Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

5.6. Lineáris leképezések szorzása

5.6. Lineáris leképezések szorzása

A lineáris leképezések szorzása (egymás után alkalmazása, kompozíciója) különösen a (VV) transzformációk esetén játszik fontos szerepet, amelyek erre a szorzásra, valamint az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve egy algebrának nevezett speciális struktúrát alkotnak. A leképezések szorzása nagyon hasonló tulajdonságokat mutat, mint amilyeneket a mátrixszorzásnál tapasztaltunk. Ennek igazi oka a következő pontban derül majd ki.

5.6.1 Definíció

Legyenek V1, V2 és V3 ugyanazon T test feletti vektorterek, AHomV2,V3,BHomV1,V2 Ekkor az A és B lineáris leképezések szorzatán azt az AB-vel jelölt V1V3 leképezést értjük, amely minden u_V1 vektorhoz az ABu_V3 vektort rendeli hozzá. Azaz

Az AB szorzatot tehát úgy kapjuk, hogy előbb a második tényezőként szereplő B leképezést alkalmazzuk, majd ezután az A-t. Ezt a mesterkéltnek tűnő sorrendiséget azonban az ABu_=ABu_ képlet azonnal megmagyarázza. A „természetes” sorrend akkor adódna, ha a leképezést (mint operátort) a vektor mögé írnánk, ekkor a definíció nyilván u_CD=u_CD alakot öltene. Az analízis hagyományos függvényjelölését követve megmaradunk az Au_ formánál (és ennek megfelelően egy-két esetben látszólag mesterkélt módon járunk el új fogalmak definiálásánál).

Hangsúlyozzuk, hogy két lineáris leképezés szorzatát csak akkor értelmeztük, ha eleget tettek az 5.6.1 Definíció feltételeinek, vagyis az a vektortér, amelybe a második tényező képez, ugyanaz, mint amelyiken az első tényező hat.

5.6.2 Tétel

Két lineáris leképezés szorzata is lineáris, azaz ha AHomV2,V3 és BHomV1,V2 akkor ABHomV1,V3

Bizonyítás: A szorzás definíciója és B illetve A linearitása miatt

Az összegtartás hasonlóan igazolható.❷

A szorzás tulajdonságainak vizsgálatát kezdjük a kommutativitás kérdésével. Ha AHom V2,V3, BHomV1,V2 és V3V1, akkor a BA szorzat nincs is értelmezve. Ha V3=V1, de V1V2, akkor ABHomV1,V1 ugyanakkor BAHomV2,V2 tehát semmiképpen sem lehetnek egyenlők. Marad az az eset, amikor V1=V2=V3=V, azonban AB és BA általában ekkor is különbözők (lásd pl. az 5.6.1–5.6.4 feladatokat). Vagyis a lineáris leképezések szorzása (messzemenően) nem kommutatív.

A szorzással (és részben más műveletekkel) kapcsolatos további „szokásos” azonosságok viszont igazak:

5.6.3 Tétel

Ha λT és A,B,C tetszőleges olyan lineáris leképezések, amelyekre az alábbi egyenlőségek valamelyik oldala értelmezve van, akkor a másik oldal is értelmes, és az egyenlőség teljesül.

I. ABC=ABC (asszociativitás);

II. A+BC=AC+BC (disztributivitások );

III. λAB=λAB=AλB

Mivel a szorzás nem kommutatív, ezért a két disztributivitást külön kell bebizonyítani. Ugyanez az oka annak, hogy III-ban csak a skalárt „emelhetjük át” a leképezéseken, A és B sorrendjén nem változtathatunk.

Bizonyítás: I-ben bármelyik oldal pontosan akkor értelmes, ha AHom V3,V4,  BHomV2,V3,   CHomV1,V2 és ekkor minden x_V1

illetve

tehát I-ben az egyenlőség két oldalán valóban ugyanaz a leképezés áll. [Itt tulajdonképpen arról van szó, hogy függvények kompozíciója (egymás után alkalmazása) mindig asszociatív, hiszen akármelyik zárójelezést felbontva a függvényeket végül is a megfelelő sorrendben egymás után kell alkalmazni.]

