Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

5.5. Lineáris leképezések összege és skalárszorosa

5.5. Lineáris leképezések összege és skalárszorosa

5.5.1 Definíció

Az A,B :V1V2 lineáris leképezések összegén azt az A+B-vel jelölt leképezést értjük, amely minden u_V1 vektorhoz az Au_+Bu_V2  vektort rendeli hozzá. Azaz

Két leképezés összegét tehát csak akkor értelmezzük, ha mindkét leképezés ugyanarról a V1 vektortérről ugyanabba a V2 vektortérbe hat. Ekkor az összegük is V1-ről V2-be képez.

A definícióbeli képletben a két + jel nem ugyanazt jelenti: a bal oldalon leképezések összeadásáról van szó, amelyet éppen most értelmezünk, a jobb oldalon pedig V2-beli vektorok összeadása szerepel. (A képlet tehát már ezért sem tekinthető valamiféle disztributivitásnak.)

5.5.2 Definíció

Az A :V1V2 lineáris leképezésnek a λTskalárral való szorzatán azt a λA-val jelölt leképezést értjük, amely minden u_V1 vektorhoz a λAu_V2 vektort rendeli hozzá. Azaz

A skalárszorosra is az összegnél látottakkal analóg megjegyzések érvényesek.

5.5.3 Tétel

Legyen V1 és V2 két tetszőleges vektortér ugyanazon T test felett. Ekkor az összes V1V2 lineáris leképezésből álló halmaz vektorteret alkot a T test felett az imént definiált műveletekre nézve. Ezt a vektorteret Hom (V1, V2)-vel jelöljük.❶

Bizonyítás: Először is azt kell megmutatni, hogy két lineáris leképezés összege, illetve egy lineáris leképezés skalárszorosa is lineáris. Belátjuk, hogy A+B összegtartó, a többi hasonlóan igazolható.

Közben a leképezések összegének definícióját és A  illetve B összegtartását használtuk ki (valamint a V2-ben a többtagú összegek tetszőleges átrendezhetőségét).

Hom (V1, V2) nulleleme a O nulla leképezés, amely V1 minden elemének a V2-beli 0_-t felelteti meg. Könnyen adódik, hogy a O is lineáris leképezés, és valóban nullelem.

Egy A lineáris leképezés ellentettje az a -A-val jelölt leképezés lesz, amelyet a -Au_=-Au_ összefüggéssel definiálunk minden u_V1-re. Annak ellenőrzését, hogy ez lineáris és valóban eleget tesz az ellentett követelményének, az Olvasóra bízzuk.

Az összes többi vektortéraxióma valamilyen azonosság. Ezek közül λ+μA=λA+μA teljesülését részletesen igazoljuk, a többi bizonyítása teljesen hasonlóan történik. Egyfelől

másfelől

(Közben csak a leképezések közötti műveletek definícióit használtuk.) A jobb oldalakon álló vektorok pedig éppen azért egyeznek meg, mert a szóban forgó axióma a V2 vektortérben teljesül.❷

Feladatok

5.5.1 Bizonyítsuk be, hogy bármely A, BHom V1, V2 esetén

a) KerA+BKer A Ker B 

b) Im A+BIm A, Im B 

c) KerλA=KerA , ha λ0 

d) Im λA=Im A ha λ≠0.

 Az a) és b) résznél adjunk példákat, amikor egyenlőség teljesül, illetve nem teljesül.

5.5.2 Legyen V1=V2 a síkvektorok szokásos vektortere. Mi lesz az A+B transzformáció, ha

a) A az x-tengelyre, B az y-tengelyre történő tükrözés;

b) A az x-tengelyre, B az y-tengelyre történő merőleges vetítés;

c) A az origó körüli +60 fokos, B az origó körüli –60 fokos elforgatás;

d) A az origó körüli Φ, B az origó körüli –Φ szöggel történő elforgatás;

e) A a helybenhagyás, B az origó körüli +90 fokos elforgatás?

5.5.3 Döntsük el, hogy alteret alkotnak-e Hom (V1, V2)-ben azok a leképezések, amelyeknél

a) a magtér V1-nek egy rögzített U1 altere;

b) a képtér legfeljebb egydimenziós;

c) minden elem képe egy előre megadott V2-beli vektor valamilyen skalárszorosa;

d) V1-nek egy előre megadott U1 alteréből minden elem képe V2-nek egy előre megadott U2 alterébe esik;

e) egy előre megadott V1-beli elem képe egy előre megadott V2-beli vektor lesz.

5.5.4 Legyen V1=V2=V, ekkor Hom (V1, V2)-t Hom V-vel jelöljük. Döntsük el, hogy alteret alkotnak-e Hom V-ben azok a transzformációk, amelyek

a) izomorfizmusok;

b) nem izomorfizmusok;

c) egy előre megadott vektort önmagába visznek át (azaz helyben hagyják);

d) magtere tartalmazza a képteret.

5.5.5 Legyenek A, BHom V1, V2 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Im AIm B=0_KerA+ B=Ker AKer B 

b) Ker A+B=Ker AKer BIm AIm B=0_ 

5.5.6 Legyen a V1 vektortér egy bázisa a_1,,a_n a V2 vektortér egy bázisa pedig b_1,,b_k Definiáljuk a Cij Hom (V1,V2) leképezést a következőképpen:

 

 Bizonyítsuk be, hogy a Cij  leképezések bázist alkotnak Hom (V1, V2)-ben.

5.5.7 Bizonyítsuk be, hogy véges dimenziós vektorterek esetén

 

5.5.8 Legyenek A1,, ArHom V1,V2 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha A1,,Ar lineárisan összefüggő Hom (V1, V2)-ben, akkor minden x_V1-re A1x_,, Arx_ lineárisan összefüggő V2-ben.

b) Ha van olyan nemnulla x_V1 vektor, amelyre A1x_,,Arx_ lineárisan összefüggő V2-ben, akkor A1,,Ar lineárisan összefüggő Hom (V1, V2)-ben.

c) Ha minden x_V1-re A1x_,,Arx_ lineárisan összefüggő V2-ben, akkor A1,,Ar lineárisan összefüggő Hom (V1, V2)-ben.

M5.5.9 Legyen V1=C4, V2=C2 és AijHom V1,V2 a következő:

 

a) Bizonyítsuk be, hogy bármely három (különböző) Aij lineárisan független Hom (V1, V2)-ben.

b) Adjunk meg négy olyan (különböző) Aij-t, amely lineárisan összefüggő Hom (V1, V2)-ben.

*c) Maximálisan hány olyan (különböző) Aij van, amely lineárisan független Hom (V1, V2)-ben?