Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

5. fejezet - 5. LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK

5. fejezet - 5. LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK

Lineáris leképezéseknek (vagy vektortérhomomorfizmusoknak) a vektorterek művelettartó leképezéseit nevezzük. Fontos speciális eset az izomorfizmus, amikor a leképezés kölcsönösen egyértelmű, ekkor a két vektortér „tulajdonképpen ugyanaz”. A vektorterek „szép” szerkezetét mutatja, hogy a vektorteret már a dimenziója egyértelműen meghatározza, azaz (rögzített test felett) bármely két egyező dimenziójú vektortér izomorf.

Látni fogjuk, hogy a lineáris leképezések — a közöttük bevezetett műveleteket is beleértve — szoros kapcsolatban állnak a mátrixokkal. A leképezések mátrixokkal történő jellemzése mind elméleti, mind pedig gyakorlati szempontból rendkívül jelentős.

5.1. Lineáris leképezés

5.1.1 Definíció

Legyenek V1 és V2ugyanazon T kommutatív test feletti vektorterek. A V1-ről V2-be ható A függvényt (homogén) lineáris leképezésnek nevezzük, ha művelettartó, azaz

(i) minden u_ , v_ V1-re  Au_+ v_=Au_+Av_ 

(ii) minden u_V1 , λT-re Aλu_=λAu_  

A lineáris leképezés tehát a V1 vektortér minden eleméhez egyértelműen hozzárendel egy V2-beli vektort. Az nyugodtan előfordulhat, hogy több V1-beli elemhez is ugyanazt a V2-beli vektort rendeljük hozzá, azaz egy V2-beli vektornak lehet több ősképe is V1-ben. Másfelől, az sem biztos, hogy minden V2-beli vektor fellép a képek között, azaz lehet, hogy valamely V2-beli vektornak egyáltalán nincs ősképe V1-ben.

Az (i)-ben szereplő + jelek nem ugyanazt a műveletet jelölik: a bal oldalon a V1-beli, a jobb oldalon pedig a V2-beli összeadásról van szó. Hasonló a helyzet (ii)-ben a skalárral való szorzással.

A lineáris leképezéseket írott nagybetűvel fogjuk jelölni. Az elnevezésben a „homogén” jelzőt általában elhagyjuk. Maga a fogalom az algebrai struktúrák homomorfizmusának speciális esete.

A lineáris leképezés az összegtartásból és a skalárszorostartásból következően a nullelemet, az ellentettet és a lineáris kombinációt is „tartja”:

5.1.2 Tétel

I. A0_1=0_2  ahol 0_i a Vi vektortér nulleleme.

II.  A-u_=-Au_ .

III. Aλ1u_1+ . . . +λku_k=λ1Au_1+ . . . +λkAu_k .

Bizonyítás: Az összegtartásból Au_= Au_+0_1=Au_+A0_1 . Itt mindkét oldalhoz az Au_ vektor (V2-beli) ellentettjét hozzáadva, megkapjuk I-et. Ezután az A leképezést az u_+-u_=0_ összegre alkalmazva, a művelettartás és I. igazolja II-t. (Okoskodhattunk volna -u_=-1u_ összefüggés alapján is.) Végül III. azonnal adódik (i) és (ii) ismételt alkalmazásával.❷

Minden lineáris leképezés két fontos halmazt indukál; a képelemek összességét (V2-ben), ez a képtér, valamint a -u_=-1u_-ra képződő (V1-beli) elemek halmazát, ez a magtér:

5.1.3 Definíció

Legyen A lineáris leképezés V1-ről V2-be. Az A leképezés képtere a képelemek halmaza, ezt Im Im A-val jelöljük. Tehát

5.1.4 Definíció

Legyen A lineáris leképezés V1-ről V2-be. Az A leképezés magtere a V2 nullvektorára képződő elemek halmaza, ezt Ker A-val jelöljük. Tehát

I m   A így V2-nek, Ker A pedig V1-nek részhalmaza. Mint az elnevezés jelzi, ennél több is igaz:

5.1.5 Tétel

I m   A altér V2-ben, Ker A altér V1-ben.❶

Bizonyítás: A magtér nemüres, mert A0_=0_ , továbbá zárt a műveletekre, hiszen ha Au_=Av_=0_ , akkor

A képtérre vonatkozó állítás hasonlóan igazolható.❷

Példák lineáris leképezésre

P1. Legyen V1=V2 a síkvektorok szokásos vektortere (T=R). Ekkor lineáris leképezés pl.

 a) az origó körül tetszőleges szöggel történő elforgatás;

 b) az origóból történő középpontos nagyítás;

 c) az origón átmenő bármely egyenesre való tükrözés;

 d) az origón átmenő bármely egyenesre történő adott irányú vetítés.

 Az eltolás nem (homogén) lineáris leképezés, mert például a nullvektor képe nem a nullvektor.

 Az a), b) és c) példánál Ker A=0_ ,Im A=V2 , a d) esetben a képtér az az egyenes, amelyre vetítünk, a magtér pedig a vetítés irányába eső, az origón átmenő egyenes.

