Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

7.3. Kvadratikus alak

7.3. Kvadratikus alak

Az előző pontban már láttuk, hogy az Αu_,u_ értékek fontos szerepet játszanak az A bilineáris függvény vizsgálatánál.

7.3.1 Definíció

Az A~x_=Αx_,x_:VR függvényt az A bilineáris függvényhez tartozó kvadratikus alaknak nevezzük.❶

A kvadratikus alak tehát tulajdonképpen a bilineáris függvény egy megszorítása, amikor mindkét változó helyére azonos vektort írunk. Így minden kvadratikus alak valamilyen bilineáris függvényből származik.

Egy bilineáris függvény nyilván egyértelműen meghatároz egy kvadratikus alakot. Ennek a megfordítása nem igaz, ugyanaz a kvadratikus alak több bilineáris függvényből is létrejöhet. Érvényes azonban, hogy a szimmetrikus bilineáris függvények és a kvadratikus alakok között már kölcsönösen egyértelmű a kapcsolat (lásd a 7.3.1 feladatot). Ennek megfelelően a kvadratikus alakokat mindig szimmetrikus bilineáris függvényből származóknak fogjuk tekinteni.

A 7.1.4 Tétel képletei szerint a kvadratikus alak

formában írható fel, ahol x1, …, xn az x_ vektor koordinátái az adott bázisban. Ez a kifejezés az xi-knek (homogén) másodfokú polinomja, ez indokolja a kvadratikus alak elnevezést.

Tekintsük most a bilineáris függvény egy olyan mátrixát, amely diagonális és a főátlóban csak ±1, illetve 0 áll. Az ennek megfelelő A-ortogonális bázisban a kvadratikus alak a 7.2.5 Tétel szerint előjeles négyzetösszeggé válik, azaz Α~x_=i=1nγixi2 alakú lesz, ahol γi=±1 vagy 0. Ennek fontos speciális esete, hogy a skalárszorzathoz tartozó kvadratikus alak a koordináták négyzetösszegével egyenlő.

Nézzük meg, hogyan kaphatjuk meg a gyakorlatban ezt az előjeles négyzetösszeget. Vegyük ismét a 7.2.3 Tétel különféle bizonyításainak illusztrálására választott

(*)

szimmetrikus bilineáris függvényt. Az ehhez tartozó kvadratikus alak

Itt x1, x2, x3 az x_ vektornak az eredeti b_i bázis szerinti koordinátái. Nézzünk olyan diagonális mátrixot, amelynek a főátlójában minden γi elem ±1 vagy 0. Ha az ennek megfelelő bázisban felírt koordináták x^1,x^2,x^3 akkor Α~x_=γ1x^12+γ2x^22+γ3x^32 Ezért azt kell kiszámítani, hogy a diagonális bázis szerinti x^1,x^2,x^3 koordináták hogyan kaphatók meg az eredeti x1, x2, x3 koordinátákból. Erre vannak elég egyszerű általános módszerek, mi azonban megelégszünk a konkrét eset vizsgálatával.

A legkönnyebben a harmadik bizonyítást követve érhetünk célhoz. Emlékezzünk vissza, hogy ott a mátrixon szimmetrikusan elemi sor/oszlop-ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, és közben nyomon követtük a bázis változását is. Egy füst alatt a koordináták változását is regisztrálhatjuk, és így az eljárás végén azonnal megkapjuk a keresett x^1,x^2,x^3 koordinátákat.

Nézzük a konkrét esetet. Az első lépésben a b_1,b_2,b_3 bázisból a b_1,b_2-1/2b_1,b_3 bázisra tértünk át. Könnyen láthatóan ekkor csak az x1 koordinátát kell módosítani az x2 segítségével, mégpedig „fordítva”, mint ahogy a b_2 báziselemet a b_1-gyel megváltoztattuk. Az új koordináták ekkor x1+(1/2)x2, x2, x3, hiszen

Hasonlóan követve a további két átalakítást, ennek során a koordináták a következőképpen módosulnak: x1+(1/2)x2+(1/2)x3, x2, x3, majd x1+(1/2)x2+(1/2)x3, x2x3, x3. Végül a 4000-10000 diagonális mátrixot „normáljuk”: az első sort és oszlopot felezve az 1000-10000 mátrixhoz jutunk, ekkor az (aktuális) első báziselem 1/2-del szorzódott, az első koordináta ennek megfelelően megduplázódott, így 2x1+x2+x3, x2x3, x3 adódik. Ezek már a keresett x^i koordináták, hiszen a mátrix diagonális és az átló elemei 1, –1, 0. Mindezek alapján az

előjeles négyzetösszeg előállítást kapjuk.

