Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

4.4. Lineáris függetlenség

4.4. Lineáris függetlenség

A lineáris függetlenség és összefüggés fogalmával speciális esetben a mátrixok és egyenletrendszerek kapcsán a 3. fejezetben már foglalkoztunk. Az ott megismert definíciók szó szerint átvihetők tetszőleges vektortérre, és az alaptulajdonságok is érvényben maradnak. Most mindezeket röviden összefoglaljuk.

Legyen V vektortér a T test felett, u_1,,u_nV,     λ1,,λn T és tekintsük a λ1u_1+...+λnu_n lineáris kombinációt. Ha minden λi=0, akkor ez az ún. triviális lineáris kombináció nyilván a 0_ vektort eredményezi. Előfordulhat azonban, hogy a 0_ vektort más együtthatókkal, nemtriviális lineáris kombinációként is megkaphatjuk. Ebben az esetben az u_i vektorokat lineárisan összefüggőnek, ellenkező esetben pedig lineárisan függetlennek nevezzük. Azaz

4.4.1 Definíció

Az u_1,,u_mV vektorok lineárisan összefüggők, ha léteznek olyan λ1,,λm T skalárok, amelyek nem mind 0-k, és λ1u_1+...+λmu_m=0_

4.4.2 Definíció

Az u_1,,u_mV vektorok lineárisan függetlenek, ha λ1u_1+...+λmu_m=0_CSAK úgy valósulhat meg, ha mindegyik λi=0. Azaz

Egy u_1,,u_mV vektorrendszerre tehát a lineáris függetlenség és a lineáris összefüggés közül pontosan az egyik teljesül. A „lineáris” jelzőt a rövidség kedvéért gyakran elhagyjuk.

Ismét megemlítjük, hogy a „vektorrendszer” kifejezésben a „rendszer” szó arra utal, hogy (a halmazzal ellentétben) ugyanaz a vektor többször is előfordulhat az u_i-k között. Ez a körülmény lényegesen befolyásol(hat)ja a függetlenség kérdését: ha az u_i-k között szerepelnek azonos vektorok, akkor a vektorrendszer biztosan összefüggő.

Azonnal adódnak az alábbi egyszerű észrevételek. Egyetlen vektor egyedül akkor és csak akkor független, ha nem a nullvektor. Két vektor akkor és csak akkor lineárisan független, ha egyik sem skalárszorosa a másiknak. Több vektor esetén ez már nem igaz: például a síkban tetszőleges három vektor összefüggő.

FONTOS! A lineáris függetlenség fogalma számos „csapdát” rejt, ezért — főleg az elején — célszerű ezzel kapcsolatban mindent nagyon alaposan végiggondolni, nehogy egy hibás „szemlélet” alapján téves elképzelések alakuljanak ki.

A 3.3.5 Tétel tetszőleges vektortérben ugyanúgy érvényes:

4.4.3 Tétel

I. Ha egy (legalább kételemű) lineárisan független rendszerből egy tetszőleges elemet elhagyunk, akkor a maradék vektorok is lineárisan független rendszert alkotnak.

II. Ha egy lineárisan összefüggő rendszerhez egy tetszőleges vektort hozzáveszünk, akkor az így kapott vektorrendszer is lineárisan összefüggő.

III. Egy legalább kételemű vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha van benne (legalább egy) olyan vektor, amely előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként.

IV. Ha u_1,,u_m lineárisan független, de az u_m+1 vektor hozzávételével kapott rendszer lineárisan összefüggő, akkor u_m+1 előáll az u_1,,u_m vektorok lineáris kombinációjaként.

