Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

4.5. Bázis

4.5. Bázis

4.5.1 Definíció

Bázison lineárisan független generátorrendszert értünk.❶

A generátorrendszer definíciójából és a 4.4.3 Tétel V. állításából azonnal következik a

4.5.2 Tétel

Egy u_1,,u_m vektorrendszer akkor és csak akkor bázis, ha a vektortér minden eleme egyértelműen előáll az u_1,,u_m vektorok lineáris kombinációjaként.❶

Példák: Tn-ben, illetve Tk×n-ben bázist alkotnak azok a vektorok, illetve mátrixok, amelyeknek egyetlen eleme 1, a többi 0. Természetesen egy vektortérnek általában nagyon sok bázisa van. A közönséges háromdimenziós térben bármely három, nem egy síkba eső vektor bázist alkot.

A 0_ térnek nincs bázisa, ugyanis egyetlen eleme, a 0_ már önmagában lineárisan összefüggő. A valós számsorozatok szokásos vektorterének nincs (véges sok elemből) bázisa, hiszen már véges generátorrendszere sincs. Bázison a továbbiakban mindig véges sok vektorból álló rendszert fogunk érteni. A végtelen elemű bázis bevezetésének a lehetőségére ennek a pontnak a végén röviden utalunk.

Alapvető fontosságú a

4.5.3 Tétel

Egy vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.❶

Ennél erősebb tételt fogunk igazolni:

4.5.4 Tétel

Legyen f_ 1,,f_ n lineárisan független rendszer és g_ 1,,g_ k generátorrendszer egy V vektortérben. Ekkor nk.❶

A 4.5.4 Tételből valóban azonnal következik a 4.5.3 Tétel: az első bázist független rendszernek, a másodikat generátorrendszernek tekintve kapjuk, hogy az elsőnek legfeljebb annyi eleme van, mint a másodiknak, majd ugyanezt fordított szereposztásban is elvégezzük.

A 4.5.4 Tételre két bizonyítást adunk.

Első bizonyítás: Indirekt, tegyük fel, hogy n>k. Az ellentmondást úgy fogjuk kihozni, hogy megmutatjuk, hogy a

(1)

egyenlőség nem csak λ1=…=λn=0 esetén teljesül. Mivel a g_j-k generátorrendszert alkotnak, ezért valamennyi f_i előáll a g_j-k lineáris kombinációjaként:

Írjuk be ezeket az előállításokat (1)-be az f_i-k helyére, és rendezzük át a bal oldalt a g_j-k szerint:

Ezzel a 0_-t felírtuk a g_j-k lineáris kombinációjaként. Ha itt minden g_j együtthatója 0, akkor az egyenlőség biztosan teljesül (lehet, hogy máskor is, hiszen a g_j-k nem feltétlenül függetlenek). Az, hogy minden g_j együtthatója 0 legyen, az

feltételt jelenti. Ez egy olyan homogén lineáris egyenletrendszer a λ-kra, amelyben n ismeretlen van és csak k egyenlet, tehát az n>k indirekt feltevésünk szerint biztosan létezik nemtriviális megoldás. Vagyis (1) nem csak triviálisan teljesül, ami ellentmond az f_j-k függetlenségének.❷

Második bizonyítás:

4.5.5 Lemma (Kicserélési tétel)

Legyen f_1,,f_n lineárisan független rendszer és g_1,,g_k generátorrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármelyf_i-hez található olyan g_j hogy

is lineárisan független rendszer. (Azaz bármelyik f_i „kicserélhető” alkalmas g_j-vel.)❶

A kicserélési tétel bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy pl. f_1-re ez nem igaz, tehát az f_2,,f_n vektorokhoz akármelyik g_j-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Mivel f_2,,f_n független (4.4.3/I Tétel), így mindegyik g_j előáll ezek lineáris kombinációjaként (4.4.3/IV Tétel). Ekkor nyilván a g_j-k minden lineáris kombinációja is felírható az f_2,,f_n vektorokkal. A g_j-k azonban generátorrendszert alkotnak, tehát lineáris kombinációik kiadják az egész vektorteret. Így V minden eleme, speciálisan f_1 is előáll f_2,,f_n lineáris kombinációjaként. Ez viszont ellentmond f_1,,f_n lineáris függetlenségének.❷

Most levezetjük a kicserélési tételből a 4.5.4 Tételt. Cseréljük ki először f_1-et valamelyik g_j-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f_2-t alkalmas g_-re stb., egészen addig, amíg az f_i-k el nem fogynak. Az így nyert független rendszerben már csak g_-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Vagyis valóban legalább annyi g_-nek kellett lennie, mint f_-nek.❷

A következő két tétel azt mutatja, hogy nagyon sokféleképpen juthatunk bázishoz, nevezetesen, lényegében bármely generátorrendszerből kiválaszthatunk bázist, illetve bármely független rendszert kiegészíthetünk bázissá.