II. és III. igazolása hasonló módon történik, csak ott a szorzás definícióján kívül a leképezések linearitását is fel kell használni (lásd az 5.6.6 feladatot).❷

A továbbiakban egy adott V vektortér lineáris transzformációival foglalkozunk. Az összes ilyen transzformációk halmazát (Hom (V, V) helyett röviden) Hom V-vel jelöljük.

5.6.4 Tétel

Hom V a leképezések közötti összeadásra és skalárral való szorzásra nézve vektortér, az összeadásra és a szorzásra nézve gyűrű, továbbá teljesül a

azonosság.❶

Bizonyítás: A vektortérre vonatkozó állítás az 5.5.3 Tétel speciális esete. Az, hogy a szorzás valóban művelet Hom V-ben, az 5.6.2 Tételből következik. A gyűrűben a szorzásra vonatkozó azonosságok, valamint a szorzást és a skalárral való szorzást összekapcsoló azonosság az 5.6.3 Tételből adódik.❷

Az alábbiakban általánosan összefoglaljuk az 5.6.4 Tételben kimondott tulajdonságokat.

5.6.5 Definíció

Egy A nemüres halmaz algebra (vagy hiperkomplex rendszer) a T kommutatív test felett, ha

(i) értelmezve van A-n egy összeadás, egy szorzás és egy T elemeivel való szorzás;

(ii) A az összeadásra és a szorzásra nézve gyűrű;

(iii) A az összeadásra és a T elemeivel való szorzásra nézve vektortér;

(iv) érvényes a szorzást és a T elemeivel való szorzást összekapcsoló

 

 azonosság.❶

Példák algebrára

P1. Hom V a megadott műveletekre (T felett).

P2. Adott méretű négyzetes mátrixok (Tn×n) a szokásos műveletekre (T felett).

P3. Polinomok (T[x]) a szokásos műveletekre (T felett).

P4. A komplex számok a valós test felett a szokásos műveletekre. Általánosabban: ha T1résztesteT2-nek (tehát T1 nemcsak részhalmaza T2-nek, hanem a T1-beli műveletek éppen a T2-beli műveletek megszorításai), akkor T2 algebra T1 felett.

P5. A komplex számok általánosítása a kvaterniók. Ezek α01i2j3k alakú kifejezések, ahol αiR Az összeadást és a valós számmal való szorzást „komponensenként” értelmezzük. A szorzást úgy definiáljuk, hogy „minden tagot minden taggal meg kell szorozni”, az együttható valósok „átemelendők” i-n, j-n és k-n, és végül az „alapvektorokat” a következő szabály szerint kell összeszorozni:

 

 Megmutatható, hogy így a valós test felett egy 4-dimenziós algebrát kapunk, amely nemkommutatív test.

 A kvaterniók alapján szokták az algebrákra néha a hiperkomplex (komplexen túli) rendszer elnevezést is használni.

 A kvaterniók Frobenius alábbi nevezetes tétele szerint a számfogalom lezárásának tekinthetők:

 Legyen A egy olyan véges dimenziós algebra R felett, amely egyúttal (nem feltétlenül kommutatív) test. Ekkor A mint algebra vagy a valós számokkal, vagy a komplex számokkal, vagy pedig a kvaterniókkal izomorf.

További példák: lásd az 5.6.19 feladatot.

A szorzás tulajdonságai Hom V -ben

Korábban már jeleztük, hogy Hom V-ben a szorzás nem kommutatív.

Könnyen látható, hogy az E identikus leképezés kétoldali egységelem.

A következőkben az invertálhatóságra és a nullosztókra fogalmazunk meg tételeket.

