Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

4.2. Altér

4.2. Altér

4.2.1 Definíció

Egy T test feletti V vektortér egy nemüres WV részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon T felett ugyanazokra a V-beli vektortérműveletekre (pontosabban ezeknek a műveleteknek a W-re történő megszorításaira) nézve.❶

Azt, hogy W altér V-ben, szokás W≤V módon jelölni.

Vegyük észre, hogy az altér nem egyszerűen olyan részhalmaz, amely egyben vektortér is, hanem ennél jóval több: W részstruktúrája a V vektortérnek; a W szempontjából a T test és a műveletek eleve adottak. Ily módon pl. a 4.1.5 feladatban szereplő vektortér nem altere a valós számok önmaga feletti szokásos vektorterének.

Egy WV részhalmaz tehát akkor lesz altér, ha kielégíti az összes vektortéraxiómát. Lehet, hogy már magával (Ö)-vel és/vagy (S)-sel, vagyis a műveletek értelmezésével baj van, mert W nem zárt a V-beli műveletekre vagy ezek valamelyikére, más szóval (legalább) az egyik V-beli művelet kivezet W-ből. Az alábbi tétel mutatja, hogy a műveleti zártság viszont már biztosítja az altérséget, azaz, ha a műveletek nem vezetnek ki, akkor a többi axiómával sem lehet baj.

4.2.2 Tétel

Egy T test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

(i) u_,v_Wu_+v_W

(ii) v_W, λTλv_W

Bizonyítás: Ha W altér, akkor (i) és (ii) nyilván teljesülnek, hiszen — mint láttuk — ezek csak azt fejezik ki, hogy a V vektortér műveleteinek a megszorításai a W halmazon is műveletek.

A megfordításhoz be kell látnunk, hogy (i) és (ii) fennállása esetén a vektortéraxiómák mind teljesülnek. Az „azonosság típusú” axiómák, tehát (Ö1), (Ö2), (S1)–(S4) mindentől függetlenül V valamennyi elemére, így W elemeire is igazak. Azt kell tehát csak belátni, hogy W-ben van nullelem, és minden elemnek van ellentettje. Legyen v_W tetszőleges (ilyen v_ elem létezik, hiszen W ekkor (ii) miatt 0_=0v_W és ez nyilván megfelel nullelemnek W-ben is. Ezután tetszőleges v_W-re-v_=-1v_W eleget tesz az ellentett követelményének.❷

Megjegyezzük, hogy a 4.2.1 Definícióban a W feltételt nem kellett volna külön előírni, hiszen egy vektortér eleve nem lehet az üres halmaz, azonban a 4.2.2 Tételnél nem hagyható el ez a kikötés, ugyanis az (i) és (ii) feltételeket az üres halmaz is teljesíti.

A tétel alapján így annak eldöntéséhez, hogy egy vektortér adott részhalmaza altér-e, nem kell valamennyi axiómát végignézni, hanem elég csupán a műveleti zártságot ellenőrizni. Egy másik jól használható kritériumot ad a 4.2.5 feladat a) része.

A tétel bizonyításából azt is kaptuk, hogy a W altér nulleleme megegyezik a V vektortér nullelemével, és hasonló a helyzet az ellentettel. Ez magából a nullelem fogalmából, sőt egyértelműségéből sem következik (lásd a 4.2.14 és 4.2.15 feladatokat).

Példák altérre

P1. Bármely vektortérben az egész tér, illetve a csak a 0_ vektorból álló részhalmaz mindig altér. Ezeket triviális altereknek nevezzük. (A csak 0_-ból álló alteret 0_ helyett röviden 0_-val fogjuk jelölni, tehát ezt az alteret és magát a 0_ vektort jelölésben nem fogjuk megkülönböztetni egymástól.)

P2. Jellemezzük az origóból kiinduló vektorokat a végpontjukkal. Ekkor a(z origóból induló) síkvektorok szokásos vektorterében pontosan az origón átmenő egyenesek a nemtriviális alterek, a térvektorok esetében pedig az origón átmenő egyenesek és síkok.

P3. Bármely vektortérben egy tetszőleges, de rögzített vektor összes skalárszorosai mindig alteret alkotnak.