Ha nem lépésenként követjük nyomon a koordináták változását, akkor eljárhatunk pl. úgy, hogy az x_=xib_i=x^ib^i egyenlőségbe beírjuk az új b_^i bázisvektorok előállítását az eredeti b_i-k segítségével, majd ezután a két oldalon a b_i-k együtthatóit összehasonlítva egy lineáris egyenletrendszer adódik a keresett x^i koordinátákra, amit (pl. Gauss-kiküszöböléssel) megoldunk.

Egy kvadratikus alak ilyen előjeles négyzetösszegként történő előállítása többféleképpen is megvalósulhat, hiszen sokféle megfelelő A-ortogonális bázist találhatunk. (Bármelyik előállításban azonban mindig ugyanannyi a pozitív, a negatív és a nulla előjelű tagok száma, ezt a tehetetlenségi tétel garantálja.)

Hangsúlyozzuk, hogy a tárgyalt előjeles négyzetösszegek nem lehetnek akármilyenek, hanem csakis olyanok, amelyeket egy alkalmas A-ortogonális bázis szerinti koordinátákból írtunk fel; ez éppen a négyzetösszeg tagjainak a (pontosan megfogalmazható értelemben vett) lineáris függetlenségét jelenti.

Most a kvadratikus alakok különböző típusainak az áttekintésére térünk rá. Bármely kvadratikus alakra Α~0_=0 A többi vektoron felvett értékektől függően a nem azonosan nulla kvadratikus alakokat (és ennek alapján a szimmetrikus bilineáris függvényeket) a következőképpen osztályozzuk:

7.3.2 Definíció

Az A0 szimmetrikus bilineáris függvényhez tartozó Ã kvadratikus alak

(PD) pozitív definit, ha minden x_0_-ra Α~x_>0

(ND) negatív definit, ha minden x_0_-ra Α~x_<0

(PSZ) pozitív szemidefinit, ha minden x_-re Α~x_0 és van olyan x_0 hogy Α~x_=0

(NSZ) negatív szemidefinit, ha minden x_-re Α~x_0 és van olyan x_0_ hogy A~x_=0 és végül

(I) indefinit, ha Α~x_ felvesz pozitív és negatív értéket is.❶

A kvadratikus alak jellege igen egyszerűen leolvasható a bilineáris függvény diagonális mátrixából:

7.3.3 Tétel

Tekintsük az A szimmetrikus bilineáris függvény egy diagonális mátrixát. Ekkor A (illetve Ã) pontosan akkor

  • azonosan nulla, ha a főátló minden eleme nulla;

  • pozitív definit, ha a főátló minden eleme pozitív;

  • negatív definit, ha a főátló minden eleme negatív;

  • pozitív szemidefinit, ha a főátlóban van pozitív és nulla elem is, de negatív nincs;

  • negatív szemidefinit, ha a főátlóban van negatív és nulla elem is, de pozitív nincs;

  • indefinit, ha a főátlóban van pozitív és negatív elem is.❶

Bizonyítás: Az állítások a kvadratikus alak előjeles négyzetösszegként való felírásából azonnal következnek.❷

Megjegyezzük, hogy indefinit esetben a diagonális mátrix főátlójában előfordulhat nulla is, de ez nem minden indefinit alaknál teljesül.

Gyakran szükségünk van arra, hogy a kvadratikus alak jellegét akármelyik mátrixából (diagonalizálás nélkül) eldönthessük. Erre igazán jó kritérium csak definit alakok esetén adható, ezt bizonyítás nélkül közöljük.

7.3.4 Tétel

Tekintsük az A szimmetrikus bilineáris függvény egy tetszőleges ARn×n mátrixát.

Az A akkor és csak akkor pozitív definit, ha minden kn-re az A bal felső sarkában levő k-adrendű aldetermináns pozitív.

Az A akkor és csak akkor negatív definit, ha minden kn-re az A bal felső sarkában levő k-adrendű aldetermináns aszerint pozitív, illetve negatív, hogy k páros, illetve páratlan.❶

Mint a fejezet bevezetőjében már említettük, a kvadratikus alakok természetes módon merülnek fel a geometriában a másodrendű görbék és felületek leírásánál, de számos további alkalmazásuk is van a matematika különféle területein.