5.6.6 Tétel

Egy AHom V lineáris transzformációnak akkor és csak akkor létezik (kétoldali) inverze, ha A izomorfizmus.❶

Bizonyítás: Ha A izomorfizmus, akkor az 5.2.3 Tétel bizonyításánál láttuk, hogy az A bijekció inverze, A-1 is lineáris leképezés, tehát eleme Hom V-nek. Megfordítva, legyen B az A transzformáció inverze: AB=BA=E Ekkor egyrészt minden u_V-re u_=ABu_ tehát u_Im A vagyis Im A=V Másrészt, ha Au_=Av_ akkor u_=BAu_=BAv_=v_ vagyis különböző vektorok A szerinti képe is különböző. Így A valóban izomorfizmus.❷

Eredményünket az 5.2.2 Tétellel egybevetve adódik, hogy AHom V-nek akkor és csak akkor létezik inverze, ha Ker A=0_ és Im A=V Az 5.4.2 Tételből azt is tudjuk, hogy véges dimenziós V esetén ezen két feltétel bármelyike maga után vonja a másikat.

Az 5.6.6 Tétel bizonyításából az is leolvasható, hogy ha A-nak létezik jobbinverze, akkor szükségképpen Im A=V illetve ha A-nak létezik balinverze, akkor szükségképpen Ker A=0_ Mindezt a fentiekkel egybevetve kapjuk, hogy véges dimenzió esetén az egyik oldali inverz létezése maga után vonja a másik oldali inverz létezését. Végtelen dimenzió esetén ez nem igaz, annyi azonban megmutatható, hogy Im A=V illetve Ker A=0_ a megfelelő oldali inverz létezésének nemcsak szükséges, hanem egyben elégséges feltétele is.

A nullosztókról szóló tételt csak a véges dimenziós esetre mondjuk ki. Az egyik oldali nullosztókra, illetve a végtelen dimenzióra vonatkozóan hasonló jellegű a helyzet, mint amit az invertálhatóságnál tapasztaltunk. (Mindezekkel kapcsolatban lásd az 5.6.10–5.6.15 feladatokat.)

5.6.7 Tétel

Legyen V véges dimenziós vektortér. Ha AHom V bal vagy jobb oldali nullosztó, akkor Ker A 0_ Megfordítva, ha Ker A 0_ és AO akkor A mind bal, mind pedig jobb oldali nullosztó.❶

Bizonyítás: Többször fel fogjuk használni az alábbi egyszerű észrevételt: AB=O akkor és csak akkor igaz, ha Ker A Im B Valóban, ABu_=0_ pontosan akkor teljesül minden u_V-re, ha Im B valamennyi Bu_ eleme Ker A-ba esik.

Legyen először A bal oldali nullosztó, azaz valamilyen CO lineáris transzformációra AC=O Ekkor az előzőek szerint Ker AIm C0_ vagyis valóban Ker A 0_ Ha A jobb oldali nullosztó, akkor ugyanígy Ker A0_ adódik, de ez a dimenzió végessége miatt ekvivalens a Im AV feltétellel.

Megfordítva, tegyük fel, hogy AO és Ker A 0_ Először megmutatjuk, hogy A bal oldali nullosztó, azaz valamilyen CO lineáris transzformációra AC=O A C transzformációt V egy alkalmas bázisán fogjuk megadni. Legyen Ker A egy bázisa b_1,,b_s ezt egészítsük ki a b_s+1,,b_n vektorokkal V egy bázisává. Legyen most C az a lineáris transzformáció, amelyre

Ekkor nyilván C és CO

Hasonlóan okoskodhatunk, amikor azt akarjuk igazolni, hogy AC=O jobb oldali nullosztó. Ekkor az A feltételből indulunk ki, Im AV egy bázisát egészítjük ki V bázisává, és így konstruálunk olyan Im A transzformációt, amelyre BO A részletek végiggondolását az Olvasóra bízzuk.❷

Feladatok

5.6.1 Legyen V1=V2 a síkvektorok szokásos vektortere. Döntsük el, hogy AB=BA teljesül-e, ha

a) A az x-tengelyre, B az y=x egyenesre történő tükrözés;

b) A az x-tengelyre, B az y=x egyenesre történő merőleges vetítés;

c) A az origó körüli +60 fokos, B az origó körüli –90 fokos elforgatás;

d) A az origóból történő ötszörös nagyítás, B az origó körüli +90 fokos elforgatás.