P4. Legyen ATk×n egy tetszőleges, de rögzített k×n-es mátrix. Ekkor KerA=x_Tn | Ax_=0_ altér Tn-ben és Im A=Ax_ | xTn_=y_Tk | x_Tn  Ax_=y_ altér Tk-ban. Ezt a két alteret az A mátrix magterének, illetve képterének hívjuk.

Feladatok

4.2.1 Mi köze van az altér fogalmához a 4.1.1–4.1.3 feladatoknak?

4.2.2 Legyen V a T test feletti 100×100-as mátrixok szokásos T100×100 vektortere. Az alábbi részhalmazok közül melyek alterek V-ben?

a) AV | AB=BA ahol BT100×100 egy rögzített mátrix;

b) AV | AB=0 ahol BT100×100 egy rögzített mátrix;

c) AV | A2=0

d) a nilpotens mátrixok (van olyan hatványuk, amelyik a 0 mátrix);

e) a szinguláris mátrixok (beleértve a 0 mátrixot is);

f) a 3 rangú mátrixok és a 0 mátrix;

g) a legfeljebb 3 rangú mátrixok;

h) a diagonális mátrixok (a főátlón kívül minden elem 0);

i) a felsőháromszög-mátrixok (a főátló alatt minden elem 0);

j) a szimmetrikus mátrixok (minden i,j-re αijji).

4.2.3 Milyen módszerrel lehet általában egy adott mátrix magterét és képterét meghatározni? Mi lesz Ker A és Im A az A=123423453456 mátrix esetén?

4.2.4 Adjunk példát olyan vektortérre és abban olyan részhalmazra, amely

 a) az összeadásra zárt, de a skalárral való szorzásra nem;

 b) a skalárral való szorzásra zárt, de az összeadásra nem;

 c) sem az összeadásra, sem a skalárral való szorzásra nem zárt.

 Bármilyen test felett tudunk mindhárom esetre példát mutatni?

4.2.5 Legyen V vektortér a T test felett és W a V egy nemüres részhalmaza. Az alábbi feltételek közül melyekből következik, hogy W altér V-ben?

a) u_,v_W, λ, μTλu_+μv_W

b) u_,v_W, λ Tλu_+v_W

c) u_,v_W, λ Tλu_W és u_-v_W

d) u_,v_W, λ Tλu_W valamint u_+v_W és u_-v_W közül legalább az egyik teljesül;

e) u_+v_Wu_W és v_W

f) u_+v_Wu_W és v_W közül legalább az egyik teljesül.

4.2.6 Legyen V vektortér a T test felett és W a V egy nemtriviális altere. Melyek igazak az alábbi állítások közül u_, v_V, λT?

a) u_+v_Wu_,v_W

b) λ0, λv_Wv_W

c) u_W, v_Wu_+v_W

d) u_W, v_Wu_+v_W

e) u_W, v_Wu_+v_W

4.2.7 Legyen V vektortér R felett, W egy nemtriviális altér V-ben és u_,v_V Az alábbi feltételekből mi következik az u_,v_ vektorok és W viszonyára (tartalmazási szempontból)? Ha több eset is lehetséges, akkor ezek mindegyikére adjunk példát.

a) u_+v_W

b) u_+v_W

c) 2u_+3v_W, u_+7v_W

d) 2u_+3v_W, u_+7v_W

e) 2u_+3v_W, u_+7v_W

 Mennyiben változik a helyzet más test esetén?

4.2.8 Legyen W altér a valós test feletti V vektortérben, u_, v_,w_V és tegyük fel, hogy

 

 Mit állíthatunk az 5u_+3v_+w_ illetve 6u_+3v_+w_ vektorok és W kapcsolatáról? (Az illető vektor biztosan eleme-e az altérnek, biztosan nem eleme az altérnek, vagy mindkét eset előfordulhat?)

4.2.9 Jellemezzük azokat a vektortereket, amelyeknek csak triviális alterei vannak.

4.2.10 Bizonyítsuk be, hogy ha egy végtelen test feletti vektortérnek van nemtriviális altere, akkor végtelen sok altere van.

4.2.11 Hány altere van az F2 test feletti F22 vektortérnek? Hát az Fp test feletti Fp2-nek? (A további általánosítást lásd a 4.6.14 feladatnál.)

