Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

5.7. Lineáris leképezés mátrixa

5.7. Lineáris leképezés mátrixa

A lineáris leképezéseket mátrixokkal fogjuk jellemezni. Ezt az teszi lehetővé, hogy a leképezés megadható V1 báziselemeinek a képével, a képek pedig felírhatók V2 báziselemeinek a segítségével. Kiderül, hogy a mátrixreprezentáció a műveleteket is tartja, ami megmagyarázza, hogy miért hasonlítanak annyira a leképezések és a mátrixok tulajdonságai. Ez a kapcsolat mindkét irányban hasznosnak bizonyul, mert így leképezésekre vonatkozó állításokat mátrixok segítségével igazolhatunk, és viszont. Gyakorlati alkalmazásoknál a leképezések helyett szinte mindig a mátrixukkal dolgozunk.

5.7.1 Definíció

Legyen a V1 vektortér egy bázisa a_1,,a_n a V2 vektortér egy bázisa pedig b_1,,b_k Egy AHomV1,V2 leképezésnek az a_1,,a_n és b_1,,b_k bázispár szerinti mátrixán azt a k×n-es mátrixot értjük, amelynek j-edik oszlopában az Aa_j vektornak a b_1,,b_k bázis szerinti koordinátái állnak. Ezt a mátrixot [A]a,b-vel jelöljük.

Részletesebben kiírva, legyen

Ekkor

Az [A]a,bmátrix oszlopai tehát tulajdonképpen rendre az a_j báziselemek képei, mégpedig a b_i báziselemek segítségével felírva.

A mátrix természetesen erősen függ attól, hogy milyen bázisokat választottunk a két vektortérben, más bázispár esetén általában a mátrix is egészen más lesz.

Szükségünk lesz egy vektor mátrixára is (ez a fogalom már az 5.1 pont P5 példájában is szerepelt):

5.7.2 Definíció

Legyen c_1,,c_r bázis a V vektortérben. Tudjuk, hogy ekkor minden v_V egyértelműen felírható v_=γ1c_1++γrc_r alakban. A v_ vektornak a c_1,,c_r bázis szerinti (koordináta)mátrixán (vagy koordinátavektorán) a

(oszlop)mátrixot értjük.❶

A vektor mátrixa is bázisfüggő.

Ha a korábbiakból egyértelmű, hogy mely bázis(pár)ról van szó, akkor a vektor, illetve leképezés mátrixának jelölésénél a bázis(pár)ra vonatkozó indexet elhagyhatjuk.

Először megmutatjuk, hogy rögzített bázispár esetén a képvektor mátrixa a leképezés mátrixának és az eredeti vektor mátrixának a szorzata.

5.7.3 Tétel

Legyen a V1 vektortér egy bázisa a_1,,a_n a V2 vektortér egy bázisa pedig b_1,,b_k továbbá AHom V1,V2 és v_V1 Ekkor

ahol a jobb oldalon a két mátrix szorzata áll.❶

Bizonyítás: Legyen

Ekkor

vagyis b_i együtthatója valóban  A-edik sorának és [v_] (egyetlen) oszlopának a szorzata, amint állítottuk.❷

Most azt igazoljuk, hogy ha rögzített bázispár esetén minden leképezésnek megfeleltetjük a mátrixát, ez egy izomorfizmust létesít a lineáris leképezések és a (megfelelő méretű) mátrixok vektortere között.

5.7.4 Tétel

Ha dim V1=n, dim V2=k, akkor Hom V1,V2Tk×n

Bizonyítás: Legyen a V1 vektortér egy bázisa a_1,,a_n a V2 vektortér egy bázisa pedig b_1,,b_k és feleltessük meg minden AHomV1,V2 leképezésnek a(z adott bázispár szerinti) mátrixát:

Megmutatjuk, hogy így egy Hom (V1, V2)→Tk×n vektortérizomorfizmust definiáltunk.

1. Ily módon minden AHom(V1,V2)-hez egyértelműen hozzárendeltünk egy k×n-es mátrixot, hiszen bármely A lineáris leképezés esetén adott (bázis)elemek képei egyértelműen meghatározottak, és ezek a képek egyértelműen felírhatók egy adott V2-beli bázis segítségével.

