Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

6.6. Transzformációk szép mátrixa

6.6. Transzformációk szép mátrixa

Egy transzformáció mátrixa annál „szebb”, minél közelebb áll a diagonális alakhoz, azaz a(z esetleges) nemnulla elemek minél inkább a főátló körül koncentrálódnak, pl. az ilyen mátrixokat (viszonylag) kényelmesen lehet hatványozni.

Láttuk (6.1.4 Tétel), hogy egy transzformációnak akkor és csak akkor van diagonális mátrixa, ha létezik sajátvektorokból álló bázisa. Ezt úgy is interpretálhatjuk, hogy a tér ekkor egydimenziós invariáns altereinek a direkt összege.

Az alábbiakban először megnézzük, milyen mátrixot eredményez, ha a bázist két invariáns altérből vesszük (azaz a tér két invariáns alterének direkt összege), majd megvizsgáljuk, hogyan kaphatunk ilyen invariáns altereket. Végül megemlítjük, hogy speciálisan a komplex test felett milyen lesz egy tetszőleges transzformáció „lehető legszebb mátrixa” (az ún. Jordan-féle normálalak).

6.6.1 Tétel

Legyen b_1,,b_n a V vektortér egy olyan bázisa, hogy U1=b_1,,b_k és U2=b_k+1,,b_n az A transzformáció invariáns alterei. Ekkor az [A]b mátrixban a bal felső k×k-as és a jobb alsó (nk)×(nk)-as négyzet kivételével minden elem nulla. Azaz a mátrix A100A2 alakú, ahol A1 egy k×k-as, A2 egy (nk)×(nk)-as mátrix, a bal alsó (nkk-as és a jobb felső k×(nk)-as rész pedig nullmátrix.❶

A 6.6.1 Tétel azonnal következik abból, hogy U1 és U2 invariáns alterek. Megjegyezzük, hogy az Ai mátrix (i=1,2) éppen az A transzformáció Ui-re történő megszorításának a mátrixa (a megfelelő bázisban). A fenti felbontást a jövőben röviden úgy fogjuk mondani, hogy az A mátrixot az A1 és A2blokkokra bontottuk fel, illetve az A mátrix az A1 és A2 mátrixok direkt összege.

6.6.2 Tétel

Tegyük fel, hogy mA=g1g2 ahol (g1, g2)=1. Ekkor V=U1U2 ahol az Ui-k az A-nak invariáns alterei, és az A transzformáció Ui-re történő megszorításának a minimálpolinomja éppen gi.❶

Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy az Ui=Ker giA választás megfelel.

(a) Ezek az Ui-k a 6.4.9a feladat szerint valóban invariáns alterek.

(b) V=U1U2 igazolásához azt kell belátnunk, hogy

(b1) U1U2=0_ és (b2) U1,U2=V

(b1) Tegyük fel, hogy u_U1U2 azaz giAu_=0_, i=1,2 Ez azt jelenti, hogy oAu_|gi tehát oAu_|g1,g2=1 azaz u_=0_

(b2) Mivel (g1, g2)=1, így alkalmas h1 és h2 polinomokkal 1=g1h1+g2h2. Ezért E=g1Ah1A+g2Ah2A Ezt tetszőleges v_ vektorra alkalmazva v_=v_1+v_2 adódik, ahol v_i=giAhiAv_ Itt v_1U2 hiszen

Ugyanígy adódik v_2U1 is.

(c) Végül legyen az A transzformáció Ui-re történő megszorításának a minimálpolinomja ri, be kell látnunk, hogy ri=gi. Mivel U1=Kerg1A ezért minden u_U1-re g1Au_=0_ tehát r1|g1.

A másik irányú, g1|r1 oszthatóság igazolásához tekintsük egy tetszőleges v_V vektorra a (b2) szerinti v_=v_1+v_2 felbontást, ahol v_1U2, v_2U1 Láttuk, hogy g2Av_1=0_ továbbá r1 definíciója alapján r1Av_2=0_ Így az s=r1g2 polinomra sAv_=sAv_1+sAv_2=0_ minden v_V-re. Ez azt jelenti, hogy mA=g1g2|s=r1g2 azaz g1|r1.

