Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

7. fejezet - 7. BILINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

7. fejezet - 7. BILINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

A valós bilineáris függvények és kvadratikus alakok vizsgálata a geometriából, a másodrendű görbék és felületek általánosításaként alakult ki. Jellemzésüknél központi szerephez jut az általánosított merőlegességfogalom, az ortogonalitás. A „legszebb” bilineáris függvény a skalárszorzat, amely az euklideszi tereket „hozza létre” (lásd a következő fejezetet). Röviden arra is rámutatunk, hogyan kell módosítani a bilineáris függvény definícióját a komplex test esetén, hogy a valósban megismert „jó tulajdonságokat” át lehessen menteni.

7.1. Valós bilineáris függvény

7.1.1 Definíció

Legyen V vektortér R felett. Az A:V×VR leképezést (valós) bilineáris függvénynek nevezzük, ha mindkét változójában lineáris, azaz az egyik változó bármely rögzített értéke esetén a másik változójában lineáris.

Ez részletesen kiírva a következőket jelenti u_,u_',v_,v_'V,λR:

(i) A minden u_,v_ vektorpárhoz egyértelműen hozzárendel egy valós számot;

(ii) Au_+u_',v_=Au_,v_+Au_',v_

(iii) Αλu_,v_=λΑu_,v_

(iv) Αu_,v_+v_'=Αu_,v_+Αu_,v_'

(v) Αu_,λv_=λΑu_,v_

A bilineáris függvényeket vastag latin nagybetűvel fogjuk jelölni. A definícióból és a lineáris leképezések tulajdonságaiból azonnal következnek az alábbi azonosságok:

(vi) Αu_,0_=Α0_,v_=0; (vii) Α-u_,v_=Αu_,-v_=-Αu_,v_; (viii) Αi=1kλiu_i,j=1mμjv_j=i=1kj=1mλiμjΑu_i,v_j

Példák bilineáris függvényre

P1. Legyen V az origóból kiinduló sík-, illetve térvektorok szokásos vektortere és A a (geometriából ismert) skalárszorzat: két vektorhoz a hosszaiknak és a közbezárt szög koszinuszának a szorzatát rendeljük. (Ha az egyik vagy mindkét vektor nullvektor, akkor a skalárszorzat nulla, és ez összhangba hozható a fentiekkel, mert a közbezárt szöggel ugyan probléma van, azonban a nulla hosszat bármivel szorozva ismét nullát kapunk.) A skalárszorzat megadható a vektorok szokásos (derékszögű egységvektorok szerinti) koordinátáival is: a megfelelő koordináták szorzatösszegét kell képezni.

P2. A skalárszorzat második jellemzését tetszőleges Rk-ra általánosíthatjuk: a két vektorhoz a megfelelő koordináták szorzatösszegét rendeljük, azaz ha u_=u1uk, v_=v1vk akkor Αu_,v_=i=1kuivi

 Ennek alapján a valós test feletti tetszőleges k-dimenziós vektortéren is értelmezhetünk skalárszorzatot: rögzítünk egy bázist, és utána ugyanígy a megfelelő koordináták szorzatösszegét vesszük.

Itt jegyezzük meg, hogy ebben és a következő fejezetben az eddigiektől eltérően a vektorok komponenseit, illetve koordinátáit nem görög betűkkel, hanem — az általános szokásnak megfelelően — aláhúzatlan latin kisbetűkkel fogjuk jelölni.

P3. Az előző példa jelöléseit megtartva bilineáris függvény Rk-n például u1v2+2u2v1 vagy u1v1–3u2v2 stb.

P4. Minden vektorpárhoz a nulla valós számot rendelve kapjuk a(z azonosan nulla) 0 bilineáris függvényt.

P5. Végül nézzünk néhány végtelen dimenziós példát. Legyen V a valós együtthatós polinomok szokásos vektortere, és két polinomhoz rendeljük hozzá a szorzatuknak egy adott helyen vett helyettesítési értékét. Ugyanezt polinomok helyett (pl.) folytonos függvényekre is megtehetjük. Egy másik lehetséges hozzárendelés a szorzatfüggvény integrálja egy adott intervallumon.

A fejezet további részében csak véges dimenziós vektorterekkel foglalkozunk. Legyen dim V=n, és rögzítsünk le egy b_1,,b_n bázist.

Belátjuk, hogy a lineáris leképezésekhez hasonlóan a bilineáris függvények is jellemezhetők a báziselemek képével, és ez lehetővé teszi a mátrixos megadást.

7.1.2 Tétel

Legyen b_1,,b_n bázis a V vektortérben és αij, i,j=1,2,…,n tetszőleges valós számok. Ekkor pontosan egy olyan A bilineáris függvény létezik, amelyre

Bizonyítás: Az 5.3.1 Tétel bizonyításának a gondolatmenetét követjük.