2. Bármely mátrixnak pontosan egy ősképe van. Ugyanis a mátrix éppen az a_j báziselemek képét adja meg egyértelműen, és az 5.3.1 Tétel szerint pontosan egy olyan A lineáris leképezés létezik, amely az adott báziselemekhez éppen az előírt vektorokat rendeli.

3. Az összegtartás igazolása: A+Ba_j=Aa_j+Ba_j és a rögzített b_i bázis miatt az A+B mátrix j-edik oszlopa éppen az A és B mátrixok j-edik oszlopainak az összege lesz, tehát valóban A+B=A+B A skalárszorostartás hasonlóan bizonyítható.❷

Hangsúlyozzuk, hogy a fenti izomorfizmus csak rögzített bázispár esetén érvényes, tehát amikor valamennyi leképezés mátrixát ugyanabban a bázispárban írjuk fel.

Az előző tétel egyszerű következménye:

5.7.5 Tétel

Véges dimenziós vektorterek esetén

Bizonyítás: Legyen dim V1=n, dim V2=k. Ekkor Hom V1,V2Tk×n és a Tk×n vektortér dimenziója kn (ezt már a 4.5–4.6 pontokban beláttuk).❷

Megjegyezzük, hogy a tétel állítását és egy másik bizonyítását az 5.5.6–5.5.7 feladatok is tartalmazzák. Az ott megadott leképezésekből álló bázis az 5.7.4 tétel izomorfizmusánál éppen a mátrixok szokásos bázisába megy át.

Most rátérünk a szorzással kapcsolatos művelettartásra.

5.7.6 Tétel

Legyen V1 egy bázisa a_1,,a_n egy bázisa b_1,,b_k, V3 egy bázisa pedig c_1,,c_r Legyen továbbá AHomV2,V3,  BHom V1,V2 Ekkor

Bizonyítás: Legyen

Azt kell igazolnunk, hogy ABa_j-edik koordinátája megegyezik az A mátrix i-edik sorának és a B mátrix j-edik oszlopának a szorzatával.

Itt c_i együtthatója β1jαi1+…+βkjαik, ami valóban az A mátrix i-edik sorának és a B mátrix j-edik oszlopának a szorzata.❷

A következőkben AHom V lineáris transzformációk mátrixát vizsgáljuk. Ebben az esetben kikötjük, hogy a bázispár mindkét bázisa azonos legyen. Erre egyrészt a szorzás művelettartása miatt van szükség (lásd a következő tételt), másrészt pedig ekkor mutatja a mátrix „természetes” módon, „hogyan transzformálta, miképp változtatta a vektorteret” az A lineáris transzformáció (azaz a bázisvektorok önmagukhoz mérve hogyan változtak).

5.7.7 Tétel

Legyen a_1,,a_n rögzített bázis a V vektortérben. Ekkor az A[A]a megfeleltetés izomorfizmus a Hom V és Tn×nalgebrák között.❶

Bizonyítás: Az 5.7.4 Tételben láttuk, hogy a fenti megfeleltetés bijektív, összeg- és skalárszorostartó, az 5.7.6 Tétel pedig biztosítja a szorzásra vonatkozó művelettartást is.❷

Az 5.7.7 Tétel alapján új bizonyítást adhatunk pl. az 5.6.7 Tételre (lásd az 5.7.10 feladatot), és véges dimenziós esetben a transzformációk szorzásának tetszőleges tulajdonságát visszavezethetjük a négyzetes mátrixok szorzásának megfelelő tulajdonságára. Okoskodhatunk természetesen fordítva is, pl. ily módon kaphatunk egy „természetes” magyarázatot a mátrixszorzás asszociativitására, vagy akár magának a mátrixszorzásnak a definíciójára is, amely annak idején ugyancsak mesterkéltnek tűn(hetet)t.