4.2.12

a) Bizonyítsuk be, hogy egy vektortérben akárhány altér metszete is altér.

b) Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy két altér egyesítése is altér legyen.

c) Lehet-e két altér halmazelméleti különbsége vagy szimmetrikus differenciája altér?

*d) Lehet-e három egymást páronként nem tartalmazó altér egyesítése altér?

M**e) Legyen T végtelen test. Bizonyítsuk be, hogy egy T feletti vektortér nem állhat elő véges sok valódi alterének az egyesítéseként.

M**f) Legyen T véges test. Bizonyítsuk be, hogy egy T feletti vektortér nem állhat elő |T|+1-nél kevesebb valódi alterének az egyesítéseként.

M**g) Legyen T véges test. Bizonyítsuk be, hogy ha egy T feletti vektortérnek nem csak triviális alterei vannak, akkor előáll |T|+1 darab valódi alterének az egyesítéseként.

4.2.13 Legyen W altér a V vektortérben és UW Bizonyítsuk be, hogy U akkor és csak akkor altér V-ben, ha altér W-ben (vagyis az altérség nem függ attól, hogy „mekkora” az eredeti vektortér).

4.2.14 Legyen V=cR | c3T=Q, és definiáljuk az összeadást és a skalárral való szorzást a következőképpen:

 

 Legyen W=cR | c5 ekkor W zárt a és  műveletekre. Továbbá V nulleleme a 3, W-é pedig az 5. Hogyan fér ez össze azzal, hogy egy altér nulleleme szükségképpen megegyezik a vektortér nullelemével (lásd a 4.2.2 Tétel bizonyítását)?

4.2.15 Az alábbiakban négy bizonyítást adunk arra, hogy egy altér nulleleme szükségképpen megegyezik a vektortér nullelemével, ezek közül azonban csak az egyik helyes. Melyik a helyes, és mi a hiba a többiben? (A V vektortér nullelemét 0_V a W altérét pedig 0_W jelöli.)

a) Mivel 0_V+v_=v_ minden v_V vektorra, tehát W elemeire is teljesül, ezért 0_V definíció szerint W-nek is nulleleme. A W-beli nullelem egyértelműsége alapján így 0_W=0_V

b) Ha 0_W0_V lenne, akkor V-ben két nullelem lenne, ami ellentmond a V-beli nullelem egyértelműségének.

c) Legyen v_W tetszőleges. Ekkor 0_V+v_=v_ és 0_W+v_=v_ egyaránt fennáll, tehát 0_V+v_=0_W+v_ Itt mindkét oldalhoz a v_ vektor W-beli ellentettjét hozzáadva a kívánt 0_V=0_W egyenlőséget kapjuk.

d) Legyen v_W tetszőleges. Ekkor 0_V+v_=v_ és 0_W+v_=v_ egyaránt fennáll, tehát 0_V+v_=0_W+v_ Itt mindkét oldalhoz a v_ vektor V-beli ellentettjét hozzáadva a kívánt 0_V=0_W egyenlőséget kapjuk.

4.2.16 Legyen W altér a T test feletti V vektortérben és u_W tetszőleges rögzített vektor. Az u_+W=u_+w_ | w_W halmazt a W altér eltoltjának vagy lineáris sokaságnak nevezzük.

a) Adjuk meg a síkvektorok, illetve a térvektorok szokásos vektorterében az összes lineáris sokaságot.

b) Bizonyítsuk be, hogy ugyanazon W altér szerint képzett két lineáris sokaság vagy diszjunkt, vagy egybeesik.

*c) Bizonyítsuk be, hogy ha különböző alterek szerint képezünk két lineáris sokaságot, és ezek nem diszjunktak, akkor a metszetük is lineáris sokaság.

*d) Bizonyítsuk be, hogy a nemüres LV akkor és csak akkor lineáris sokaság, ha

 

*4.2.17 Legyen W altér a T test feletti V vektortérben, és tekintsük a W szerint képezett lineáris sokaságok, vagyis W összes (különböző) eltoltjainak az F halmazát. Definiáljuk F-en az összeadást és a skalárral való szorzást a következőképpen:

 

 Bizonyítsuk be, hogy ezekre a műveletekre F vektorteret alkot a T test felett. Ezt a teret a V vektortér W altere szerint vett faktortérnek nevezzük, és V/W-vel jelöljük.