P2. Tetszőleges V1 és V2 esetén feleltessük meg V1 minden elemének a V2 nullelemét. Ezt a lineáris leképezést a nulla leképezésnek nevezzük és O-val jelöljük. Magtere a teljes V1, képtere a V2-beli 0_ 

P3. Ha V=V1=V2, akkor feleltessük meg minden elemnek önmagát. Ezt a lineáris leképezést az identikus leképezésnek nevezzük és E-vel jelöljük. Magtere a 0_  képtere a teljes V.

P4. Legyen ATk x n,V1=Tn , V2=Tk  , és legyen a lineáris leképezés az A mátrixszal történő szorzás, azaz Ax_=Ax_ .A kép- és magtér éppen az A mátrix kép-, illetve magtere lesz (lásd a 4.2 pont P4 példáját).

P5. Legyen V1 egy n-dimenziós vektortér és V2=Tn. Rögzítsük le V1-nek egy bázisát, és tetszőleges V1-beli vektort írjunk fel a báziselemek lineáris kombinációjaként. Minden vektornak feleltessük meg az ebben a felírásban szereplő koordinátákból képezett Tn-beli vektort (ezt az eredeti vektornak az adott bázis szerinti mátrixának vagy koordinátavektorának nevezzük). Az így kapott lineáris leképezés magtere 0_ , képtere a teljes Tn.

P6. A matematika legkülönbözőbb területei igen bőségesen szolgáltatnak fontos példákat lineáris leképezésekre. Az analízis témaköréből választott alábbi — meglehetősen pongyola módon megfogalmazott — megfeleltetéseknél az Olvasóra bízzuk a vektorterek pontos megadását, a leképezések linearitásának a belátását, valamint a mag- és a képtér meghatározását.

 Rendeljük hozzá (alkalmas valós) függvényekhez a helyettesítési értéküket, a deriváltjukat, az integráljukat, az értelmezési tartomány egy adott részhalmazára történő megszorításukat, egy adott függvénnyel vett szorzatukat, sorozatokhoz a határértéküket, az elemek (végtelen) összegét, alkalmas részsorozatot stb.

További példák: lásd az 5.1.1–5.1.4 feladatokat.

5.1.6 Definíció

Azokat a lineáris leképezéseket, amelyeknél V=V1=V2, a V vektortér lineáris transzformációinak nevezzük.❶

Lineáris transzformáció esetén is előfordulhat, hogy a képtér nem a teljes V, továbbá több vektornak is lehet ugyanaz a képe.

A P1 és P3 példák tehát lineáris transzformációk.

Feladatok

5.1.1 Legyen V=V1=V2 a valós test feletti legfeljebb 100-adfokú polinomok (és a 0) szokásos vektortere. Döntsük el, hogy az alábbi megfeleltetések lineáris transzformációk-e V-n, és ha igen, adjuk meg kép- és magterüket, valamint ezek dimenzióját. Egy általános polinomot f-fel vagy szükség esetén f(x)-szel, az i-edfokú tag együtthatóját αi-vel, a főegyütthatót αn-nel jelöljük (tehát αn≠0, ha f nem a nullpolinom).

a) ff'  b) fxxfx 

c) fxfx-xf'x  d) fxfx+1-fx 

e) fα0x  f) fαnx2 

g) fα0+α1+ . . . +αnx+x2  h) fdegfx3 

i) ff maradéka x7+4x+1-gyel osztva;

j) fαn+αn-1x+ . . . +α0xn 

5.1.2 Legyen T=R és V=V1=V2=C a szokásos műveletekkel. Döntsük el, hogy az alábbi megfeleltetések lineáris transzformációk-e V-n, és ha igen, adjuk meg kép- és magterüket, valamint ezek dimenzióját.

 Minden z komplex számnak feleltessük meg

a) a valós részét;

b) a valós és a képzetes része közül a nagyobbikat (ha egyenlők, akkor bármelyiket);

c) az abszolút értékét;

d) a szögét;

e) a konjugáltját;

f) egy rögzített komplex számmal való szorzatát;

g) önmagával való szorzatát;

h) a valós rész π-szerese (1+i)-szeresének és a képzetes rész 2-szerese (1111i–5/3)-szorosának a különbségét.

5.1.3 Legyen T a modulo 2 maradékosztályok teste, V1=T3×3, V2=T3 a szokásos műveletekkel. Döntsük el, hogy az alábbi megfeleltetések lineáris leképezések-e V1-ről V2-be, és ha igen, adjuk meg kép- és magterüket, valamint ezek dimenzióját. Minden mátrixnak feleltessük meg

a) a középső oszlopát;

b) azt a vektort, amelynek minden koordinátája a mátrix determinánsa;

c) azt a vektort, amelynek minden koordinátája a mátrix nyoma (a főátló elemeinek az összege);

d) azt a vektort, amelynek minden koordinátája a mátrix rangjának modulo 2 vett maradéka;

e) a csupa 1 koordinátájú (oszlop)vektorral való szorzatát;

f) a csupa 1 koordinátájú vektort, ha a mátrix reguláris volt, és a nullvektort, ha a mátrix szinguláris volt.