5.6.2 Legyen V=C3 és definiáljuk az A,BHom V transzformációkat a következőképpen:

 

 Adjuk meg az AB, BA, A101, (AB)101 transzformációkat.

5.6.3 Legyen V véges dimenziós vektortér. Adjuk meg az összes olyan AHom V-t, amely V minden lineáris transzformációjával felcserélhető (azaz minden BHom V-re AB=BA).

5.6.4 Melyek azok a véges dimenziós V vektorterek, amelyekre a Hom V-beli szorzás kommutatív?

5.6.5 Legyen AHom (V2,V3), BHom (V1,V2) Milyen kapcsolatban áll egymással Ker AB és Ker B illetve Im AB és Im A?

5.6.6 Bizonyítsuk be az 5.6.3 Tétel II. és III. állítását.

5.6.7 Legyen AHom (V2,V3), BHom (V1,V2) Bizonyítsuk be, hogy

 

5.6.8 Legyen V véges dimenziós vektortér, AHom V Bizonyítsuk be, hogy

 

*5.6.9 Legyen A egy 5×5-ös valós mátrix, és tegyük fel, hogy A1000=0. Bizonyítsuk be, hogy ekkor A5=0.

5.6.10 Legyen V a valós együtthatós polinomok szokásos vektortere, és definiáljuk az A,B Hom V transzformációkat a következőképpen (egy általános polinomot f(x)-szel, az i-edfokú tag együtthatóját αi-vel jelöljük):

 

 Állapítsuk meg A-ról, illetve B-ről, hogy hány bal-, illetve jobbinverze van, valamint hogy bal, illetve jobb oldali nullosztó-e.

5.6.11 Legyen b_1,,b_n bázis a V vektortérben. Az alábbi lineáris transzformációk közül melyeknek van bal-, illetve jobbinverzük, és melyek bal, illetve jobb oldali nullosztók. Invertálhatóság esetén adjuk meg az inverzet, a nullosztókhoz pedig adjunk meg egy-egy hozzájuk tartozó bal, illetve jobb oldali nullosztópárt.

a) A: b_1b_1-b_2,b_2b_2-b_3,,b_nb_n-b_1

b) B:b_1b_1,b_2b_1+b_2,,b_nb_1+b_n

c) C:b_1b_1+b_2++b_n,,b_nb_1+b_2++b_n

5.6.12 Melyek azok a V véges dimenziós vektorterek, amelyekre minden nemnulla AHom V transzformációnak létezik inverze?

5.6.13 Melyek azok a V véges dimenziós vektorterek, amelyekre Hom V nullosztómentes?

5.6.14 Melyek azok a V véges dimenziós vektorterek, amelyekre létezik olyan A, BHom V hogy

 a) AB=O de BAO b) AB=O de BA=E?

5.6.15 Legyen V véges dimenziós vektortér, A Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha B-nak és AB-nek létezik inverze, akkor AB-nek is létezik inverze.

b) Ha A-nek létezik inverze, akkor B-nak és A-nek is létezik inverze.

c) Ha B és A bal oldali nullosztó és AB akkor AB is bal oldali nullosztó.

d) Ha A bal oldali nullosztó, akkor B és A+B is bal oldali nullosztó.

e) Ha A-nek létezik inverze, akkor B és A+B közül legalább az egyiknek létezik inverze.

f) Ha A bal oldali nullosztó, akkor B és B közül legalább az egyik bal oldali nullosztó.

