Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

6.5. Rend

6.5. Rend

Legyen V0 egy véges dimenziós vektortér a T kommutatív test felett, dimV=n, AHom V A minimálpolinom definíciója szerint bármely u_V vektorra mAAu_=0_ Ha egy rögzített u_ vektort tekintünk, akkor ehhez általában már a minimálpolinomnál alacsonyabb fokú fTx polinomok is találhatók, amelyekre fAu_=0_

6.5.1 Definíció

Az u_ vektornak az A szerinti rendje az a legalacsonyabb fokú h (nemnulla) polinom, amelyre hAu_=0_

Az u_ vektor A szerinti rendjét oAu_-val jelöljük. (Az o a latin ordo=rend szó kezdőbetűjéből származik). Ha egyértelmű, hogy melyik transzformációról van szó, akkor a transzformációt jelző index el is hagyható: ou_

Példák: A nullvektor az egyetlen, amelynek a rendje az 1 (vagy bármely nemnulla konstans) polinom, a magtér nemnulla elemeinek a rendje x. A rend akkor és csak akkor elsőfokú, ha a vektor sajátvektor.

A rend számos hasonló tulajdonsággal rendelkezik, mint a minimálpolinom. Ezeket az alábbi tételben foglaljuk össze.

6.5.2 Tétel

Bármely vektornak létezik rendje. Ez konstans szorzó erejéig egyértelműen meghatározott. A rend foka legfeljebb n(=dim V). gAu_=0_oA(u_)|g

A bizonyítás a 6.3.2 és 6.3.4 tételekéhez analóg módon történhet, lásd a 6.5.2 feladatot.

A 6.5.2 Tétel utolsó részéből azonnal adódik, hogy a rend mindig osztója a minimálpolinomnak. A következő állítás arra vonatkozik, hogy alkalmas vektorok rendjéből hogyan kaphatjuk meg a minimálpolinomot.

6.5.3 Tétel

Legyen u_1,,u_s tetszőleges generátorrendszer V-ben. Ekkor mA az oAu_i polinomok legkisebb közös többszöröse.❶

Bizonyítás: Legyen hi=oAu_i és a H polinom ezek legkisebb közös többszöröse, H=[h1, …, hs]. Mivel hi|mA ezért H|mA is teljesül. A fordított irányú oszthatósághoz azt kell belátnunk, hogy HA=O Mivel hi|H, ezért HAu_i=0 Továbbá a feltétel szerint bármely v_V vektor előáll az u_i vektorok v_=i=1sλiu_i lineáris kombinációjaként. Így HAv_=i=1sλiHAu_i=0 tehát valóban HA=O

A következő tétel megmutatja, hogy a rendből alkalmas invariáns alterek dimenziója is leolvasható:

6.5.4 Tétel

Az u_ vektor és az A transzformáció által generált u_,A altér dimenziója megegyezik az u_ rendjének a fokával:

Bizonyítás: A nullvektorra az állítás igaz. Legyen u_0_ és oAu_=h=xk+αk-1xk-1++α0 Azt kell belátnunk, hogy az u_,A altér k-dimenziós. Ehhez megmutatjuk, hogy az u_,Au_,,Ak-1u_ vektorok bázist alkotnak az u_,A altérben.

A lineáris függetlenség igazolásához indirekt okoskodunk; tegyük fel, hogy létezne valamilyen nemtriviális β0u_+β1Au_++βk-1Ak-1u_=0 lineáris kombináció. Ekkor az f01x+…+βk–1xk–1 polinomra fAu_=0_ Ez azonban ellentmond annak, hogy az u_ vektor rendje k-adfokú.