Ezzel igazoltuk, hogy r1=g1, és ugyanígy kapjuk az r2=g2 egyenlőséget is.❷

A 6.6.2 Tételből teljes indukcióval kapjuk, hogy ha a minimálpolinomot (páronként nem-egységszeres) irreducibilis tényezők hatványainak a szorzatára bontjuk, mA=p1k1ptkt akkor a V vektortér olyan Ui invariáns alterek direkt összege, ahol az A transzformáció Ui-ra történő Ai megszorításának a minimálpolinomja éppen piki A 6.6.1 Tétel szerint így A-nak az Ui alterek szerinti bázisban vett mátrixa olyan Ai blokkokra bomlik, ahol Ai=Ai

Mindezek alapján elég olyan transzformációk „szép” mátrixát keresni, amelyek minimálpolinomja egy irreducibilis polinom hatványa. Ez általában igen nehéz feladat. Speciálisan a komplex test felett egyszerűbb a helyzet, hiszen itt egy irreducibilis polinom csak elsőfokú lehet. Erre vonatkozik az alábbi tétel, amelyet bizonyítás nélkül közlünk.

6.6.3 Tétel

Legyen BHom V, mB=(x-λ)k Ekkor alkalmas bázisban B mátrixa olyan Bj blokkokból áll (lehet, hogy csak egyből), ahol

(i) a Bj-k méretének a maximuma k×k, azaz mindegyik Bj legfeljebb k×k-as, de van közöttük pontosan k×k-as is,

és

(ii) mindegyik Bj-ben a főátló minden eleme λ, közvetlenül a főátló alatt minden elem 1, az összes többi elem pedig 0.

(Egy blokk 1×1-es is lehet, ilyenkor egyetlen λ-ból áll.)

Azaz

ahol a Bj mérete qj×qj,j=1rqj=dimV és max1≤j≤rqj=k.❶

A fentiekből most már azonnal adódik a komplex test felett egy tetszőleges transzformáció „legszebb” mátrixa:

6.6.4 Tétel (Jordan-féle normálalak)

Legyen V a komplex test feletti véges dimenziós vektortér, AHom V,mA=(x-λ1)k1(x-λt)kt Ekkor alkalmas bázisban A mátrixa a 6.6.2 Tétel szerinti Ai blokkokból áll, i=1,2,…,t, egy-egy Ai blokk pedig a 6.6.3 Tételből adódó Aij alblokkokból. Az Aij alblokkok méretének (rögzített i melletti) maximuma ki, és az Aij alblokkok főátlójában minden elem λi, közvetlenül a főátló alatt minden elem 1, az összes többi elem pedig 0.❶

A 6.6.4 Tételben leírt A mátrixot az A transzformációhoz tartozó Jordan-féle normálalaknak vagy röviden Jordan-alaknak hívjuk. Ha a transzformáció egy (tetszőleges bázis szerinti) mátrixát tekintjük, akkor ennek a mátrixnak a Jordan-alakján a transzformációhoz tartozó Jordan-alakot értjük.

A tételt azzal is kiegészíthetjük, hogy egy transzformáció (illetve mátrix) Jordan-alakja lényegében egyértelmű (eltekintve az egyes blokkok, illetve azokon belül az egyes alblokkok permutációjától).

A Jordan-alak szerint a komplex test felett bármely transzformációnak van „majdnem diagonális mátrixa”: csak a főátlóban és közvetlenül a főátló alatt állhatnak nemnulla elemek, a főátlóban a sajátértékek szerepelnek, közvetlenül a főátló alatt pedig 1-ek (az alblokkokon belül), illetve 0-k (az alblokkok, illetve blokkok határánál).

Feladatok

6.6.1 Bizonyítsuk be, hogy A-nak akkor és csak akkor létezik diagonális mátrixa, ha mA csupa különböző gyöktényező szorzatára bomlik.

6.6.2 Legyen dim V=n, és tegyük fel, hogy A-nak n különböző sajátértéke van.

a) Bizonyítsuk be, hogy ha AB=BA akkor B-nek létezik diagonális mátrixa.

b) Bizonyítsuk be, hogy AB=BA akkor és csak akkor teljesül, ha valamilyen f polinomra B=fA

6.6.3 Legyen AHom V és U invariáns altere A-nak. Milyen kapcsolatban áll az A transzformáció U-ra történő megszorításának a minimálpolinomja az eredeti minimálpolinommal? Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést a karakterisztikus polinomokra is.

6.6.4 Legyenek U1 és U2 invariáns alterei A-nak. Tekintsük az A transzformációnak a megszorítását az U1, U2, U1U2, illetve U1,U2 (invariáns) alterekre, és legyenek a megfelelő minimálpolinomok rendre m1, m2, m, illetve m Bizonyítsuk be, hogy

a) m=m1,m2

b) m|(m1, m2), de általában nem áll fenn egyenlőség.