Végül megjegyezzük, hogy a pozitív definit A-k kulcsfontosságú szerepet játszanak majd a következő fejezetben.

Feladatok

7.3.1

a) Bizonyítsuk be, hogy az A és B (nem feltétlenül szimmetrikus) bilineáris függvényekhez akkor és csak akkor tartozik ugyanaz a kvadratikus alak, ha AB antiszimmetrikus (a definíciót lásd a 7.2.1 feladatban).

b) Igazoljuk, hogy a szimmetrikus bilineáris függvények és a kvadratikus alakok között kölcsönösen egyértelmű kapcsolat áll fenn.

7.3.2 Állapítsuk meg a 7.2.5–7.2.7 feladatokban szereplő szimmetrikus bilineáris függvények (illetve a hozzájuk tartozó kvadratikus alakok) jellegét.

7.3.3 Mi a különböző jellegű kvadratikus alakok értékkészlete? Mennyiben változik a helyzet, ha csak a nemnulla vektorokon felvett értékeket vesszük figyelembe?

7.3.4 Legyen à az A szimmetrikus bilineáris függvényhez tartozó kvadratikus alak.

a) Hogyan kaphatjuk meg Α~λx_ értékét Α~x_-ből?

b) Mi a szükséges és elégséges feltétele (adott x_ és z_ mellett) Α~x_+z_=Α~x_+Α~z_ teljesülésének?

7.3.5

a) Milyen jellegű lesz a λA (szimmetrikus) bilineáris függvény (λ-tól és A jellegétől függően)?

b) Milyen jellegű lehet A+B, ha A és B egymástól függetlenül pozitív/negatív definit/szemidefinit, illetve indefinit?

7.3.6 Írjuk át az alábbi (3-dimenziós) kvadratikus alakokat előjeles négyzetösszeggé:

 a)x1x2; b) x1x2+x2x3; c) x1x2+x2x3+x3x1; d) x12-3x32-2x1x2+2x1x3-6x2x3 e) x12+x22+3x32+4x1x2+2x1x3+2x2x3

7.3.7 Írjuk át az alábbi (4-dimenziós) kvadratikus alakokat előjeles négyzetösszeggé:

 a) i,j=14xixj b) x1x2+x2x3+x3x4; c) x1x2+x2x3+x3x4+x4x1; d) i<jxixj

7.3.8 Hol a hiba az alábbi okoskodásban?

 Tekintsük az x12+x22+(x1+x2)2=(x13)2+(x23)2-(x1-x2)2 kvadratikus alakot. Mindkét felírás előjeles négyzetösszeg, azonban az egyik felírásban három pozitív együttható szerepel, a másik felírásban viszont van negatív is. Ez (látszólag) ellentmond a tehetetlenségi tételnek.

7.3.9 Mutassuk meg, hogy egy szimmetrikus bilineáris függvény mátrixának a determinánsa általában megváltozik, ha más bázisra térünk át, azonban a determináns előjele (tehát, hogy a determináns pozitív, negatív vagy nulla) nem függ a bázis megválasztásától.

7.3.10 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha A pozitív vagy negatív definit, akkor det[A]≠0.

b) Ha det[A]≠0, akkor A pozitív vagy negatív definit.

7.3.11 Határozzuk meg a páronként nemekvivalens pozitív/negatív definit/szemidefinit, illetve indefinit szimmetrikus bilineáris függvények számát egy n-dimenziós V-n. (Az „ekvivalens” szó jelentését lásd a 7.2.10 feladatban.)

7.3.12 Mely A szimmetrikus bilineáris függvényekre teljesül az alábbi állítás: Ha az a_1,,a_k nemnulla vektorok páronként A-ortogonálisak, akkor szükségképpen lineárisan függetlenek.

M*7.3.13 Melyek azok az A szimmetrikus bilineáris függvények, amelyekre bármely v_0_ vektor eleme egy alkalmas A-ortogonális bázisnak?

M*7.3.14 Nevezzük az à kvadratikus alak magjának a „gyökei” halmazát:

 

a) Mely kvadratikus alakokra lesz a mag altér?

b) Mely kvadratikus alakokra választható ki a magból V-nek egy bázisa?

c) Mennyi a magban található lineárisan független rendszerek elemszámának a maximuma?

d) Mennyi a magban található alterek dimenziójának a maximuma?