Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

5.8. Áttérés új bázisra

5.8. Áttérés új bázisra

Tegyük fel, hogy ismerjük egy lineáris leképezésnek egy adott bázispár szerinti mátrixát. Az alábbi tétel megmutatja, hogyan kaphatjuk meg ekkor a leképezésnek valamely másik bázispár szerinti mátrixát.

5.8.1 Tétel

Legyen a V1 vektortér egy-egy bázisa (a „régi”) a_1,,a_n illetve (az „új”) a_1',,a_n' és hasonlóképpen a V2 vektortér egy-egy bázisa b_1,,b_k illetve b_1',,b_k' Legyen SHom V1 az a(z egyértelműen meghatározott) lineáris transzformáció, amelyre Sa_j=a_j',j=1,,n és hasonlóan THom V2 amelyre Tb_i=b_i', i=1,k Legyen továbbá AHomV1,V2 Ekkor

A T, illetve S transzformációkat az új bázisra történő áttérés kísérő transzformációinak nevezzük. Az A leképezés új mátrixát a fenti tétel szerint úgy kapjuk meg, hogy A régi mátrixát megszorozzuk jobbról a V1-beli S kísérő transzformáció mátrixával, balról pedig a V2-beli T kísérő transzformáció mátrixának az inverzével.

Megjegyezzük, hogy a kísérő transzformációk mátrixa azonos, akár a régi, akár az új bázis szerint írjuk fel (lásd az 5.8.3 feladatot).

Ha V1=V2, azaz A lineáris transzformáció, akkor csak egy új és egy régi bázis van, és az áttérést értelemszerűen az 5.8.1 Tétel alábbi speciális esete írja le:

5.8.1A Tétel

Legyen a V vektortér egy-egy bázisa (a „régi”) a_1,,a_n illetve (az „új”) a_1',,a_n' és SHom V az a(z egyértelműen meghatározott) lineáris transzformáció, amelyre Sa_j=a_j', j=1,,n Legyen továbbá AHom V Ekkor

Most rátérünk az 5.8.1 Tétel bizonyítására.

Bizonyítás: Az (új) A'=[A]a',b' mátrix elemeit jelöljük α’ij-vel. Ekkor az A’ mátrix j-edik oszlopa definíció szerint az alábbi egyenlőségből adódik:

Az ASa_j=ASa_j, Sa_j=a_j' és b_i'=Tb_i összefüggések, valamint T linearitása alapján ez a következőképpen írható át:

Azaz ASa_j=Tα1j'b_1++αkj'b_k. Ezt balról T-1-gyel megszorozva 

adódik. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy a T-1AS leképezésnek a régi (azaz a „vesszőtlen”) bázispárban felírt mátrixa megegyezik A'=[A]a',b'-vel. Vagyis [A]a',b'=[T-1AS]a,b ami az 5.7.6 Tétel alapján átírható a kívánt [T]b-1[A]a,b[S]a alakba.❷

Egy másik bizonyítási lehetőségre nézve lásd az 5.8.6 feladatot.

Feladatok

5.8.1 Legyen V a legfeljebb 2-odfokú valós együtthatós polinomok szokásos vektortere és AHom V az a lineáris transzformáció, amely minden polinomnak megfelelteti a deriváltját. Írjuk fel A mátrixát az alábbi bázisokban:

a) 1+x, x+x2, x2+1;

b) x2+1, –2x2+2x, x2–1;

c) x2+x+1, 2x+1, –x2x+1.

5.8.2 Adjunk az 5.8.1 Tétel segítségével új megoldást az 5.7.4, 5.7.5 és 5.7.9 feladatokra.

5.8.3 Mutassuk meg, hogy az új bázisra történő áttérésnél a kísérő transzformációk mátrixa ugyanaz, akár a régi, akár az új bázis szerint írjuk fel ezeket.

5.8.4 Lássuk be, hogy egy lineáris transzformáció bármely bázis szerinti mátrixának ugyanaz a determinánsa.

5.8.5 Legyen V vektortér R felett, 2≤dim V<∞. Igaz-e, hogy minden AHom V lineáris transzformációnak van olyan mátrixa, amely

a) szimmetrikus;

b) diagonális;

c) nem csupa különböző elemből áll;

d) felsőháromszög (azaz a főátló alatt minden elem nulla)?

5.8.6 Adjunk egy másik bizonyítást az 5.8.1 Tételre az alábbi gondolatmenet alapján: (A) Igazoljuk először azokat a speciális eseteket, amikor a kísérő transzformáció a következő típusú „elemi átalakítások” valamelyike: (i) egy báziselemet egy (nemnulla) skalárszorosára változtatunk; (ii) egy báziselemhez hozzáadjuk egy másik báziselem skalárszorosát; (iii) két báziselemet felcserélünk (lásd az 5.7.4 feladatot). — (B) Mutassuk meg, hogy ha a tétel igaz az S1 és S2 kísérő transzformációkra és bármely A-ra, akkor abban az esetben is igaz marad, ha a kísérő transzformáció az S1 és S2 transzformációk S1S2 szorzata. Bizonyítsuk be az analóg állítást a T-kre is. — (C) A Gauss-kiküszöbölés mintájára lássuk be, hogy bármely kísérő transzformáció előállítható az (A)-ban jelzett elemi átalakítások egymásutánjával.

5.8.7 Legyenek V1V2, valamint V véges dimenziós vektorterek a T végtelen test felett.

a) Mely AHom V1,V2 leképezéseknek létezik olyan mátrixa, amelynek egyik eleme sem nulla?

*b) Mely AHom V transzformációknak létezik olyan mátrixa, amelynek egyik eleme sem nulla?

 Megjegyzés: Az a) részben a V1V2 kikötés elhagyható, ha kivételesen megengedjük, hogy a mátrixhoz a V1=V2 esetben is használhatunk két különböző bázist.

*5.8.8 Legyen V egy véges dimenziós vektortér a T végtelen test felett és AHom V tetszőleges lineáris transzformáció. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan bázis van V-ben, amelyek egymásnak nem skalárszorosai, és A-t ezek akármelyike szerint felírva mindig ugyanazt a mátrixot kapjuk.