Vegyünk V-ből tetszőleges u_ és v_ vektorokat, ezek egyértelműen felírhatók u_=u1b_1++unb_n illetve v_=v1b_1++vnb_n alakban. Ha létezik a mondott tulajdonságú A bilineáris függvény, akkor a (viii) tulajdonság alapján szükségképpen

teljesül. Ez azt mutatja, hogy Αu_,v_ egyértelműen meg van határozva, tehát legfeljebb egy ilyen A létezhet. Sőt, az is kiderült, hogy csak az Αu_,v_=i,j=1nuivjαij képlettel definiált függvény jöhet szóba. Erről kell tehát megmutatni, hogy valóban bilineáris, ami a (ii)–(v) tulajdonságok ellenőrzését jelenti. Ennek végigszámolását az Olvasóra bízzuk.❷

7.1.3 Definíció

Az A bilineáris függvénynek a b_1,,b_n bázis szerinti mátrixán azt az n×n-es mátrixot értjük, amelyben az i-ik sor j-ik eleme αij=Αb_i,b_j Ezt a mátrixot [A]b-vel jelöljük.❶

Ne felejtsük el, hogy a lineáris leképezésekhez hasonlóan a bilineáris függvény mátrixa is erősen bázisfüggő, más bázist választva általában a mátrix is egészen más lesz.

7.1.4 Tétel

Rögzített bázis mellett kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fenn a V-n értelmezett bilineáris függvények és az n×n-es (valós) mátrixok között. Ha az u_, illetve v_ vektor koordinátái az adott bázisban u1, …, un, illetve v1, …, vn, akkor

(1)

vagy mátrixos felírásban

(2)❶

Bizonyítás: A kölcsönös egyértelműséget a 7.1.2 Tétel biztosítja. Az (1) előállítást a 7.1.2 Tétel bizonyítása során igazoltuk. Az (1) és (2) képletek ekvivalenciája a (2)-beli mátrixszorzások elvégzésével adódik.❷

A mátrixos jellemzés, illetve (1) és (2) az összes bilineáris függvény kényelmes áttekintését teszi lehetővé

Feladatok

V végig a valós test feletti véges dimenziós vektorteret jelent.

7.1.1 Legyen V a legfeljebb 4-edfokú valós együtthatós polinomok (beleértve a 0 polinomot is) szokásos vektortere. Válasszuk ki az alábbi leképezések közül a bilineáris függvényeket, és írjuk fel a mátrixukat a szokásos bázisban. Legyen f,g képe

 a) fg; b) f(1)+g(1); c) f(1)g(2); d) f’(1)g(2); e) fg-ben x2 együtthatója.

7.1.2 Írjuk fel a P2, P3 és P4 példákban szereplő bilineáris függvények mátrixát (alkalmas bázisban).

7.1.3 Mi lehet egy valós bilineáris függvény értékkészlete (azaz a felvett értékeinek az összessége)?

7.1.4 Hogyan módosul a 7.1.2 Tétel állítása, ha bázis helyett a) generátorrendszeren; b) lineárisan független rendszeren írjuk elő a bilineáris függvény értékét?

7.1.5 Definiáljunk a V-n értelmezett bilineáris függvények körében természetes módon összeadást és skalárszorost, és mutassuk meg, hogy így egy vektorteret kapunk. Hány dimenziós ez a vektortér?

7.1.6 Legyen V egy bázisa b_1,,b_n Hogyan változik egy A bilineáris függvény mátrixa, ha

a) b_1-et és b_2-t felcseréljük;

b) b_3 helyett λb_3-at veszünk (λ≠0);

c) b_3 helyett b_3+μb_2-t veszünk?

7.1.7 Adjuk meg az összes olyan bilineáris függvényt, amelynek bármely bázisban ugyanaz a mátrixa.

7.1.8 Legyen b_1,,b_n rögzített bázis V-ben, és tekintsük a P2 példában értelmezett (a b_1,,b_n bázis szerinti) skalárszorzatot. Jelöljük c_ és d_ skalárszorzatát c_d_-vel.

a) Legyen AHom V egy tetszőleges lineáris transzformáció. Lássuk be, hogy Αu_,v_=u_Av_ bilineáris függvényt határoz meg.

b) Mutassuk meg, hogy az a)-beli A lineáris transzformációnak és A bilineáris függvénynek a b_1,,b_n bázisban felírt mátrixa ugyanaz: [A]b=[Α]b

c) Bizonyítsuk be, hogy minden bilineáris függvény előáll az a)-beli alakban alkalmas AHom V-vel.

7.1.9 A VR lineáris leképezéseket, azaz Hom (V, R) elemeit lineáris függvényeknek nevezzük.

a) Legyen Φ és Ψ két lineáris függvény. Mutassuk meg, hogy Αu_,v_=ϕ(u_)(v_) bilineáris függvényt definiál. Mennyi lesz A mátrixának a rangja?

M*b) Lássuk be, hogy tetszőleges A bilineáris függvény előáll Αu_,v_=m=1rϕmu_mv_ alakban, ahol Φm, Ψm lineáris függvények (m=1,2,…,r). Mi az r lehető legkisebb értéke?