Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

5.2. Izomorfizmus

5.2. Izomorfizmus

5.2.1 Definíció

Ha egy V1V2 lineáris leképezés egyúttal kölcsönösen egyértelmű (egy-egyértelmű, bijektív) megfeleltetést létesít V1 és V2 között, akkor izomorfizmusnak nevezzük. A V vektortér akkor izomorf a Z vektortérrel, ha létezik VZ izomorfizmus.❶

Azt, hogy V izomorf Z-vel, VZ módon jelöljük.

Az izomorfizmus tehát olyan lineáris leképezés, amelynél V2 minden elemének pontosan egy ősképe van. Más szóval: különböző V1-beli elemek képe szükségképpen különböző, és minden V2-beli elem fellép képként.

Az izomorf vektorterek algebrai szempontból megkülönböztethetetlenek egymástól: teljesen ugyanolyanok, csak az elemek és a műveletek másképp vannak jelölve.

Az előző pont példái közül a P1a–c, P3 és P5 leképezések izomorfizmusok. Az alábbi egyszerű észrevétel mutatja, hogy az izomorfizmus már a magteréről és a képteréről felismerhető.

5.2.2 Tétel

Az A : V1V2 lineáris leképezés akkor és csak akkor izomorfizmus, ha Ker A=0_ és Im A=V2 .

Bizonyítás: Az Im A=V2  feltétel nyilván ekvivalens azzal, hogy V2 minden eleme fellép képként. Így elég belátni, hogy a magtérre vonatkozó feltétel éppen azt jelenti, hogy különböző vektorok képe is különböző. Tegyük fel először, hogy különböző elemek képe különböző. Mivel a 0_ képe 0_ más vektor nem képződhet a 0_-ba, vagyis a magtér valóban csak a 0_-ból áll. Megfordítva, tegyük fel, hogy Ker A=0_ és legyen Au_=Av_  Az 5.1.10 feladat alapján ekkor u_-v_Ker A=0_  tehát valóban u_=v_ 

Az, hogy egy V1 vektortér izomorf-e egy V2 vektortérrel vagy sem, egy relációt jelent az adott test feletti vektorterek körében. Ezt a relációt izomorfiának szokás nevezni.

5.2.3 Tétel

A vektorterek körében az izomorfia ekvivalenciareláció.❶

Bizonyítás:

Reflexivitás: az identikus leképezés nyilván izomorfizmus.

Szimmetria: Ha A :UV izomorfizmus, akkor megmutatjuk, hogy az A leképezés inverze, A-1 :VU is izomorfizmus. Az egy-egyértelműség világos, így csak a művelettartást kell igazolni. Nézzük pl. az összegtartást. Legyen v_1, v_2V  Ekkor A-1v_i az az (egyértelműen meghatározott) u_iU amelyre Au_i=v_i  Mivel A összegtartó, ezért

vagyis valóban

A skalárszorostartás ugyanígy igazolható.

Tranzitivitás: az előzőhöz hasonlóan belátható, hogy két izomorfizmus egymásutánja (kompozíciója) is izomorfizmus.❷

A fentiek alapján tehát jogosan mondhatjuk, hogy két vektortér „egymással” izomorf.

A 4.7 pontban már előrevetítettük, hogy minden véges (és≠0) dimenziós vektortér valamelyik Tn-nel izomorf:

5.2.4 Tétel

Ha n≠0 és V a T test felett egy n-dimenziós vektortér, akkor VTn .

