Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

6. fejezet - 6. SAJÁTÉRTÉK, MINIMÁLPOLINOM

6. fejezet - 6. SAJÁTÉRTÉK, MINIMÁLPOLINOM

Ebben a fejezetben véges dimenziós vektorterek lineáris transzformációival foglalkozunk. A sajátértékek központi szerepet játszanak ezek leírásánál és a legkülönfélébb alkalmazásokban. A sajátértékek meghatározásának fő eszköze a karakterisztikus polinom, de a minimálpolinommal is szoros kapcsolatban állnak. A sajátértékek, a karakterisztikus polinom és a minimálpolinom segítségével olyan bázis létezését is garantálhatjuk, amelyben a transzformáció mátrixa a „lehető legszebb”.

6.1. Sajátérték, sajátvektor

Ebben a fejezetben V mindig véges dimenziós, nemnulla vektortér a T kommutatív test felett és AHom V tetszőleges lineáris transzformáció. A dimenzió végességét általában igen erősen ki fogjuk használni. Az Olvasónak javasoljuk, hogy gondolja majd végig, melyek azok a megállapítások, amelyek végtelen dimenzióra is átmenthetők.

Ha A egy nemnulla vektort a skalárszorosába képez le (azaz a vektor a transzformáció hatására a „saját egyenesében” marad), akkor ezt a vektort (az A-hoz tartozó) sajátvektornak, a megfelelő skalárt (azaz „a nagyítás mértékét”) sajátértéknek nevezzük. Pontosabban:

6.1.1 Definíció

Egy λT skalárt az A lineáris transzformáció sajátértékének nevezünk, ha létezik olyan v_Vnemnulla vektor, amelyre Av_=λv_

6.1.2 Definíció

Egy v_Vnemnulla vektort az A lineáris transzformáció sajátvektorának nevezünk, ha létezik olyan λT skalár, amelyre Av_=λv_

A sajátérték definíciójában a nullvektort mindenképpen ki kellett zárnunk, hiszen A0_=λ0_ minden λ-ra fennáll, vagyis a kikötés nélkül a test minden eleme sajátérték lenne.

A sajátvektoroknál is célszerű kihagyni a nullvektort, például azért, mert a „hozzá tartozó” λ nem egyértelmű (sőt bármi lehet).

FIGYELEM! A sajátértékek köréből azonban nem zárjuk ki a 0 skalárt. A definícióból azonnal adódik, hogy a 0 pontosan akkor sajátértéke A-nak, ha Ker A0_, a megfelelő sajátvektorok pedig a magtér nemnulla elemei.

További példák: -nek egyetlen sajátértéke az 1, és minden nemnulla vektor sajátvektor. A síkon az origó körüli forgatásnak nincs sajátértéke (és így persze sajátvektora sem), kivéve, ha a forgatás szöge π-nek egész számú többszöröse. Az origón átmenő egyenesre való tükrözés sajátértékei az 1 és a –1, a vetítésé az 1 és a 0 (a sajátvektorok meghatározását az Olvasóra bízzuk).

Ha v_0_ és Av_=λv_ akkor λ-t a v_-hez tartozó sajátértéknek, v_-t pedig a λ-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezzük.

6.1.3 Tétel

I. Minden sajátvektorhoz csak egy sajátérték tartozik.

II. Egy adott λ sajátértékhez tartozó összes sajátvektor és a 0_ alteret alkotnak. Ezt az alteret a λ-hoz tartozó sajátaltérnek nevezzük.❶

Megjegyzés: Egy sajátaltér — a sajátérték definíciója alapján — nem állhat egyedül a 0_ vektorból.

Bizonyítás: I. Ha valamely v_0_ vektorra λ-val és μ-vel is teljesül Av_=λv_=μv_ akkor ebből v_0_ miatt λ=μ következik.

