Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

5.3. Leképezés jellemzése a báziselemek képével

5.3. Leképezés jellemzése a báziselemek képével

Az, hogy egy leképezés lineáris, az első pillanatban nem tűnik nagyon erős megkötésnek. A látszat azonban csal. Ez rögtön kiderül, ha valamely vektortéren elemenként próbálunk értelmezni egy lineáris leképezést. Hacsak nem valami „szép szabály” szerint dolgozunk, szinte biztos, hogy a leképezésünk nem „sikeredik” lineárissá (lásd pl. az 5.1.5 feladatot). A művelettartás követelménye láthatatlan szálakkal hálózza be a leképezés szerkezetét, amelybe könnyen belegabalyodhatunk. Ugyanez a probléma jelentkezik akkor is, ha egy valóban lineáris leképezést valahogy kezelni akarunk. Reménytelenül el lehet veszni a(z általában) végtelen sok elem és a művelettartásból adódó áttekinthetetlennek tűnő szabályrengeteg útvesztőjében.

Mindezeken a gondokon teljes mértékben segít az alábbi fontos tétel. Ez lényegében azt fejezi ki, hogy a lineáris leképezések egy (rögzített) bázis elemeinek a képeivel jellemezhetők: egyrészt a báziselemek képei tetszőlegesen, minden megkötöttség nélkül megválaszthatók, másrészt viszont ezek már egyértelműen meghatározzák a többi elem képét, azaz a teljes lineáris leképezést.

5.3.1 Tétel

Legyen b_1, . . .,b_n bázis a V1 vektortérben, és legyenek c_1, . . .,c_ntetszőleges elemek a(z ugyanazon test feletti) V2 vektortérben. Ekkor pontosan egy olyan A :V1V2 lineáris leképezés létezik, amelyre

azaz, amely a b_i báziselemeket rendre éppen a kijelölt c_i  elemekbe viszi.❶

Bizonyítás: Vegyünk V1-ből egy tetszőleges u_ vektort, ez egyértelműen felírható u_=β1b_1+ . . . +βnb_n alakban. Ha létezik a mondott tulajdonságú A lineáris leképezés, akkor a feltételek és a művelettartás miatt szükségképpen

teljesül. Ez azt mutatja, hogy Au_ egyértelműen meg van határozva, tehát legfeljebb egy ilyen A létezhet. Sőt, az is kiderült, hogy csak az

képlettel definiált leképezés jöhet szóba. Erről kell tehát megmutatni, hogy valóban lineáris leképezés. Először is vegyük észre, hogy a βi együtthatók a b_-k bázis volta miatt léteznek és egyértelműek, tehát Au_ tényleg egyértelműen definiálva van. Az összegtartás igazolásához legyen v_=γ1b_1+ . . . +γnb_n  ekkor u_+v_=β1+γ1b_1+ . . . +βn+γnb_n Az A leképezés definíciója alapján

A skalárszorostartás ugyanígy igazolható.❷

Ennek a tételnek az alapján a lineáris leképezéseket általában úgy fogjuk megadni, hogy a báziselemek képeit választjuk meg. Ezen múlik majd a lineáris leképezések mátrixok segítségével történő jellemzése is (lásd az 5.7 pontot).

Feladatok

5.3.1 Legyen W a V véges dimenziós vektortér egy nemtriviális altere. Bizonyítsuk be, hogy V-nek létezik olyan lineáris transzformációja, amelynek W a magtere, illetve a képtere (vö. az 5.1.5 feladattal).

5.3.2 Melyek azok a V1V2 lineáris leképezések, amelyeket már a magterük, illetve a képterük teljesen meghatároz (azaz semelyik másik V1V2 lineáris leképezésnek nem lehet ugyanez a mag-, illetve képtere)?

5.3.3

a) Legyen u_1 , . . . , u_n generátorrendszer V1-ben, és legyenek c_1 , . . . , c_ntetszőleges elemek a(z ugyanazon test feletti) V2-ben. Hány olyan A : V1V2 lineáris leképezés létezik, amelyre Au_i=c_i i=1,2,…,n?

b) Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést, ha az u_i-kről csak annyit tudunk, hogy lineárisan függetlenek.

5.3.4 Hány olyan A lineáris transzformáció van az R2 vektortéren, amelyre

a) A13=00 és A26=10

b) A13=00 és A23=10

c) A13=65 és A26=1210

5.3.5 Legyenek k és n pozitív egészek és T a modulo p maradékosztályok teste. Hány A : TnTk lineáris leképezés létezik?

5.3.6 Legyenek V1 és V2 tetszőleges véges dimenziós vektorterek egy T test felett. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan A : V1V2 lineáris leképezés, amelyre Ker A=0_ és Im A=V2 közül legalább az egyik teljesül.