Bizonyítás: Az izomorfiát az 5.1 pont P5 példájában megadott leképezés igazolja. A fentiek következménye, hogy adott T test felett „csak egyetlen” n-dimenziós vektortér létezik:

5.2.5 Tétel

Egy T test feletti két véges dimenziós vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik. Azaz véges dimenziós U és V esetén

Bizonyítás: Feltehetjük, hogy egyik vektortér sem a 0_  mert akkor az állítás nyilvánvaló. Ha mindkét dimenzió n, akkor az előző tétel szerint mindkét vektortér izomorf Tn-nel, tehát — mivel az izomorfia ekvivalenciareláció — egymással is izomorfak. Megfordítva, legyen UV azaz van egy A :UV izomorfizmus. Legyen u_1 , . . . , u_n bázis U-ban. Megmutatjuk, hogy ekkor Au_1 , . . . , Au_n bázis lesz V-ben, ami igazolni fogja a dimenziók egyenlőségét. Legyen v_V tetszőleges. Be kell látnunk, hogy v_ egyértelműen felírható

alakban. Az A leképezés linearitása miatt ez átírható a

feltétellé. Az egy-egyértelműség miatt v_-nek pontosan egy u_U ősképe van, amelyre Au_=v_  Ennek alapján az előző feltétel tovább alakítható

formában. Mivel u_1, . . .,u_n bázis U-ban, ezért ilyen tulajdonságú λ1, …, λn együtthatórendszer valóban pontosan egy létezik.❷

Az 5.2.5 Tétel végtelen dimenzióra is átvihető, ha dimenzión a szokásos módon a (Hamel-)bázis számosságát értjük (lásd a 4.5 pont végét).

Feladatok

5.2.1 Keressük meg az izomorfizmusokat az 5.1.1–5.1.4 feladatokban.

5.2.2 Milyen ismert vektorterekkel izomorfak a 4.1.5, illetve 4.1.6 feladatokban megadott vektorterek?

5.2.3 Legyen A :UV lineáris leképezés. Az alábbi feltételek közül melyekből következik, hogy A izomorfizmus?

a) Minden U-beli lineárisan független rendszer képe lineárisan független V-ben.

b) Minden U-beli generátorrendszer képe generátorrendszer V-ben.

c) Minden U-beli bázis képe bázis V-ben.

d) Van olyan U-beli bázis, amelynek a képe bázis V-ben.

e) Van olyan U-beli lineáris független rendszer, amelynek a képe lineárisan független V-ben, és van olyan U-beli generátorrendszer is, amelynek a képe generátorrendszer V-ben.

5.2.4 Bizonyítsuk be, hogy adott test felett bármely két véges dimenziós vektortér közül valamelyik izomorf a másik egy alkalmas alterével.

5.2.5 Egy n-dimenziós vektortérben hány páronként nemizomorf altér van?

5.2.6 Az alábbi R feletti vektorterek között keressük meg az izomorfakat (a műveletek a szokásosak, a polinomoknál a 0 polinomot mindig beleértjük):

a) Azok a legfeljebb 20-adfokú valós együtthatós polinomok, amelyekben minden tag kitevője prímszám.

b) Azok a legfeljebb 15-ödfokú valós együtthatós polinomok, amelyek (valós függvényként tekintve őket) páros függvények.

c) Azok a legfeljebb 9-edfokú valós együtthatós polinomok, amelyeknek a π gyöke.

d) Azok a legfeljebb 9-edfokú valós együtthatós polinomok, amelyeknek az i (komplex képzetes egység) gyöke.

e) Azok a legfeljebb 100-adfokú valós együtthatós polinomok, amelyek x29+1-gyel és 2x29+1-gyel is oszthatók.

f) C4 (a valós test felett!)

g) Azok a 3×4-es valós mátrixok, amelyeknek az első és utolsó sora megegyezik.

h) Azok a 7×7-es valós mátrixok, amelyekben a főátlóbeli elemek mind egyenlők.

i) Azok a 7×7-es valós mátrixok, amelyekben a főátlón kívüli elemek mind egyenlők.

j) Azok a végtelen valós számsorozatok, amelyekben bármely kilenc szomszédos elem összege 0.

k) Azok a minden valós számon értelmezett valós értékű függvények, amelyeknek az x=1, 2, …, 8 helyek kivételével minden helyettesítési értéke 0.