Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

6.4. Invariáns altér

6.4. Invariáns altér

6.4.1 Definíció

Egy U altér az A-nak invariáns altere (vagy A-invariáns altér, A szerint invariáns altér), ha u_UAu_U

Amikor egyértelmű, hogy melyik A transzformációt nézzük, akkor nem fontos az elnevezésben külön utalni az A-ra, és használhatjuk a sima „invariáns altér” kifejezést. Ne felejtsük azonban el, hogy mindig egy adott transzformáció szerinti invariáns altérről van szó, önmagában annak semmi értelme sincs, hogy egy altér „csak úgy” invariáns.

Példák invariáns altérre:

I m   A és minden azt tartalmazó altér, Ker A és annak minden altere, egy sajátvektor által generált altér, egy sajátaltér és annak minden altere, (nem feltétlenül azonos sajátértékhez tartozó) sajátvektorok által generált altér. (A legutolsó példának az első kivételével a többi — a nulla altértől eltekintve — mind speciális esete.)

Számos invariáns alteret kaphatunk az alábbi általános konstrukció segítségével. Vegyünk egy tetszőleges u_ vektort, ennek az A szerinti képét, Au_-t, majd Au_-nak a képét, A2u_-t stb. Az így kapott Aiu_,  i=0,1,2,(A0=) vektorok által generált altér (az A szerint) invariáns altér lesz.

6.4.2 Definíció

Az u_ vektor és az A transzformáció által generált altéren az Aiu_,  i=0,1,2, vektorok által generált alteret értjük:

Ezt az alteret u_,A-val fogjuk jelölni. Az u_,A altér az A-nak az u_ vektort tartalmazó legszűkebb invariáns altere (lásd a 6.4.12 feladatot). Ennek megfelelően használható az „u_ által generált A-invariáns altér” elnevezés és az u_A jelölés is. Ez utóbbi jelölésnél viszont nagyon kell vigyázni arra, nehogy a transzformációra utaló indexet lefelejtsük, hiszen anélkül az egészen más jelentésű („sima”) generált altér fogalmához jutunk (ami egyébként felfogható az A= speciális esetnek is). A továbbiakban végig a 6.4.2 Definícióban eredetileg megadott elnevezést és az u_,A jelölést fogjuk használni.

Könnyen adódik, hogy u_,A definíciójában a végtelen elemű Aiu_ generátorrendszer végessel is helyettesíthető, hiszen ezek között a vektorok között legfeljebb n=dim V darab lehet lineárisan független. Az is megmutatható, hogy elég az első n kitevőt, azaz 0≤in–1-et venni (lásd még a 6.5.4 Tételt és bizonyítását).

Feladatok

6.4.1 Bizonyítsuk be, hogy ha U1 és U2 invariáns alterei A-nak, akkor U1U2 és U1,U2 is invariáns alterek.

6.4.2 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha U invariáns altere A-nak, akkor invariáns altere A3-nek is.

b) Ha U invariáns altere A3-nek, akkor invariáns altere A-nak is.

c) U invariáns altere A-nak, UIm A=0_UKer A

d) U invariáns altere A-nak, UKer A=0_UIm A

6.4.3 Tekintsük egy transzformáció mátrixát a b_1,b_2,,b_n bázisban és legyen k<n. Hogyan állapítható meg a mátrixról, hogy az első k bázisvektor által generált b_1,b_2,,b_k altér invariáns-e?

6.4.4 Legyen dim V=n és U egy k-dimenziós altér. Tekintsük azokat az AHom V  transzformációkat, amelyeknek az U invariáns altere.

a) Bizonyítsuk be, hogy ezek alteret, sőt részalgebrát alkotnak Hom V-ben.

b) Hány dimenziós ez az altér?

6.4.5

a) Melyek azok a transzformációk, amelyekre nézve minden altér invariáns?

b) Melyek azok a transzformációk, amelyekre nézve minden 13-dimenziós altér invariáns?

6.4.6 Legyen  AB=BA Bizonyítsuk be, hogy Im A, Ker A valamint A minden sajátaltere invariáns altere  B-nek.

6.4.7

a) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges λ≠0-ra és μ-re A,λA,A+μ és λA+μ invariáns alterei egybeesnek.

b) Tegyük fel, hogy A és  B invariáns alterei egybeesnek. Következik-e ebből, hogy  B=λA+μ (alkalmas λ≠0-ra és μ-re)?

6.4.8 Hány invariáns altere van a legfeljebb n-edfokú valós együtthatós polinomok szokásos vektorterében a deriválásnak mint lineáris transzformációnak?

6.4.9

a) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges f polinomra Ker f(A) invariáns altere A-nak.

b) Igazoljuk, hogy Ker fA=Ker gAf,mA=g,mA

c) Mutassuk meg, hogy bármely transzformációnak legalább annyi invariáns altere van, mint ahány páronként nem-egységszeres osztója van a minimálpolinomjának.

d) Melyek azok a transzformációk, amelyeknek csak triviális invariáns alterei vannak (azaz csak a nulla és az egész tér)?

M6.4.10 Lássuk be az előző feladat állításait, ha a magtér helyett mindenhol képtér szerepel.

6.4.11 Legyen mA=fg Következik-e ebből

 a) Im fAKergA b) Im fA=Ker gA

6.4.12 Igazoljuk, hogy u,A valóban az u vektort tartalmazó legszűkebb A-invariáns altér, azaz (i) A-invariáns altér, (ii) tartalmazza u-t, és (iii) része bármely olyan A-invariáns altérnek, amelyben az u benne van.

6.4.13 Mely u vektorokra lesz u_,A dimenziója 0, illetve 1?

6.4.14 Mutassunk példát olyan A transzformációra és ennek olyan invariáns alterére, amely nem u_, A alakú.

6.4.15 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha λ≠0, akkor u_, A=λu_,A

b) u_+v_,A=u_,A,v_,A

c) u_,A2u_,A

d) Ha van olyan A amelyre u_,A=v_,A akkor u_=λv_

e) Ha minden A-ra u_,A=v_,A akkor u_=λv_

f) Ha van olyan u_0 amelyre u_,A=u_,B akkor A=λB

g) Ha minden u_-ra u_,A=u_,B akkor A=λB