Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

6.3. Minimálpolinom

6.3. Minimálpolinom

Legyen V 0_ egy véges dimenziós vektortér a T test felett, dimV=n, AHom V, f=α0+α1x++αkxkTx

Értelmezni fogjuk az f polinomnak az A „helyen” felvett „helyettesítési értékét”, f(A)-t, ami maga is egy VV lineáris transzformáció lesz.

Először definiáljuk az A nulladik hatványát a kézenfekvő A0= egyenlőséggel (ahol az identikus transzformáció). Ezután már természetes módon adódik az f(A)=α0+α1A++αkAk definíció. Nyilván f(A)Hom V

Könnyen ellenőrizhető, hogy két polinom összegének, illetve szorzatának a helyettesítési értéke a helyettesítési értékek összege, illetve szorzata, azaz

A gyököt is a „szokásos” módon értelmezzük: az A transzformáció gyöke az f polinomnak, ha fA= O

6.3.1 Definíció

Az f polinom az A transzformáció minimálpolinomja, ha f a(z egyik) legkisebb fokú olyan (nemnulla) polinom, amelynek az A gyöke. Az A minimálpolinomját mA-val jelöljük.❶

Példák: A nulla transzformáció (egyik) minimálpolinomja x, a síkban egy tengelyes tükrözésé x2–1, a 90 fokos elforgatásé x2+1, egy egyenesre történő vetítésé x2x.

6.3.2 Tétel

Minden A-nak létezik minimálpolinomja, és ez konstans szorzó erejéig egyértelmű.❶

Ennek alapján nem okoz problémát, hogy az mA jelölés az Aakármelyik minimálpolinomját jelentheti, hiszen ezek a polinomok egymástól csak egy konstans szorzóban különböznek. Ennek megfelelően a továbbiakban mindig (határozott névelővel) „a” minimálpolinomról fogunk beszélni (de ezen akármelyik „példányt” érthetjük). Ha valaki (nagyon) egyértelműsíteni akar, akkor választhatja mondjuk azt az alakot, amelynek a főegyütthatója 1.

Bizonyítás: Először az egyértelműséget igazoljuk. Tegyük fel, hogy f01x+…+αkxk és g01x+…+βkxk is minimálpolinomja A-nak, αk, βk≠0. Ekkor a hkg–βkf polinomra

ugyanakkor h foka kisebb k-nál. A minimálpolinom definíciója miatt így csak h=0 lehetséges, azaz valóban fg, ahol γ=αkk.

Most a minimálpolinom létezését bizonyítjuk. Ehhez elég megmutatnunk, hogy egyáltalán létezik olyan nemnulla polinom, amelynek az A gyöke, ugyanis az ilyen tulajdonságú polinomok között kell lennie minimális fokúnak, és az megfelel minimálpolinomnak.

Tekintsük Hom V-ben az

transzformációkat. Mivel dim Hom V=n2, ezért ezek lineárisan összefüggők. Így létezik olyan γ0,γ1,,γn2T ahol nem minden γi nulla és

Ez azt jelenti, hogy A gyöke a

nemnulla polinomnak.❷

A bizonyításból az is kiderült, hogy a minimálpolinom foka degmAn2 Ennél több is igaz: degmAn Ez következik az alábbi, bizonyítás nélkül közölt tételből, valamint a 6.5.6 Tételből is.

6.3.3 Tétel (Cayley-Hamilton-tétel)

A minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak.❶

A minimálpolinom segítségével könnyen áttekinthetjük azokat a polinomokat, amelyeknek az A gyöke; ezek éppen a minimálpolinom többszörösei (polinomszorosai):

6.3.4 Tétel

Bizonyítás: Ha mA|g azaz g=tmA akkor

tehát A valóban gyöke g-nek.

Megfordítva, tegyük fel, hogy g(A)=O Osszuk el g-t maradékosan mA-val: g=tmA+r ahol degr<degmA vagy r=0. Ekkor

A minimálpolinom definíciója miatt degr<degmA nem lehet, ezért r=0, azaz valóban mA|g

A 6.3.4 Tétel alapján pl. a Cayley-Hamilton-tétel úgy is fogalmazható, hogy minden transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának. A 6.3.4 Tétel a minimálpolinom megkereséséhez is segítséget nyújthat: ha már találtunk egy olyan (nemnulla) polinomot, amelynek a transzformáció gyöke, akkor a minimálpolinom csak ennek osztói közül kerülhet ki.

