Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

5.4. Dimenziótétel

5.4. Dimenziótétel

5.4.1 Tétel

Tegyük fel, hogy V1 véges dimenziós és V2 tetszőleges vektortér a T test felett, továbbá legyen A tetszőleges lineáris leképezés V1-ről V2-be. Ekkor

Bizonyítás: Legyen dimV1=n ,dimKer A=s Tekintsük Ker A-nak egy b_1, . . .,b_s bázisát, és egészítsük ezt ki a b_s+1, . . .,b_n vektorokkal a V1 egy bázisává. (Ha Ker A=0_  illetve Ker A=V1  akkor ezt az s=0, illetve s=n esetnek tekintjük, és a bizonyítás további részeinek megfelelő adaptálását, valamint a triviális n=0 eset vizsgálatát az Olvasóra bízzuk.) A tétel igazolásához elég azt belátnunk, hogy az Ab_s+1, . . .,Ab_n vektorok Im A-nak egy bázisát alkotják, hiszen ezek darabszáma éppen n–s.

A generátorrendszerség bizonyításához vegyünk Im A-ból egy tetszőleges Au_ elemet. Mivel b_1, . . .,b_n generátorrendszer V1-ben, így u_ felírható u_=λ1b_1+ . . .+λnb_n alakban. Ekkor

ahol az utolsó egyenlőség Ab_1= . . . =Ab_s=0_-ból következik. Ezzel megmutattuk, hogy a szóban forgó vektorok generátorrendszert alkotnak Im A-ban.

A lineáris függetlenség igazolásához tegyük fel, hogy

Az A linearitása miatt itt a bal oldal átírható Aγs+1b_s+1+ . . .+γnb_n alakba, azaz x_=γs+1b_s+1+ . . .+γnb_nKerA  Ekkor azonban x_ felírható x_=γ1b_1+ . . .+γsb_s alakban is. A kétféle előállítást összevetve, a b_1, . . .,b_n vektorok lineáris függetlensége alapján kapjuk, hogy minden γi szükségképpen 0.❷

A most bizonyított dimenzió-összefüggésnek egyik fontos következménye az

5.4.2 Tétel

Legyen V véges dimenziós vektortér és A lineáris transzformáció V-n. Ekkor

Bizonyítás: Ha Im A=V akkor dimIm A=dimV  tehát dimKer A=0 vagyis Ker A=0_ A megfordítás is hasonlóan igazolható (az utolsó lépésben fel kell használni a 4.6.4/II Tételt).❷

Az 5.4.2 Tétel azt mutatja, hogy véges dimenziós tér lineáris transzformációja esetén az izomorfizmusra az 5.2.2 Tételben adott két feltétel bármelyikéből következik a másik. Végtelen dimenzióra ez nem igaz, lásd pl. az 5.1.4 feladatot.

Feladatok

Az alábbi feladatokban szereplő vektorterekről feltesszük, hogy véges dimenziósak.

5.4.1 Mely vektortereknek létezik olyan lineáris transzformációja, amelynél a kép- és magtér egybeesik?

5.4.2 Legyenek A : V1V2 és B : V2V1 lineáris leképezések. Az alábbi feltételek közül melyekből következik, hogy V1 és V2 izomorf?

a) Im A=V2 és Im B=V1 

b) Ker A=0_ és Ker B=0_ 

c) Im A=V2 és Ker B=0_ 

5.4.3 Legyen A lineáris transzformáció V-n és Au_1 , . . . ,Au_k generátorrendszer V-ben. Következik-e ebből, hogy az u_1 , . . . ,u_k vektorok is generátorrendszert alkotnak V-ben?

5.4.4 Oldjuk meg az 5.2.3 feladatot abban az esetben, ha a két vektortér megegyezik.

5.4.5 Egy A : V1V2 lineáris leképezésről a következőket tudjuk:

 (i) Bármely 4 elem képe lineárisan összefüggő.

 (ii) Bármely 6 lineárisan független V1-beli elem között van olyan, amelynek a képe nem a nulla.

 Bizonyítsuk be, hogy dim V1≤8.

5.4.6 Tegyük fel, hogy az A,B :V1V2 lineáris leképezésekre Ker A Ker B és Im AIm B  Bizonyítsuk be, hogy ekkor Ker A=Ker B és Im A=Im B 

5.4.7 Tegyük fel, hogy az A,B :V1V2 lineáris leképezésekre

 V1=Ker AKer B és V2=Im AIm B 

 Bizonyítsuk be, hogy ekkor V1V2