II. Az adott halmazba pontosan azok a v_ vektorok tartoznak, amelyekre Av_=λv_ Azt kell igazolnunk, hogy ez a (nyilvánvalóan) nemüres halmaz zárt az összeadásra és a skalárral való szorzásra. Legyen Av_=λv_  és  Az_=λz_ ekkor

és hasonlóan adódik A(αv_)=λ(αv_) is.❷

Sajátvektorokból álló bázis esetén igen „szép” a lineáris transzformáció mátrixa: a főátlón kívül minden elem 0 (azaz a mátrix diagonális).

6.1.4 Tétel

Egy transzformáció mátrixa akkor és csak akkor diagonális, ha a mátrixot sajátvektorokból álló bázis szerint írtuk fel. Ekkor a főátlóban álló elemek éppen a megfelelő bázisvektorokhoz tartozó sajátértékek.❶

Bizonyítás:

pontosan akkor teljesül, ha Aa_1=λa_1,,Aa_n=λna_n

Feladatok

6.1.1 Legyen V a legfeljebb 6-odfokú valós együtthatós polinomok (és a 0) szokásos vektortere. Egy általános polinomot f-fel jelölünk. Határozzuk meg az alábbi lineáris transzformációk sajátértékeit és sajátvektorait. Hány dimenziósak a megfelelő sajátalterek? Mely transzformációknak létezik diagonális mátrixa?

a) ff'

b) fxf'

c) ff6x6

d) ff maradéka x2+2x+3-mal osztva.

6.1.2 Legyen A,BHom V  és α közös sajátértéke A-nak és B-nek. Következik-e ebből, hogy μA-nak, A+B-nek, A2-nek, AB-nek, illetve A-1-nek is van sajátértéke, és ha igen, akkor hogyan függ ez a sajátérték α-tól?

6.1.3 Legyen A,BHom V  és v_ közös sajátvektora A-nak és B-nek. Következik-e ebből, hogy v_ sajátvektora μA-nak, A+B-nek, A2-nek, AB-nek, illetve A-1-nek is, és ha igen, akkor milyen sajátérték tartozik hozzá?

6.1.4 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha v_ sajátvektora A2-nek, akkor v_ sajátvektora A-nak.

b) Ha a 0 sajátértéke A2-nek, akkor a 0 sajátértéke A-nak.

c) Ha μ2=λ, és a λ sajátértéke A2-nek, akkor a μ és a –μ közül legalább az egyik sajátértéke A-nak.

6.1.5 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha  A+B= akkor A-nak és B-nek ugyanazok a sajátvektorai.

b) Ha  AB=O akkor A-nak és B-nek ugyanazok a sajátvektorai.

c)  A2=O akkor és csak akkor teljesül, ha az A-nak a 0 az egyetlen sajátértéke.

d)  AO akkor és csak akkor nullosztó, ha a 0 sajátértéke A-nak.

e)  A-nak a λ sajátértékhez tartozó sajátaltere éppen Ker(A-λ)

f)  A minden sajátvektora Ker A és Im A közül legalább az egyiknek eleme.

g)  A2=AO akkor és csak akkor teljesül, ha  Im A az A-nak sajátaltere.

6.1.6 Adjunk meg a (közönséges háromdimenziós) térben egy-egy olyan lineáris transzformációt, amelynek 1, 2, illetve 3 (különböző) sajátértéke van.

6.1.7 Legyenek u_ és v_ az  A transzformáció sajátvektorai. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy u_+v_ is sajátvektora legyen  A-nak?

6.1.8 Melyek azok a lineáris transzformációk, amelyeknek minden nemnulla vektor sajátvektora?

6.1.9 Legyenek  v_1,,v_k az A lineáris transzformáció olyan sajátvektorai, amelyek közül bármelyik kettőhöz különböző sajátérték tartozik. Bizonyítsuk be, hogy  v_1,,v_k lineárisan független.

6.1.10 Bizonyítsuk be, hogy ha dim V=n, akkor bármely AHom V -nek legfeljebb n (különböző) sajátértéke lehet.

6.1.11 Egy transzformáció mátrixa valamely bázisban 111111111  Bizonyítsuk be, hogy van olyan bázis is, amelyben ugyanennek a transzformációnak a mátrixa 300000000