V. Tegyük fel, hogy valamely v_ vektor előáll az u_1,,u_m vektorok lineáris kombinációjaként. Ez az előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha u_1,,u_m lineárisan független.❶

Bizonyítás: Lásd a 3.3.5 Tételnél.❷

4.4.4 Definíció

Egy v_ vektor lineárisan függ az u_1,,u_m vektoroktól, ha v_ előáll az u_1,,u_m vektorok lineáris kombinációjaként.❶

Ha v_ lineárisan függ az u_1,,u_m vektoroktól, akkor a v_,u_1,,u_m vektorok lineárisan összefüggők, de megfordítva ez nem igaz! A 4.4.3 Tétel III. állítása szerint az összefüggőség azzal ekvivalens, hogy a vektorok között van olyan, amelyik lineárisan függ a többitől. (Egy összefüggő rendszerben egyébként általában több ilyen vektor van, és természetesen az is előfordulhat, hogy az összes vektor ilyen. Lásd a 4.4.4–4.4.6 feladatokat.)

A generált altér fogalmának felhasználásával azonnal adódik, hogy v_ pontosan akkor függ u_1,,u_m-től lineárisan, ha v_u_1,,u_m

Végül megemlítjük, hogy végtelen sok vektor lineáris függetlenségén azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lineárisan független. (A problémát – a generált altérnél látottakhoz hasonlóan – most is az okozza, hogy végtelen sok vektor lineáris kombinációjának nincs értelme.)

Feladatok (Lásd a 3.3 pont feladatait is.)

4.4.1 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha u_1,,u_100 lineárisan független és v_1,,v_100 is lineárisan független, akkor u_1,,u_100,   v_1,,v_100 is lineárisan független.

b) Ha u_1,,u_100,   v_1,,v_100 lineárisan független, akkor u_1,,u_100 és v_1,,v_100 is lineárisan független.

c) Ha u_1,,u_100 lineárisan független és v_1,,v_100 is lineárisan független, akkor u_1+v_1,,u_100+v_100 is lineárisan független.

d) Ha u_1+v_1,,u_100+v_100 lineárisan független, akkor u_1,,u_100 és v_1,,v_100 is lineárisan független.

e) Ha u_1,,u_100 között szerepel olyan vektor, amelyik valamelyik másik u_i-nek skalárszorosa, akkor u_1,,u_100 lineárisan összefüggő.

f) Ha u_1,,u_100 közül bármelyik 99 vektor lineárisan független, akkor u_1,,u_100 is lineárisan független.

g) Ha u_1,u_2,,u_100 lineárisan független, akkor u_1+u_2,u_3,,u_100 is lineárisan független.

h) Ha u_1,u_2,,u_100 lineárisan összefüggő, akkor u_1+u_2,u_3,,u_100 is lineárisan összefüggő.

i) Ha u_1,u_2,,u_100 lineárisan független, akkor u_1,u_2+u_2,,u_1+u_2+...+u_100 is lineárisan független.

j) Ha u_1,u_2,,u_100 lineárisan összefüggő, akkor u_1,u_1+u_2,,u_1+u_2+...+u_100 is lineárisan összefüggő.

4.4.2 Tegyük fel, hogy a_, b_ és c_ egyike sem a nullvektor. Mit állíthatunk a_ és c_ viszonyáról lineáris függetlenség, illetve összefüggőség szempontjából, ha tudjuk, hogy

a) a_, b_ lineárisan összefüggő, b_, c_ lineárisan összefüggő;

b) a_, b_ lineárisan független, b_, c_ lineárisan összefüggő;

c) a_, b_ lineárisan független, b_, c_ lineárisan független?

4.4.3 Tegyük fel, hogy egy végtelen test feletti vektortérben az u_1,,u_m vektoroknak csak véges sok lineáris kombinációja állítja elő a nullvektort. Következik-e ebből, hogy u_1,,u_m lineárisan független?

4.4.4 Tegyük fel, hogy az u_1,,u_m vektorok között pontosan egy olyan van, amely lineárisan függ a többi m–1 vektortól. Bizonyítsuk be, hogy ekkor ez szükségképpen a nullvektor.

4.4.5 Legyen m≥2 és 0≤sm. Adjunk meg m különböző vektort úgy valamely alkalmas vektortérben, hogy közöttük pontosan s darab olyan legyen, amely(ek mindegyike) lineárisan függ a többi m–1 vektortól.

