Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

4.3. Generálás

4.3. Generálás

4.3.1 Definíció

Legyen V vektortér a T test felett, a_1,,a_nV,    λ1,λnT A λ1a_1+...+λna_n vektort az a_i vektorok (λi skalárokkal képzett) lineáris kombinációjának nevezzük.❶

Ismeretes, hogy a (közönséges háromdimenziós) térben három (vagy több) rögzített, nem egy síkba eső vektor lineáris kombinációjaként a tér minden vektora előállítható. Ezt a tényt szokás úgy is kifejezni, hogy az adott vektorok kifeszítik vagy generálják a teret. Tetszőleges vektortérre a megfelelő általánosítást az alábbi definíció szolgáltatja.

4.3.2 Definíció

Az a_1,,a_nV vektorokat a V vektortér generátorrendszerének nevezzük, ha V minden eleme előáll az a_i vektorok lineáris kombinációjaként.❶

A „rendszer” szó arra utal, hogy (a halmazzal ellentétben) ugyanaz a vektor többször is előfordulhat az a_i-k között. A generátorrendszer fogalmánál azonban ennek nemigen van jelentősége, ugyanis a lineáris kombinációk halmazát nyilván nem befolyásolja, ha (a többi vektor változatlanul hagyása mellett) valamelyik vektort egy vagy több példányban szerepeltetjük. (A lineáris függetlenség kérdésénél más a helyzet, lásd a 3.3, illetve 4.4 pontban.)

A vektortér elemei általában többféleképpen is felírhatók egy adott generátorrendszer elemeinek lineáris kombinációjaként. Később látni fogjuk, hogy különösen fontos szerepet játszanak az olyan generátorrendszerek, amelyek segítségével a vektortér minden eleme egyértelműen állítható elő, ezek az ún. bázisok (lásd a 4.5 pontot).

Egy vektortérnek általában nagyon sok generátorrendszere lehet, gyakran előfordul azonban az is, hogy egyáltalán nincs (véges) generátorrendszere (lásd a 4.3.2 feladatot). A végtelen generátorrendszer bevezetésének a lehetőségét ennek a pontnak a végén fogjuk jelezni. Néhány, külön jelzett helytől eltekintve azonban generátorrendszeren mindig véges sok (de legalább egy) elemből álló generátorrendszert fogunk érteni.

Az a_1,,a_nV vektorok összes lineáris kombinációinak a halmaza abban az esetben is fontos szerepet játszik, ha az a_i vektorok nem alkotnak generátorrendszert. Ez indokolja a következő definíciót.

4.3.3 Definíció

Az a_1,,a_nV vektorok által generált altéren az a_i vektorok összes lineáris kombinációinak a halmazát értjük, és ezt a_1,,a_n-nel jelöljük. Azaz:

A definíció alapján pl. az egy vektor által generált altér az adott vektor összes skalárszorosaiból áll. A (közönséges háromdimenziós) térben két nem egy egyenesbe eső vektor által generált altér az általuk „kifeszített” sík. Az is nyilvánvaló, hogy az a_1,,a_nV vektorok pontosan akkor alkotnak generátorrendszert V-ben, ha a_1,,a_n=V

A „generált altér” elnevezés jogosságát az alábbi tétel támasztja alá:

4.3.4 Tétel

U = a _ 1 , , a _ n az a_i vektorokat tartalmazó legszűkebb altér, azaz

(i) U altér;

(ii) a_iUi=1,…,n;

(iii) ha W altér és a_iWi=1,…,n, akkor UW

Bizonyítás: (i) Egyszerű számolással adódik, hogy a lineáris kombinációk halmaza altér. (ii) A λi=1, λj=0, ha j≠i skalárokkal képezett lineáris kombináció éppen a_i tehát ez az altér tartalmazza az a_i vektorokat. Végül (iii): Ha egy W altér tartalmazza az a_i vektorokat, akkor ezek skalárszorosait, majd az ezekből képezett összegeket is tartalmaznia kell. Vagyis minden lineáris kombináció szükségképpen eleme W-nek.❷

Megjegyezzük, hogy szokás a generált altér fogalmát éppen az (i)-(iii) tulajdonságokkal definiálni. A kétféle definíció ekvivalenciáját a 4.3.4 Tétel biztosítja. A generált altér egy harmadik jellemzését lásd a 4.3.9 feladatban.

Külön kiemeljük, hogy egy altér generátorrendszere mindig magának az altérnek az elemeiből kell, hogy álljon, „külső” elemek nem jöhetnek szóba (ez nyilvánvalóan adódik pl. a 4.3.4 Tétel (ii) állításából).

Most a két altér által generált altér fogalmát vezetjük be.

4.3.5 Definíció

Legyenek W és Z alterek a V vektortérben. A W és Z által generált altérnek a w_+z_  |  w_W,   z_Z alteret nevezzük, és ezt W,Z-vel vagy W+Z-vel jelöljük.❶

A 4.3.4 Tételhez hasonlóan adódik, hogy W,Z éppen a két alteret tartalmazó legszűkebb altér (lásd a 4.3.11 feladatot).