A karakterisztikus polinomhoz hasonlóan a minimálpolinom is szoros kapcsolatban áll a sajátértékekkel:

6.3.5 Tétel

A minimálpolinom (T-beli) gyökei éppen a sajátértékek.❶

Bizonyítás: Először azt igazoljuk, hogy minden sajátérték gyöke a minimálpolinomnak. Legyen mA=α0+α1x++αkxk és tegyük fel, hogy λT sajátértéke A-nak, azaz alkalmas u_0_ vektorral Au_=λu_ teljesül. Ekkor

és ugyanígy igazolható (teljes indukcióval), hogy bármely j pozitív egészre Aju_=λju_

Az mA(A)=O transzformációt az u_ vektorra alkalmazva a 0_ vektort kapjuk. Így

azaz mA(λ)u_=0_ Mivel u_0_ ezért innen mA(λ)=0 következik, vagyis λ valóban gyöke a minimálpolinomnak.

Megfordítva, azt kell még megmutatnunk, hogy a minimálpolinom minden gyöke egyben sajátérték is. Legyen λT gyöke mA-nak, ekkor a minimálpolinom mA=x-λg alakban írható. Az A transzformációt behelyettesítve

adódik. Ez azt jelenti, hogy KerA-λIm gA Mivel degg<degmA ezért gA O tehát Im gA 0_ Így KerA-λ 0_ is teljesül. Mivel KerA-λ bármely nemnulla eleme a λ-hoz tartozó sajátvektor, tehát λ valóban sajátérték.❷

Feladatok

6.3.1 Írjuk fel a 6.1.1, 6.2.2 és 6.2.7 feladatokban szereplő transzformációk minimálpolinomját.

6.3.2 Jellemezzük azokat a transzformációkat, amelyek minimálpolinomja elsőfokú.

6.3.3 Hogyan olvasható le a minimálpolinomról, hogy a transzformációnak létezik-e inverze?

6.3.4 Bizonyítsuk be, hogy (invertálható A esetén) A-1 felírható A polinomjaként, azaz van olyan (A-tól függő) fT[x] amelyre A-1=fA

6.3.5 Invertálható transzformáció esetén hogyan kapjuk meg A minimálpolinomjából A-1 minimálpolinomját?

6.3.6 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) A minimálpolinom mindig irreducibilis (T felett).

b) Ha egy transzformáció gyöke egy (T felett) irreducibilis polinomnak, akkor ez a polinom a transzformáció minimálpolinomja.

c) Ha T=C, és a karakterisztikus polinomnak nincs többszörös gyöke, akkor a minimálpolinom megegyezik a karakterisztikus polinommal.

d) Ha T=C, és a minimálpolinom megegyezik a karakterisztikus polinommal, akkor a karakterisztikus polinomnak nincs többszörös gyöke.

e) Ha a transzformációnak létezik diagonális mátrixa, akkor a minimálpolinomnak nincs többszörös gyöke.

f) Ha egy f polinomnak az A gyöke, akkor f-nek az A minden sajátértéke is gyöke.

g) Ha T=C, és egy f polinomnak az A minden sajátértéke gyöke, akkor f-nek az A is gyöke.

6.3.7 Adjunk új bizonyítást a 6.2.5 feladatra.

6.3.8 Adjunk új bizonyítást az 5.6.9 feladatra.

6.3.9 Van-e az egységmátrixon kívül olyan 2×2-es

 a) valós elemű; b) racionális elemű

 mátrix, amelynek az ötödik hatványa az egységmátrix?

6.3.10 Mi a kapcsolata AB és BA minimálpolinomjának?

6.3.11 Bizonyítsuk be, hogy A és B-1AB minimálpolinomja ugyanaz.

6.3.12 Legyen dimV=n, AHom V és kn tetszőleges egész. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan (pontosan) k-adfokú polinom, amelynek az A gyöke és amelyben a k–1, k–2, …, n-edfokú tagok együtthatója mind 0.

6.3.13 Tekintsük Hom V-ben az Ai,  i=0,1,2,(A0=) transzformációk által generált alteret. Hány dimenziós ez az altér?

*6.3.14 Legyen degmA=k Mik degmA2 lehetséges értékei?

M**6.3.15 A komplex test feletti vektorterek esetében c és A2 minimálpolinomja akkor és csak akkor egyezik meg, ha mA-nak (i) minden gyöke 0 vagy páratlan rendű egységgyök, (ii) a 0 legfeljebb egyszeres gyök, és (iii) bármely gyöknek a négyzete is gyök és multiplicitásuk is azonos.

6.3.16 Legyen h tetszőleges polinom. Bizonyítsuk be, hogy a h(A) transzformációnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha h, mA=1

6.3.17 Legyen DTn×n rögzített mátrix és AHom (Tn×n) a következő: tetszőleges BTn×n mátrixra AB=DB

 Milyen kapcsolat áll fenn A és D sajátértékei, illetve minimálpolinomja között? Érvényes-e ugyanez a karakterisztikus polinomra is?

*6.3.18 Bizonyítsuk be, hogy minden legalább elsőfokú polinom minimálpolinomja egy alkalmas lineáris transzformációnak.