6.6.5 Legyenek U1 és U2 invariáns alterei A-nak. Tekintsük az A transzformációnak a megszorítását az U1, U2, U1U2, illetve U1,U2 (invariáns) alterekre, és legyenek a megfelelő karakterisztikus polinomok rendre k1, k2, k, illetve k Bizonyítsuk be, hogy

a) k1,k2|k de általában nem áll fenn egyenlőség;

b) k|(k1, k2), de általában nem áll fenn egyenlőség;

c) k1k2=kk

*6.6.6 Bizonyítsuk be, hogy végtelen test esetén egy transzformációnak akkor és csak akkor van véges sok invariáns altere, ha a minimálpolinom foka megegyezik a tér dimenziójával. Az invariáns alterek száma ekkor a minimálpolinom páronként nem-egységszeres osztóinak a számával egyenlő.

6.6.7 Legyen AHom V Bizonyítsuk be, hogy az alábbi feltételek ekvivalensek.

(i) A minden invariáns altere (alkalmas fTx polinommal) Ker fA alakú.

(ii) A minden invariáns altere (alkalmas gTx polinommal) Im gA alakú.

(iii) A minden invariáns altere (alkalmas u_V vektorral) u_,A alakú.

(iv) A minimálpolinom foka megegyezik a tér dimenziójával.

(v) A minimálpolinom megegyezik a karakterisztikus polinommal.

6.6.8 Két lineáris transzformációt, A,BHom V-t hasonlónak nevezünk, ha „van közös mátrixuk”, azaz van olyan a_1,,a_n illetve b_1,,b_n bázis, hogy [B]b=[A]a Ezt A~B-vel jelöljük.

a) Melyek azok a transzformációk, amelyek csak önmagukhoz hasonlók?

b) Bizonyítsuk be, hogy A és B akkor és csak akkor hasonló, ha van olyan invertálható C amelyre B=C-1AC

c) Igazoljuk, hogy a hasonlóság ekvivalenciareláció.

d) Legyen A~B Következik-e ebből A+D~B+D illetve AD~BD?

e) Bizonyítsuk be, hogy ha A~B akkor tetszőleges f polinomra fA~fB

f) Bizonyítsuk be, hogy hasonló transzformációk karakterisztikus polinomja és minimálpolinomja megegyezik. Igaz-e ennek az állításnak a megfordítása?

6.6.9 Adott V esetén melyek azok a transzformációk, amelyeket a minimálpolinomjuk egyértelműen meghatároz?

6.6.10 Írjuk fel az alábbi 3×3-as mátrixok Jordan-alakját:

 a) 101020101 b) 010001100 c) 111020111 d) 100212001

6.6.11 Írjuk fel az alábbi n×n-es A=(αij) mátrixok Jordan-alakját.

a) αij=1, ha j=i+1;0, egyébként. 

 (Közvetlenül a főátló felett 1-ek állnak, minden más elem 0.)

b) αij=1, ha ji+1  mod n;0, egyébként.

 (Közvetlenül a főátló felett, valamint a bal alsó sarokban 1-ek állnak, minden más elem 0.)

c) αij=1, ha j=i-2;0, egyébként.

 (A főátló alatti második átlóban 1-ek állnak, minden más elem 0.)

d) αij=1, ha j<i;0, egyébként.

 (A főátló alatt mindenütt 1-ek állnak, a többi elem pedig 0.)

e) αij=1. (Minden elem 1.)

f) αij=1, ha i+j=n+1;0, egyébként.

 (A bal alsó és jobb felső sarkot összekötő átlóban 1-ek állnak, a többi elem 0.)

6.6.12 Hogyan kapjuk meg egy Jordan-alakban megadott mátrix (tetszőleges nagy pozitív egész kitevős) hatványait?

6.6.13 Hogyan olvashatjuk le a Jordan-alakból a minimálpolinomot és a karakterisztikus polinomot?

6.6.14 Legyen V a komplex test feletti n-dimenziós vektortér, AHom V és 0≤kn. Mutassuk meg, hogy A-nak létezik k-dimenziós invariáns altere.

6.6.15 Legyen V a komplex test feletti véges dimenziós vektortér. Melyek azok a transzformációk, amelyeket

 a) a minimálpolinomjuk;

 b) a karakterisztikus polinomjuk;

 c) a minimál- és a karakterisztikus polinomjuk együttesen

 hasonlóság erejéig egyértelműen meghatároz?

6.6.16 Definiáljuk négyzetes mátrixokra is a sajátérték, a sajátvektor, a karakterisztikus polinom, a minimálpolinom és a hasonlóság fogalmát.

*6.6.17 Bizonyítsuk be, hogy bármely komplex elemű négyzetes mátrix hasonló a transzponáltjához.