5.6.16 Legyen V véges dimenziós vektortér, AHom V Tekintsük Hom V alábbi két részhalmazát:

 

 (azaz „az A-hoz tartozó bal, illetve jobb oldali nullosztók halmazát”). Bizonyítsuk be, hogy B és J alterek Hom V-ben, és számítsuk ki a dimenziójukat.

5.6.17 Legyen V véges dimenziós vektortér. Egy PHom V lineáris transzformációt projekciónak nevezünk, ha P2=P

a) Létezik-e O-n és E-n kívül más projekció is?

b) Vajon miért nevezik az ilyen transzformációkat projekciónak?

c) Mely projekcióknak létezik (bal és/vagy jobb oldali) inverze?

d) Bizonyítsuk be, hogy P akkor és csak akkor projekció, ha E-P projekció.

e) Legyen T=R. Bizonyítsuk be, hogy P akkor és csak akkor projekció, ha 2P-E önmagának az inverze. Mutassuk meg, hogy van olyan test, amely felett ez az állítás nem igaz.

f) Bizonyítsuk be, hogy ha P projekció és λ≠0, –1, akkor P+λE-nek létezik inverze.

*g) Bizonyítsuk be, hogy P akkor és csak akkor projekció, ha V felbontható V=U1U2 alakban, ahol P az U1 altér elemeit helyben hagyja, U2 elemeit pedig 0_-ba viszi.

*5.6.18 Legyen V véges dimenziós vektortér. Bizonyítsuk be, hogy minden AHom V-hez található olyan BHom V amellyel ABA=A

5.6.19 Az alábbi struktúrák közül melyek alkotnak algebrát?

a) Tetszőleges vektortér, ha a szorzást úgy értelmezzük, hogy bármely két vektor szorzata a nullvektor.

b) A (közönséges 3-dimenziós) tér vektorai a szokásos összeadásra, skalárral való szorzásra, valamint a vektoriális szorzatra nézve.

c) A valós számsorozatok a szokásos (komponensenkénti) műveletekre.

d) Tn, ha a szorzást is komponensenként értelmezzük.

e) Az összes valós számon értelmezett valós értékű függvények a szokásos műveletekre.

f) Az előző példa, ha a szorzást a függvényösszetétellel (kompozícióval, egymás után alkalmazással) értelmezzük.

g) Az α+β2, α,βQ alakú számok a racionális test felett a szokásos műveletekre.

h) Bármely gyűrű a modulo 2 test felett, ha a skalárral való szorzást 0a_=0, 1a_=a_ módon definiáljuk.

i) A zw-w¯z¯ alakú 2×2-es komplex elemű mátrixok a valós test felett a szokásos műveletekre.

j) Az előző mátrixok, de a komplex test felett.

5.6.20 Végezzük el az alábbi kvaternió-műveleteket:

a) (1+i)(1+j)–(1+j)(1+k);

b) (i+j+k)100;

c) (1+ijk)(1–i+jk)(1–ij+k).

5.6.21 A v01i2j3k kvaternió konjugáltján a v¯=α0-α1i-α2j-α3k kvaterniót értjük. Számítsuk ki a vv¯ szorzatot. Hogyan lehet ennek segítségével egy kvaternió (multiplikatív) inverzét meghatározni?

5.6.22 Hány megoldása van a kvaterniók körében az x2+1=0 egyenletnek? Hogyan fér ez össze azzal a tétellel, hogy „egy polinomnak legfeljebb annyi gyöke lehet, mint amennyi a foka”?

M*5.6.23 Legyen n>1 és v tetszőleges olyan kvaternió, amely nem egy valós szám. Hány n-edik gyöke van v-nek a kvaterniók körében?

5.6.24 Bizonyítsuk be, hogy egy legalább kételemű, véges dimenziós algebra akkor és csak akkor (nem feltétlenül kommutatív) test, ha nullosztómentes.