4.5.6 Tétel

Egy V0_ vektortér bármely (véges) generátorrendszere tartalmaz bázist.❶

Bizonyítás: Ha a generátorrendszer lineárisan független, akkor ő maga bázis. Ha összefüggő, akkor van benne olyan elem, amely előáll a többiek lineáris kombinációjaként, pl. g_k=μ1g_1+...+μk-1g_k-1  Ezt a g_k elemet elhagyva a maradék továbbra is generátorrendszert alkot, ugyanis bármely v_V-re

Ha az így kapott g_1,,g_k-1 generátorrendszer már független, akkor készen vagyunk. Ha összefüggő, akkor megismételjük az előzőket. Az eljárás előbb-utóbb befejeződik (a „legrosszabb” esetben akkor, amikor a generátorrendszer már csak egyetlen vektorból áll, ami V0_ miatt nem lehet a nullvektor és így biztosan független).

4.5.7 Tétel

Ha egy V vektortérnek van (véges) generátorrendszere, akkor bármely lineárisan független rendszer kiegészíthető bázissá.❶

Bizonyítás: Ha a független rendszer generátorrendszer is, akkor ő maga bázis. Ha nem, akkor van olyan v_ vektor, amely nem áll elő a független rendszer elemeinek lineáris kombinációjaként. Ekkor a független rendszerhez v_-t hozzávéve továbbra is független rendszert kapunk (4.4.3/IV Tétel). Ha még ez sem bázis, akkor az eljárást tovább folytatjuk. Mivel a vektortérnek van véges (mondjuk s elemű) generátorrendszere, tehát a 4.5.4 Tétel szerint ennél több független vektor nem lehet V-ben. Az eljárás így előbb-utóbb véget kell hogy érjen.❷

A 4.5.6 és 4.5.7 Tételek bizonyításai egyúttal módszert is adnak arra, hogyan lehet adott generátorrendszerből bázist kiválasztani, illetve adott független rendszert bázissá kiegészíteni.

A generátorrendszerhez és a lineáris függetlenséghez hasonlóan a bázis fogalmát is kiterjeszthetjük végtelen sok vektor esetére: bázison ekkor is lineárisan független generátorrendszert értünk. A 4.5.2 Tétel megfelelője úgy szól, hogy egy H vektorhalmaz akkor és csak akkor bázis, ha a vektortér minden eleme lényegében egyértelműen állítható elő véges sok H-beli vektor lineáris kombinációjaként; a „lényegében” jelző arra utal, hogy két előállítás csak 0 együtthatójú tagokban különbözhet egymástól. Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden V0_ vektortérnek van bázisa, ezt általában Hamel-bázisnak nevezik. A 4.5.3 Tétel megfelelője is érvényes: egy vektortér bármely két (Hamel-)bázisa azonos számosságú.

Feladatok

4.5.1 Tekintsük a legfeljebb 20-adfokú valós együtthatós polinomok szokásos vektorterét a valós test felett. Adjunk meg egy-egy bázist az alábbi alterekben. Egy általános polinomot f01x+…+α20x20-nal jelölünk. A jelölésben nem teszünk különbséget polinom és polinomfüggvény között.

a) {f|deg f≤10 vagy f=0};

b) {f|x3+1 osztója az f-nek};

c) {f|x3+1-gyel osztva az f konstans maradékot ad};

d) {f|f(5)=0};

e) {f|f együtthatóinak az összege 0};

f) {f|f(3)=2f(4)};

g) {f0113}.

4.5.2 Tekintsük a 2×3-as racionális elemű mátrixok szokásos Q2×3 vektorterét a racionális test felett. Döntsük el, hogy az alábbiak közül melyek alkotnak bázist. A lineárisan független rendszereket egészítsük ki bázissá, a generátorrendszerekből válasszunk ki bázist.

a) Azok a mátrixok, amelyeknek egyik eleme 0, a többi pedig 5;

b) azok a mátrixok, amelyeknek két eleme 0, a többi pedig 5;

c) azok a mátrixok, amelyekben valamelyik sor vagy oszlop minden eleme 5, a többi elem pedig 0;

d) azok a mátrixok, amelyekben valamelyik oszlop elemei (tetszőleges sorrendben) az 5 és a 6 , a többi elem pedig 0;

e) az 123456 mátrix és ennek tükörképei a mátrix(ot alkotó téglalap) függőleges, illetve vízszintes középvonalára, valamint középpontjára;

f) az 123468 mátrix és ennek tükörképei a mátrix(ot alkotó téglalap) függőleges, illetve vízszintes középvonalára, valamint középpontjára.