Feladatok

5.7.1 Legyen V a legfeljebb 6-odfokú valós együtthatós polinomok szokásos vektortere és AHom V az a lineáris transzformáció, amely minden polinomnak megfelelteti a deriváltját.

a) Írjuk fel A mátrixát a szokásos bázisban.

b) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben A minden eleme 0 vagy 1?

*c) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben A minden eleme nullától különböző?

d) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben A utolsó két oszlopa csupa 0?

e) Van-e olyan bázis V-ben, amelyben A utolsó két sora csupa 0?

5.7.2 Írjuk fel a sík nevezetes lineáris transzformációinak mátrixát többféle bázisban.

5.7.3 Legyen V1 a legfeljebb 5-ödfokú, V2 pedig a legfeljebb 2-odfokú komplex együtthatós polinomok szokásos vektortere. Egy általános polinomot f-fel jelölünk, polinom és polinomfüggvény között nem teszünk különbséget. Írjuk fel az alábbi lineáris leképezések mátrixát alkalmas bázispárban.

a) ff0+f1x+f2x2

b) f-nek feleltessük meg az x3+1 polinommal vett osztási maradékát;

c) f-nek feleltessük meg azt a legfeljebb 2-odfokú polinomot, amely a 0, 1 és 2 helyen ugyanazt az értéket veszi fel, mint f.

5.7.4 Legyen a V1 vektortér egy bázisa a_1,,a_n a V2 vektortér egy bázisa pedig b_1,,b_k Hogyan változik egy AHom V1,V2 leképezés mátrixa, ha a megfelelő bázisban

a) a_1-et és a_2-t felcseréljük;

b) b_1-et és b_2-t felcseréljük;

c) a_3 helyett λa_3-at veszünk;

d) b_3 helyett λb_3-at veszünk;

e) a_3 helyett a_3+μa_2-t veszünk;

f) b_3 helyett b_3+μb_2-t veszünk?

5.7.5 Legyen V kétdimenziós vektortér R felett. Döntsük el, van-e olyan AHom V amelynek két különböző bázisban felírt mátrixa

a) 1001 és 1002

b) 100-1 és 0110

c) 1111 és 2000

d) 1232-3212 és 0-111

e) 1002 és 2613

f) 1000 és 0010

5.7.6 Legyen V1V2 és AHom V1,V2 tetszőleges leképezés. Bizonyítsuk be, hogy van olyan bázispár, hogy A „fődiagonálisában” minden elem 1 vagy 0, a mátrix többi eleme pedig 0.

5.7.7 Legyen V1V2. Bizonyítsuk be, hogy AHomV1,V2 akkor és csak akkor izomorfizmus, ha alkalmas bázispárban A mátrixa az egységmátrix.

5.7.8 Legyen dim V=2 és AHom V Bizonyítsuk be, hogy ha AO de A2=O akkor V alkalmas bázisában A=0100

5.7.9 Melyek azok az AHom V lineáris transzformációk, amelyeknek bármely bázisban ugyanaz a mátrixa?

5.7.10 Az 5.7.7 Tétel felhasználásával adjunk új bizonyítást az 5.6.7 Tételre.

5.7.11 Bizonyítsuk be, hogy egy A lineáris leképezés mátrixát bármely bázispárban felírva, a kapott mátrix rangja megegyezik Im A dimenziójával. (Ezt az egyértelműen meghatározott számot az A leképezés rangjának nevezzük.)

5.7.12 Bizonyítsuk be, hogy ha az A és B mátrixok AB szorzata létezik, akkor AB rangja sem A, sem pedig B rangjánál nem lehet nagyobb.

5.7.13 Igaz-e, hogy ha egy 2×2-es A valós mátrixra A100=A–1, akkor A az egységmátrix?

5.7.14 Nevezzük egy adott transzformáció valamely mátrixát bázismeghatározónak, ha egyértelműen megállapítható, hogy a mátrixot mely bázis szerint írtuk fel.

a) Bizonyítsuk be, hogy ha T nem a modulo 2 test, akkor egyáltalán nem létezik bázismeghatározó mátrix.

b) A modulo 2 test felett van olyan transzformáció, amelynek minden mátrixa bázismeghatározó.