5.1.4 Legyen V=V1=V2 a racionális számsorozatok szokásos vektortere. Egy általános sorozatot S=(α0, α1, …, αn, …) formában jelölünk. Adjuk meg az alábbi lineáris transzformációk kép- és magterét, valamint ezek dimenzióját.

a) α0,α1, . . . ,αn, . . .0, α0,α1, . . . ,αn-1, . . .  azaz a sorozatot eggyel „jobbratoltuk”;

b) α0,α1, . . . ,αn, . . .α1, α2,α3, . . . ,αn+1, . . .  azaz a sorozatot eggyel „balratoltuk”;

c) α0,α1, . . . ,αn, . . .α0, α0,α1,α1, . . . ,αn, αn, . . . azaz a sorozatot „megdupláztuk”;

d) α0,α1, . . . ,αn, . . .α0, α10,α20, . . . ,α10n, . . . azaz a sorozatot „megtizedeltük”;

e) α0,α1, . . . ,αn, . . .α0-α1, α1-α2, . . . ,αn-αn+1, . . . azaz a különbségsorozatot képeztük;

f) α0,α1, . . . ,αn, . . .α0+α1, α0-α1,α2+α3,α2-α3, . . . 

g) α0,α1, . . . ,αn, . . .α0+α1,α2+α3,α0+α2,α1+α3,α4+α5,α6+α7,α4+α6, α5+α7, . . . 

5.1.5 Legyen W a V vektortér egy nemtriviális altere. Lineáris transzformációt definiálnak-e V-n az alábbi megfeleltetések?

a) Ax_=x_,   ha x_W;0_,   ha x_W.

b) Bx_=x_,   ha x_W;0_,   ha x_W.

5.1.6 Adjunk példát olyan leképezésre valamely V1 és V2 (azonos T test feletti) vektorterek között, amely

 a) skalárszorostartó, de nem összegtartó;

 b) összegtartó, de nem skalárszorostartó;

 c) sem az összeget, sem a skalárszorost nem tartja.

5.1.7 Adjuk meg az összes olyan V vektorteret, amely rendelkezik az alábbi tulajdonsággal. Ha V’ tetszőleges vektortér ugyanazon test felett, és V-nek a V’-be történő valamely leképezése skalárszorostartó, akkor ez a leképezés szükségképpen lineáris.

*5.1.8 Bizonyítsuk be, hogy

 a) a modulo p maradékosztályok teste, illetve

 b) a racionális számok teste

 feletti vektorterek esetében egy összegtartó leképezés szükségképpen lineáris.

 Mi a helyzet a valós test felett?

5.1.9 Legyen A lineáris leképezés V1-ről V2-be, c_iV1  Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha c_1 , . . . , c_k lineárisan független, akkor Ac_1 , . . . ,Ac_k is lineárisan független.

b) Ha Ac_1 , . . . ,Ac_k lineárisan független, akkor c_1 , . . . , c_k is lineárisan független.

c) Ha c_1 , . . . , c_k generátorrendszer V1-ben, akkor Ac_1 , . . . ,Ac_k generátorrendszer V2-ben.

d) Ha c_1 , . . . , c_k generátorrendszer V1-ben, akkor Ac_1 , . . . ,Ac_k generátorrendszer Im A -ban.

e) Ha Ac_1 , . . . ,Ac_k generátorrendszer Im A -ban, akkor c_1 , . . . , c_k generátorrendszer V1-ben.

5.1.10 Legyen A lineáris leképezés V1-ről V2-be. Bizonyítsuk be, hogy

 

5.1.11 Bizonyítsuk be, hogy Im A  bármely két elemének ugyanannyi ősképe van. Mennyi lehet ez a szám, ha a modulo 101 maradékosztályok teste feletti vektorterekről van szó?

5.1.12 Tegyük fel, hogy A lineáris leképezés V1-ről V2-be és u_1 , . . . , u_k olyan lineárisan független vektorok V1-ben, amelyekre Au_1= . . . =Au_k . Bizonyítsuk be, hogy dimKer Ak-1 .

5.1.13 Tegyük fel, hogy 0_V1 véges dimenziós, és legyen A tetszőleges nemnulla lineáris leképezés V1-ről V2-be. Bizonyítsuk be, hogy V1-nek van olyan b_1 , . . . , b_n bázisa, amelyre az Ab_i vektorok mind 0_-tól különbözők.

5.1.14 Legyen 0_V véges dimenziós vektortér és A :VZ lineáris leképezés. Bizonyítsuk be, hogy V-nek akkor és csak akkor van olyan bázisa, amelyre mindegyik báziselem képe ugyanaz, ha dimIm A1 .

5.1.15 Legyen A lineáris leképezés V1-ről V2-be. Egy tetszőleges HV1 részhalmaz képének az AH=Ax_  x_HV2 halmazt nevezzük. Legyen U és Z két altér V1-ben. Milyen kapcsolatban áll egymással

a) AUAZ és AUZ 

b) AU,Z és AU,AZ