4.5.3 Maximális független rendszeren olyan független vektorrendszert értünk, amely már nem bővíthető, azaz a vektortér bármely elemét hozzávéve biztosan összefüggő rendszert kapunk. Maximális elemszámú független rendszer olyan független rendszert jelent, amelynél nagyobb elemszámú független rendszer nem található a vektortérben.

Bizonyítsuk be, hogy az imént definiált két fogalom bármely vektortérben egybeesik.

4.5.4 Az előző feladat mintájára definiáljuk a minimális, illetve a minimális elemszámú generátorrendszer fogalmát, és igazoljuk ezek egybeesését egymással és az előző feladatban értelmezett fogalmakkal.

4.5.5 Bizonyítsuk be, hogy ha egy vektortérben nincs 19 elemű generátorrendszer, akkor van benne 20 elemű független rendszer.

4.5.6 Tegyük fel, hogy a_1,a_2,a_3=b_1,b_2,b_3,b_4 Mit állíthatunk az a_1,a_2,b_1,b_2 vektorrendszerről lineáris függetlenség, illetve összefüggőség szempontjából?

4.5.7 Legyen W egy nemtriviális altér a V vektortérben. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) V tetszőleges bázisának W-be eső elemei bázist alkotnak W-ben.

b) W tetszőleges bázisa kiegészíthető V bázisává, feltéve hogy V-nek egyáltalán van bázisa.

c) Ha V-nek van k elemű bázisa, akkor W-nek van k elemű generátorrendszere.

d) Ha V-nek van k elemű bázisa, akkor W-nek van k elemű lineárisan független rendszere.

e) Ha W-nek van k elemű bázisa, akkor V-nek van k elemű generátorrendszere.

f) Ha W-nek van k elemű bázisa, akkor V-nek van k elemű lineárisan független rendszere.

4.5.8 Legyen n≥2 és u_1,,u_n bázis a valós test feletti V vektortérben. Az alábbi vektorrendszerek közül melyek alkotnak lineárisan független rendszert, generátorrendszert, illetve bázist?

a) u_1-u_2,u_2-u_3,,u_n-u_1

b) u_1-u_2,u_2-u_3,,u_n-1-u_n

c) u_1+u_2,u_2+u_3,,u_n+u_1

d) u_1+u_2,u_2+u_3,,u_n-1+u_n,u_n

e) u_1-u_2,u_2-u_3,,u_n-u_1,u_1+u_2+...+u_n

4.5.9 Legyen u_1,,u_n bázis a V vektortérben és v_=α1u_1+...+αnu_n Bizonyítsuk be, hogy u_1+v_,,u_n+v_ akkor és csak akkor bázis, ha α1+…+αn≠–1.

4.5.10 Legyen u_1,,u_n bázis a V vektortérben és

 

 Bizonyítsuk be, hogy v_1,,v_n akkor és csak akkor alkot bázist V-ben, ha a βij-kből képzett n×n-es determináns nem nulla.

4.5.11 Legyen u_1,,u_n illetve v_1,,v_n két tetszőleges bázis a V vektortérben. Bizonyítsuk be, hogy bármelyu_i-hez található olyan v_j hogy az u_i-t és v_j-t egymással kicserélve ismét két bázist kapunk.

4.5.12

a) Van-e a modulo 3 maradékosztályok F3 teste felett olyan vektortér, amelynek 243 eleme van?

b) Van-e a modulo 3 maradékosztályok F3 teste felett olyan vektortér, amelynek 300 eleme van?

**c) Bizonyítsuk be, hogy egy véges test elemszáma csak prímhatvány lehet.

d) Bizonyítsuk be, hogy egy véges vektortér elemszáma csak prímhatvány lehet.

4.5.13 Tegyük fel, hogy egy vektortérnek (van bázisa, de) csak véges sok bázisa van. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a vektortér csak véges sok elemből áll.

*4.5.14

a) Hány bázisa van az Fp test feletti Fp2 vektortérnek? És Fpn-nek?

b) Az Fp test feletti n×n-es mátrixok közül hánynak létezik inverze?

c) Bizonyítsuk be, hogy bármely p prímszámra és bármely n pozitív egészre