4.4.6 Tegyük fel, hogy az u_1,,u_m vektorok lineárisan összefüggők. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha az u_i-k közül bármelyik m–1 lineárisan független, akkor mindegyik u_i lineárisan függ a többi m–1-től.

b) Ha mindegyik u_i lineárisan függ a többi m–1-től, akkor az u_i-k közül bármelyik m–1 lineárisan független.

c) Ha egy λ1u_1+...+λmu_m=0_ nemtriviális lineáris kombinációban λt≠0, akkor u_t lineárisan függ a többi m–1 vektortól.

d) Ha egy λ1u_1+...+λmu_m=0_ nemtriviális lineáris kombinációban λt=0, akkor u_t nem függ lineárisan a többi m–1 vektortól.

4.4.7 Tegyük fel, hogy a_,b_,c_,d_ lineárisan független, a_,b_,c_,e_ lineárisan összefüggő c_,d_,e_ lineárisan összefüggő és e_0_ Mit állíthatunk az a_,b_,d_,e_ vektorokról lineáris függetlenség, illetve összefüggőség szempontjából?

4.4.8 Tegyük fel, hogy a_,b_,c_ lineárisan független, de a_,b_,d_ is, a_,c_,d_ is és b_,c_,d_ is lineárisan összefüggő. Határozzuk meg a d_ vektort.

4.4.9 Tekintsük a komplex együtthatós polinomok szokásos vektorterét a komplex test felett. Vizsgáljuk meg az alábbi vektorrendszereket lineáris függetlenség, illetve összefüggőség szempontjából.

a) (x+1)(x+2), (x+2)(x+3), (x+3)(x+1);

b) (x+1)(x+2), (x+2)(x+3), (x+3)(x+4), (x+4)(x+1);

c) x3+ix2xi, –ix3x2+x+i, –x3ix2+ix+1, ix3+x2ix–1;

d) 1000 darab olyan polinom, amelyek mind különböző fokúak;

e) 1000 darab olyan polinom, amelyek mind azonos fokúak;

f) 1000 darab olyan valós együtthatós polinom, amelyek irreducibilisek a valós test felett;

g) 1000 darab olyan racionális együtthatós polinom, amelyek irreducibilisek a racionális test felett.

4.4.10 Legyen V a valós test feletti vektortér, m≥2, 1≤k<m, és tegyük fel, hogy az u_1,,u_m vektorok lineárisan függetlenek. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy

a) u_1+u_2,u_2+u_3,,u_m+u_1 illetve

b) u_1+u_2+...+u_k,u_2+u_3+...+u_k+1,,u_m+u_1+...+u_k-1

 lineárisan független legyen?

M4.4.11 Jelöljük VT-vel a Tk vektorteret a T test felett a szokásos műveletekre. Legyenek u_1,,u_m olyan k hosszúságú sorozatok, amelyek minden eleme 0 vagy 1. Ezeket T=Q, T=R és T=Fp-re is tekinthetjük VT elemeinek. Így mást és mást jelent(het) ezeknek a 0–1 vektoroknak a különböző testek „feletti” lineáris függetlensége. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

 Ha u_1,,u_m lineárisan független

a) T=R felett, akkor független T=Q felett is;

b) T=Q felett, akkor független T=R felett is;

c) T=Q felett, akkor független T=F2 felett is;

d) T=F2 felett, akkor független T=Q felett is;

e) T=Q felett, akkor független véges sok p kivételével minden T=Fp felett is.

4.4.12 Tekintsük a valós számokat a racionális test feletti vektortérként a szokásos műveletekre. Bizonyítsuk be, hogy

a) különböző prímszámok rögzített alapú logaritmusai mindig lineárisan függetlenek;

b) egy valós szám összes pozitív egész kitevős hatványai akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha a szám transzcendens. (A transzcendens szám definícióját lásd az A.7 pontban az A.7.6 Definíció után.)

4.4.13 Bizonyítsuk be, hogy az u_v_ direkt összeg akkor és csak akkor létezik, ha u_ és v_ lineárisan független, vagy u_ és v_ közül legalább az egyik 0_