Most belátjuk, hogy a kérdéses vektorok generálják az u_,A alteret. Ehhez azt kell igazolnunk, hogy minden Aiu_ vektor előáll az u_,Au_,,Ak-1u_ vektorok lineáris kombinációjaként. Az i<k kitevőkre ez nyilvánvaló, i=k-ra pedig u_ átrendezéséből adódik:

(1)

Nézzük most az i=k+1 kitevőt. Az (1) egyenlőségre az hAu_=0_ transzformációt alkalmazva azt kapjuk, hogy A kifejezhető az Ak+1u_ vektorok lineáris kombinációjaként. Ha itt Au_,,Aku_ helyére az (1)-beli előállítást beírjuk, akkor az Aku_ vektort a kívánt módon előállítottuk az Ak+1u_ vektorok lineáris kombinációjaként. Ugyanígy haladhatunk tovább magasabb kitevőkre is (pl. teljes indukcióval).❷

Az előző tétel segítségével bizonyos dimenziójú invariáns alterek létezését is garantálni tudjuk:

6.5.5 Tétel

Ha a minimálpolinomnak van (T feletti) r-edfokú irreducibilis tényezője, akkor u_,Au_,,Ak-1u_-nak van r-dimenziós invariáns altere.❶

Megjegyzések: 1. Az r=1 speciális esetben a 6.3.5 Tétel egyik felét kapjuk, a bizonyítás is az ottanihoz hasonlóan történik.

2. A 6.5.8 Tétel szerint a 6.5.5 Tételben az irreducibilitás feltétele elhagyható.

Bizonyítás: Legyen u_0_ ahol h irreducibilis és deg h=r. Azt fogjuk megmutatni, hogy van olyan oAu_=h vektor, amelyre u_,A Ekkor a 6.5.4 Tétel szerint az degg<degmA invariáns altér dimenziója éppen deg h=r lesz.

Mivel gAO ezért ImgA0_ azaz A Az mA transzformációt O=mAA=hAgA-ba behelyettesítve Ker hAImgA. adódik. Ennélfogva Ker hAImgA Legyen u_ tetszőleges nemnulla vektor Im gA-ban. Ekkor hAu_=0_ tehát oAu|h Mivel h irreducibilis és u_0_ így csak oAu_=h lehetséges.❷

Most bebizonyítjuk, hogy maga a minimálpolinom is szerepel a rendek között.

6.5.6 Tétel

Minden transzformációnál létezik olyan vektor, amelynek a rendje a minimálpolinom.❶

Bizonyítás: A 6.5.3 Tétel szerint a minimálpolinom egy (tetszőleges) generátorrendszer elemei rendjeinek a legkisebb közös többszöröse. Így elég az alábbi lemmát igazolnunk:

6.5.7 Lemma

Ha a h1 ,…, hs polinomok az u_1,,u_s elemek rendjei, akkor a hi polinomok legkisebb közös többszöröse is valamely u_ vektor rendje.❶

A lemma bizonyítása több lépésben történik. A hi polinomok [h1, h2,…, hs] legkisebb közös többszörösét H-val fogjuk jelölni.

(i) Két relatív prím polinom esetén:

Legyen u_=u_1+u_2 és jelöljük ou_-t K-val. Megmutatjuk, hogy H=K. Először a K|H oszthatóságot igazoljuk. Ez azzal egyenértékű, hogy HAu_=0_ Valóban, ou_i|H miatt

A másik irányú, H|K oszthatósághoz hi|K-t kell igazolni (i=1,2). Mivel

ezért ou_2=h2|Kh1 amiből (h1, h2)=1 miatt h2|K következik. Ugyanígy adódik h1|K is.

(ii) Páronként relatív prím polinomok esetén:

Ez (i)-ből teljes indukcióval adódik.

(iii) Egy rend minden osztója is rend: ha f=gh és f=ov_ akkor g=ohAv_

Ennek igazolását a 6.5.5 feladatban tűztük ki.

(iv) Ha két tetszőleges h1 és h2 polinom rend, akkor a legkisebb közös többszörösük is rend.

Írjuk fel h1 és h2 „kanonikus alakját”, azaz bontsuk fel mindkét polinomot irreducibilis tényezők hatványainak a szorzatára:

ahol αi konstans, a pj polinomok páronként nem konstansszoros irreducibilis polinomok és a kji kitevők nemnegatív egészek. Ekkor a H=[h1, h2] legkisebb közös többszörös kanonikus alakja

ahol kj3=max(kj1, kj2). Mivel pjkj3 bármely j-re osztója h1-nek vagy h2-nek, ezért (iii) alapján pjkj3 is rend. Továbbá a pjkj3 tényezők páronként relatív prímek, így (ii) szerint a szorzatuk, azaz H is rend.

