Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

4.7. Koordináták

4.7. Koordináták

4.7.1 Definíció

Legyen b_1,,b_n egy rögzített bázis a V vektortérben. Ekkor minden v_V vektor egyértelműen írható fel v_=α1b_1+...+αnb_n alakban. Az αi skalárokat a v_ vektornak a b_1,,b_n bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.❶

Ha a közönséges háromdimenziós térben a szokásos merőleges egységvektorok alkotta bázist vesszük, akkor a koordináták éppen a szokásos koordináták lesznek. Ha Tn-ben azokat a bázisvektorokat tekintjük, amelyek egy komponense 1, a többi 0, akkor egy vektor koordinátái az őt alkotó komponensek lesznek. Más bázisban természetesen általában mások lesznek egy vektor koordinátái.

Ha a bázist rögzítjük, akkor a vektor helyett kényelmesen dolgozhatunk a koordinátáival. Két vektor összegének a koordinátáit éppen a megfelelő koordináták összegeként kapjuk, és hasonló érvényes a skalárszorosra is. Így a koordinátázással egy T feletti n-dimenziós V vektorteret tulajdonképpen Tn-re vezettünk vissza. Más szóval V és Tn algebrai szempontból „ugyanaz”, csak az elemeket és a műveleteket „másképp jelöjük”. Az egymással „ilyen” kapcsolatban álló vektortereket izomorfnak (=azonos alakúnak) nevezzük. Mindezt az 5.2 pontban fogjuk pontosítani.

Feladatok

4.7.1 Hogyan változnak egy vektor koordinátái, ha a bázisban

a) két elemet megcserélünk;

b) az egyik báziselemet λ(≠0)-val megszorozzuk;

c) az egyik báziselemhez egy másik λ-szorosát hozzáadjuk.

4.7.2 Adjuk meg az összes olyan vektort, amelynek a koordinátái bármely bázisban ugyanazok.

4.7.3 Tekintsük C3-ban az 125 , 378 , 252 bázist. Adjuk meg ebben a bázisban az 100 , 010  és 001 vektorok koordinátáit.

4.7.4 Legyen v_0_ adott vektor egy n-dimenziós vektortérben, és tekintsük az összes olyan b_1 , . . . , b_n bázist, amely szerint v_ első két koordinátája 1. Mik b_1 lehetséges értékei?

4.7.5

a) A szultán gondolt R1001-ben egy bázist, amit Seherezádénak 1001 éjszaka alatt ki kell találnia, különben kivégzik. Éjszakánként egyetlen — általa választott — vektorról megkérdezheti, hogy mik a koordinátái. Életben marad-e Seherezádé?

b) Mi a helyzet akkor, ha mindig csak az első koordinátára kérdezhet rá, és a kegyelem feltétele az első bázisvektor kitalálása?