Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

6.2. Karakterisztikus polinom

6.2. Karakterisztikus polinom

6.2.1 Tétel

Legyen  a_1,,a_n bázis V-ben, AHom V  Egy λT  skalár akkor és csak akkor sajátértéke  A-nak, ha az A-λa mátrix determinánsa det detA-λa=0

Bizonyítás: λ akkor és csak akkor sajátérték, ha van olyan x_0_ vektor, amelyre Ax_=λx_ azaz A-λx_=0_ Az 5.7.3 Tétel alapján ez átírható A-λx_=0_ alakba, azaz λ pontosan akkor sajátérték, ha ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása. Ez pedig azzal ekvivalens, hogy az együtthatómátrix determinánsa, azaz detA-λa=0

A tétel alapján lehetőségünk nyílik arra (legalábbis elvileg, de sokszor a gyakorlatban is), hogy a sajátértékeket kiszámítsuk: λ-t változónak tekintve, az A-λa mátrix determinánsa λ-nak egy n-edfokú polinomja, és ennek a gyökei a sajátértékek. A bizonyításból egyúttal a megfelelő sajátvektorok meghatározására is leolvasható egy eljárás: a szóban forgó homogén lineáris egyenletrendszerek (nemtriviális) megoldásait kell megkeresnünk (például Gauss-kiküszöböléssel).

Azonnal adódik, hogy a tétel állításában szereplő determinánsnak mint polinomnak a gyökei nem függnek attól, hogy melyik bázisban írtuk fel a transzformáció mátrixát, hiszen ezek a gyökök éppen a sajátértékek. Ennél jóval több is igaz: maga ez a determináns-polinom sem függ a bázis megválasztásától (a mátrixra ez természetesen már nem érvényes). Ennek bizonyítását nem részletezzük (azt kell megvizsgálni, hogyan változik meg a transzformáció mátrixa, ha másik bázisra térünk át, és ezután fel kell használni, hogy mátrixok szorzatának a determinánsa a tényezők determinánsainak a szorzata — lásd az 5.8.1A Tételt és az 5.8.4 feladatot).

A szóban forgó polinomot a transzformáció karakterisztikus polinomjának nevezzük:

6.2.2 Definíció

Legyen az AHom V  transzformáció mátrixa (valamilyen bázisban)

Az Akarakterisztikus polinomján a

polinomot értjük.❶

Az előrebocsátott megjegyzés szerint ez a polinom csak az A transzformációtól függ, és független a mátrix (azaz a bázis) megválasztásától. Főegyütthatója (–1)n, az n–1-edfokú tag együtthatója az A főátlójában levő elemek összegének (A ún. nyomának) a (–1)n–1-szerese, a konstans tag pedig A determinánsa. Így A nyoma és determinánsa sem függ attól, hogy a mátrixot melyik bázisban írtuk fel.

Feladatok

6.2.1 Írjuk fel a 6.1.1 feladatban szereplő transzformációk karakterisztikus polinomját.

6.2.2 Legyen V a síkvektorok szokásos vektortere. Írjuk fel az alábbi transzformációk karakterisztikus polinomját.

a) Tükrözés origón átmenő egyenesre;

b) adott irányú vetítés origón átmenő egyenesre;

c) 90 fokos elforgatás az origó körül;

d) 60 fokos elforgatás az origó körül;

e) helybenhagyás;

f) középpontos tükrözés az origóra;

g) 5-szörös arányú középpontos nagyítás az origóból.

6.2.3 Legyen A karakterisztikus polinomja f(x). Hogyan kapjuk meg μA karakterisztikus polinomját?

6.2.4 Adjunk új bizonyítást a 6.1.10 és 6.1.9 feladatokra (ebben a sorrendben).

6.2.5 Bizonyítsuk be, hogy a komplex test feletti (véges dimenziós) vektortérben minden lineáris transzformációnak van sajátvektora.

6.2.6

a) Van-e a (közönséges) síkon olyan lineáris transzformáció, amelynek nincs sajátvektora?

b) Van-e a (közönséges) téren olyan lineáris transzformáció, amelynek nincs sajátvektora?

6.2.7 Legyen T=R és  b_1,,b_4 bázis a V vektortérben. Határozzuk meg az alábbi lineáris transzformációk karakterisztikus polinomját, sajátértékeit és sajátvektorait. Mely transzformációknak létezik diagonális mátrixa?

a) b_1b_2,      b_2b_3,       b_3b_4,      b_4b_1 

b) b_1b_2,      b_2b_1,       b_3b_4,      b_4b_4 

c) b_1b_1+b_2,      b_2b_2+b_3,       b_3b_3+b_4,      b_4b_4+b_1 

 Oldjuk meg a feladatot a komplex test felett is.

6.2.8 Egy lineáris transzformációnak hány (különböző) diagonális mátrixa létezik (feltéve, hogy egyáltalán létezik diagonális mátrixa)?

6.2.9 Legyen dim V=n és tegyük fel, hogy az AHom V  transzformációnak n különböző sajátértéke van. Bizonyítsuk be, hogy a sajátértékek összege, illetve szorzata az A (tetszőleges bázisban felírt) mátrix nyoma, illetve determinánsa.

6.2.10 Oldjuk meg újra az 5.7.5 feladatot.