(v)A tetszőleges számú polinomra vonatkozó állítás (iv)-ből teljes indukcióval következik.❷

A 6.5.6 Tételnek számos fontos következménye van. A 6.3 pontban említettük, hogy a minimálpolinom foka legfeljebb a tér dimenziója. Ez most azonnal adódik abból, hogy a rend foka nem lehet nagyobb a dimenziónál (lásd a 6.5.2 Tételt). Egy másik következmény a 6.5.5 Tétel általánosítása:

6.5.8 Tétel

Ha a minimálpolinomnak van r-edfokú osztója, akkor A-nak van r-dimenziós invariáns altere.❶

Bizonyítás: A 6.5.6 Tétel szerint a minimálpolinom is rend. A 6.5.7 Lemma bizonyításában szereplő (iii) állítás(=6.5.5 feladat) alapján ekkor a minimálpolinom minden osztója is rend. Végül a 6.5.4 Tétel biztosítja, hogy minden rend foka egyben valamely invariáns altér dimenziója is.❷

Feladatok

6.5.1 Hogyan kapjuk meg u_ rendjéből a) λu_ b) Au_ c) fAu_ rendjét, ahol f tetszőleges polinom?

6.5.2 Bizonyítsuk be a 6.5.2 Tétel állításait.

6.5.3 Tekintsük A megszorítását az U=u_,A (invariáns) altérre. Mi lesz a megszorított (Hom U-beli) transzformáció minimálpolinomja?

6.5.4 Bizonyítsuk be, hogy oAu_-nak akkor és csak akkor van gyöke (T-ben), ha A-nak van az u_,A altérbe eső sajátvektora.

6.5.5 Igazoljuk a 6.5.7 Lemma bizonyításában szereplő (iii) állítást: ha az f polinom egy v_ vektor rendje, akkor f minden osztója is egy alkalmas vektor rendje.

6.5.6 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha u_,A=v_,A akkor u_ és v_ rendje megegyezik.

b) Ha u_ és v_ rendje megegyezik, akkor u_,A=v_,A

c) Ha ou_ és o(v_) relatív prímek, és egyik sem konstans, akkor u_ és v_ lineárisan független.

d) Ha u_ és v_ lineárisan független, akkor ou_ és ov_ relatív prímek.

e) Ha u_1,,u_s lineárisan független, akkor ou_1++u_s=ou_1,,ou_s

6.5.7 Bizonyítsuk be, hogy bármely vektor rendjének a foka legfeljebb eggyel több, mint a képtér dimenziója. Mi következik ebből a minimálpolinom fokszámára?

*6.5.8 Legyen dim V=n, és tegyük fel, hogy A-nak n különböző sajátértéke van. Bizonyítsuk be, hogy ekkor A invariáns altereinek a száma pontosan 2n.

6.5.9 Adjunk új bizonyítást arra, hogy bármely transzformációnak legalább annyi invariáns altere van, mint ahány páronként nem-egységszeres osztója van a minimálpolinomjának.

6.5.10 Mutassuk meg, hogy

 

 Hogyan kapcsolódik ez a 6.5.7 Lemma bizonyításában szereplő (i) állításhoz?

6.5.11 Milyen kapcsolatban áll oλAu_ illetve oA2u_ fokszáma oAu_ fokával?

6.5.12 Legyen A,BHom V és tegyük fel, hogy minden v_V vektorra oAv_=oBv_

a) Bizonyítsuk be, hogy A és B sajátértékei és sajátvektorai megegyeznek, és minimálpolinomjuk is azonos.

b) Ha A-nak létezik sajátvektorokból álló bázisa, akkor A=B

c) Mutassunk példát R, illetve C felett, amikor AB