeket vesz fel. Az előző tétel bizonyításában szereplő két „egyenletből” ekkor azt kapjuk, hogy Αu_,v_+Αv_,u_ és iΑu_,v_-Αv_,u_ is valós. Innen rögtön adódik, hogy Αu_,v_ és Αv_,u_ csak egymás konjugáltjai lehetnek.❷

A továbbiakban csak ermitikus bilineáris függvényekkel foglalkozunk.

Ezekre értelemszerű módosításokkal átvihetők a valósban megismert fogalmak és eredmények. Az alábbi felsorolásban ezeket röviden összefoglaljuk.

Egy bilineáris függvény akkor és csak akkor ermitikus, ha (akármelyik bázisban felírt) mátrixa önadjungált, azaz megegyezik az adjungáltjával. (A 7.2.2 Tétel megfelelője.) Az önadjungáltság következménye, hogy a mátrix főátlójának minden eleme valós szám.

Minden ermitikus bilineáris függvénynek létezik diagonális mátrixa. (A 7.2.3 Tétel megfelelője. A három bizonyítás bármelyike különösebb nehézség nélkül átvihető a komplex esetre.) Az önadjungáltság miatt a diagonális mátrix főátlójában (és így az egész mátrixban is) csupa valós szám áll.

Legyen A ermitikus bilineáris függvény. Az u_,v_V vektorok A-ortogonálisak, ha Αu_,v_=0 (A 7.2.4 Definíció megfelelője.)

Bármely ermitikus bilineáris függvénynek létezik olyan mátrixa, amelyben a főátló elemei csak az 1, a –1 és a 0 közül kerülhetnek ki, a főátlón kívül pedig minden elem 0. Az ilyen mátrixot adó bázisban a bilineáris függvény az Αu_,v_=j=1nγjuj¯vj alakra egyszerűsödik, ahol γj=±1 vagy 0 és u1,…, un, illetve v1,…, vn az u_ illetve v_ vektorok koordinátáit jelölik. A kvadratikus alak előjeles négyzetösszeg előállítása ennek megfelelően

alakú lesz. (A 7.2.5 Tétel megfelelője.)

Egy ermitikus bilineáris függvény diagonális mátrixában (a főátlóban) a pozitív, a negatív és a nulla elemek száma egyértelműen meghatározott. (A 7.2.6 Tehetetlenségi Tétel megfelelője. Mint már említettük, a diagonális mátrixban minden elem valós.)

Végül a kvadratikus alakok (pozitív/negatív definit/szemidefinit, illetve indefinit) jellegének a definíciója és az erre vonatkozó eredmények megegyeznek a valós esetben látottakkal. (A 7.3.2 Definíció és a 7.3.3-7.3.4 Tételek megfelelői; értelemszerűen mindenhová „szimmetrikus” helyett „ermitikus”-t és — az utolsó tételben — R helyett C-t kell írni.)

Feladatok

A feladatokban a komplex test feletti véges dimenziós vektortéren értelmezett komplex bilineáris függvények szerepelnek.

7.4.1 Hogyan célszerű módosítani a skalárszorzat definícióját a komplex esetre?

7.4.2 Adjuk meg a komplex bilineáris függvények közül a szimmetrikusakat [azaz amelyeknél minden u_,v_-re Αu_,v_=Αv_,u_ teljesül].

7.4.3 Melyek igazak az alábbi állítások közül (az A négyzetes, komplex elemű mátrix)?

a) Ha A önadjungált mátrix, akkor det A valós szám.

b) Ha det A valós szám, akkor A önadjungált mátrix.

7.4.4 Oldjuk meg a 7.1.6 feladatot komplex bilineáris függvényre.

7.4.5 Gondoljuk végig a 7.2.3 ortogonalizációs tétel mindhárom bizonyítását a komplex esetre is.

7.4.6 Határozzuk meg az alábbi mátrixokkal megadott ermitikus bilineáris függvények egy-egy diagonális mátrixát, A-ortogonális bázisát, a kvadratikus alak jellegét, és írjuk is fel a kvadratikus alakot előjeles négyzetösszegként:

 a) 1i-i1 b) 0i-i0 c) 122121

 ahol ρ=cos 120°+isin 120°.

7.4.7 Mi lehet egy ermitikus kvadratikus alak értékkészlete? Mutassunk példát arra, hogy tetszőleges bilineáris függvényt megengedve sokkal változatosabb képet kapunk: a kvadratikus alak értékkészlete lehet a komplex sík bármelyik, origón átmenő egyenese, ilyen egyenes által határolt félsík, origó végpontú félegyenes, az egész sík és origó csúcsú tetszőleges szögtartomány is.

7.4.8 Nevezzünk egy F bilineáris függvényt ferdén ermitikusnak, ha minden u_,v_-re Fu_,v_=-Fv_,u_¯

a) Hogyan ismerhető fel egy ferdén ermitikus függvény a(z akármilyen bázisban felírt) mátrixáról?

b) Bizonyítsuk be, hogy a ferdén ermitikus függvények éppen az ermitikus függvények i-szeresei.

c) Hogyan ismerhető fel egy ferdén ermitikus függvény a hozzá tartozó kvadratikus alakról?

d) Lássuk be, hogy minden komplex bilineáris függvény egyértelműen írható fel egy ermitikus és egy ferdén ermitikus függvény összegeként.

7.4.9 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha A-nak létezik diagonális mátrixa, akkor A ermitikus.

b) Bármely A esetén két vektor A-ortogonalitása szimmetrikus fogalom, azaz Αu_,v_=0Αv_,u_=0

c) Ha A ermitikus, akkor Αu_,v_=0 Αv_,u_=0

d) Ha Αu_,v_=0 Αv_,u_=0 akkor A ermitikus.

*7.4.10 Bizonyítsuk be, hogy az Αu_,v_=0 Αv_,u_=0 tulajdonsággal pontosan az ermitikus függvények skalárszorosai rendelkeznek.