Fontos az az eset, amikor W,Zelemei egyértelműen írhatók fel w_+z_ alakban w_W, z_Z Erre vonatkozik a következő tétel.

4.3.6 Tétel

Legyenek W és Z alterek V-ben. A W,Z altér elemeinek w_+z_ alakban történő előállítása (ahol w_W, z_Z) akkor és csak akkor egyértelmű, ha WZ=0_

Bizonyítás: Tegyük fel először, hogy WZ=0_ és valamely x_W,Z-re

Az egyenlőséget átrendezve w_1-w_2=z_2-z_1 adódik. Itt a bal oldalon W-beli, a jobb oldalon pedig Z-beli vektor áll, tehát a feltétel miatt ez csak a 0_ lehet. Vagyis w_1=w_2, z_1=z_2 amivel az egyértelműséget igazoltuk.

Megfordítva, tegyük fel, hogy minden vektor egyértelműen áll elő a kívánt alakban, és legyen u_WZ Ekkor u_=u_+0_=0_+u_ két különböző előállítást jelent, ha u_0_ Vagyis csak u_=0_ lehetséges, azaz valóban WZ=0_

A WZ=0_ esetben a W és Z altereket diszjunktaknak nevezzük (ennél „diszjunktabbak” nem lehetnek, hiszen a 0_ vektor bármely altérnek eleme).

4.3.7 Definíció

Ha WZ=0_ akkor a W,Z alteret a W és Z direkt összegének hívjuk, és WZ-vel jelöljük.❶

Direkt összegről tehát csak diszjunkt alterek esetén beszélhetünk.

Végtelen sok vektor generátuma

A problémát ekkor az jelenti, hogy végtelen sok vektor összegét (általában) nem tudjuk értelmezni. Tekinthetjük azonban az adott vektorok összes véges részhalmazának összes lineáris kombinációit:

4.3.8 Definíció

Legyen H a T test feletti V vektortér tetszőleges nemüres részhalmaza. Ekkor a H által generált H altéren a H halmaz elemeivel minden lehetséges módon képezett összes (véges, de tetszőlegesen hosszú) lineáris kombinációt értjük.❶

Most is megmutatható, hogy H az a legszűkebb altér, amely H-t tartalmazza. Az is könnyen adódik, hogy ha W és Z alterek, akkor W,Z= WZ

Ebben az általánosabb értelemben egy HV részhalmaz akkor generátorrendszere V-nek, ha H=V Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy bármely v_V vektorhoz található véges sok olyan H-beli vektor, hogy v_ felírható ezek alkalmas lineáris kombinációjaként. Más és más v_-hez általában más és más H-beli vektorok tartoznak, sőt többnyire még ezek darabszáma sem lesz korlátos.

Ily módon már bármely V vektortérnek létezik generátorrendszere, hiszen pl. nyilvánvalóan V=V

A végesben megszokott szemléletünk most csalóka lehet: a valós együtthatós polinomok szokásos vektorterében az 1, x, x2, … polinomok — a várakozásunknak megfelelően — generátorrendszert alkotnak, azonban a valós számsorozatok szokásos vektorterében nem alkotnak generátorrendszert azok a sorozatok, amelyeknek egyetlen tagja 1, a többi pedig 0, ugyanis ilyenek véges lineáris kombinációjaként nem áll elő például a csupa 1-ből álló sorozat.

Feladatok

4.3.1 Az alábbi vektorrendszerek közül melyek alkotnak a szokásos C4 vektortérben generátorrendszert?

a) 1010  ,    0101  ,    1001  ,    0110  ,    1111

b) 1-100  ,    10-10  ,    100-1  ,    01-10  ,    010-1  ,    001-1

c) 1111  ,    1248  ,    13927  ,    141664

4.3.2 A 4.1 pontban, valamint a 4.1.1–4.1.3 feladatokban szereplő példák közül mely vektortereknek van véges generátorrendszere?

4.3.3 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha egy generátorrendszerhez egy tetszőleges vektort hozzáveszünk, akkor ismét generátorrendszert kapunk.

b) Ha egy legalább kételemű generátorrendszerből egy tetszőleges vektort elhagyunk, akkor ismét generátorrendszert kapunk.

c) Minden legalább kételemű generátorrendszerben van olyan vektor, amelyet elhagyva a maradék vektorok továbbra is generátorrendszert alkotnak.

d) Ha egy generátorrendszerben előfordul két azonos vektor, akkor ezek egyik példányát elhagyva a maradék vektorok továbbra is generátorrendszert alkotnak.

e) Egy legalább kételemű generátorrendszerben akkor és csak akkor van olyan vektor, amelyet elhagyva a maradék vektorok továbbra is generátorrendszert alkotnak, ha a generátorrendszer valamelyik eleme felírható a többi elem lineáris kombinációjaként.

4.3.4 Legyen V a valós együtthatós polinomok szokásos vektortere. Melyek igazak az alábbi tartalmazások közül?

a) x3+7x2+5xx3+2x, 3x3+4x, 5x2+6x

b) x3+7x2+5x3+2x, 3x3+4x, 5x2+6x

c) x-1x3-x,x3-x2,x3-1, 2x2-3x+1

d) x+1x3-x,x3-x2,x3-1, 2x2-3x+1

e) x+1x3-x,x3-x2,x3-1, 2x2+3x+1

4.3.5 Tegyük fel, hogy egy V vektortér a_,b_ és c_ elemeire a_+b_+c_=0_ Bizonyítsuk be, hogy a_,b_=a_,c_

4.3.6 Tegyük fel, hogy egy V vektortér a_,b_,c_ és d_ elemeire a_+b_+c_+d_=0_ Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) a_,b_=a_,c_ b) a_,b_=c_,d_ c) a_,b_,c_=a_,c_,d_

d) a_,b_,c_=a_,d_ e) a_,b_,c_a_,d_

4.3.7 Tegyük fel, hogy egy V vektortér a_,b_ és c_ elemeire a_b_,c_,b_a_,c_ és c_a_,b_ Határozzuk meg a c_ vektort.

4.3.8 Bizonyítsuk be, hogy adott a_1,,a_nV vektorok esetén csak egy olyan U létezik, amely kielégíti a 4.3.4 Tétel (i)–(iii) követelményeit.

4.3.9 Bizonyítsuk be, hogy az a_1,,a_nV vektorok által generált altér megegyezik az a_i-ket tartalmazó összes altér metszetével.

4.3.10 Legyen V az összes valós számon értelmezett valós értékű függvények szokásos vektortere. Egy általános függvényt f-fel jelölünk. Jellemezzük a W és Z alterek által generált W,Z alteret, ahol

a) W={páros függvények}, Z={páratlan függvények};

b) W={ff(5)=0}, Z={ff(6)=0};

c) W={ff(x)=0, ha x≠5}, Z={ff(x)=0, ha x≠6};

d) W=f | x Q fx=0,     Z=f | x Q fx=0

e) W=f | x,y Q fx=fyZ=f | x,y Q fx=fy

 Mely esetekben lesz W,Z=WZ

4.3.11 Legyenek W és Z alterek V-ben. Bizonyítsuk be, hogy W,Z éppen a két alteret tartalmazó legszűkebb altér. (Fogalmazzuk meg pontosan, hogy mit jelent a „legszűkebbség”.)

4.3.12 Legyenek W1, W2 és W3 alterek V-ben. Milyen kapcsolatban áll egymással

a) W1,W2W3 és W1W3, W2W3

b) W1W2, W3 és W1,W3W2,W3

c) W1W3 esetén W1,W2W3 és W1,W2W3

4.3.13 Legyen V a valós számsorozatok szokásos vektortere. Egy általános sorozatot S=(α0, α1, …, αn, …) formában jelölünk. Döntsük el, hogy V direkt összege-e W-nek és Z-nek, ahol

a) W={S5=0}, Z={S6=0};

b) W={S5=0}, Z={Si=0, ha i≠5};

c) W={S5=0}, Z={S1=…=α5, α67=…=0};

d) W={S5=0}, Z={S5≠0};

e) W={Si=0, ha i páros}, Z={Si=0, ha i páratlan};

f) W={Si=0, ha i≠5}, Z={Si=0, ha i≠6}.

*4.3.14 Általánosítsuk a 4.3.5 Definíciót és a 4.3.6 Tételt kettőnél több (de véges sok) altérre, majd ennek alapján a direkt összeg fogalmát is (4.3.7 Definíció) terjesszük ki kettőnél több altér esetére.

*4.3.15 Adjuk meg a 4.1.1–4.1.3 feladatokban szereplő részhalmazok által generált altereket, kivéve a 4.1.2 feladat n) és a 4.1.3 feladat h) részét.

*4.3.16 Tekintsük az összes valós számon értelmezett valós értékű függvényeket a racionális test feletti vektortérként a szokásos műveletekre. Legyen ebben H az egész értékű függvények halmaza. Döntsük el, hogy az alábbi függvények elemei-e a H által generált H altérnek.

a) fx=5/7,   ha xQ;3/8,   ha xQ.

b) gx=1/x,   ha x=1,2,3,;0,       egyébként.         

**c) Oldjuk meg a feladatot abban az esetben is, ha a racionális test helyett a valós testet vesszük.

4.3.17 Tekintsük a valós számsorozatok szokásos V vektorterét a valós test felett. Generátorrendszert alkotnak-e V-ben az alábbi részhalmazok?

a) Azok a sorozatok, amelyeknek minden eleme 0 vagy 1;

**b) azok a sorozatok, amelyeknek minden eleme racionális;

c) azok a sorozatok, amelyeknek minden eleme irracionális.