Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

3.4. A mátrix rangja

3.4. A mátrix rangja

A mátrixokra háromféle rangfogalmat definiálunk, kettőt a lineáris függetlenség és egyet a determinánsok segítségével, majd megmutatjuk, hogy ezek bármely mátrix esetén megegyeznek. Az is kiderül, hogy ez a közös érték éppen az RLA-beli vezéregyesek száma. Ennek alapján a rang kiszámítása is a legegyszerűbben általában a Gauss-kiküszöbölés segítségével történhet. Végül az egyenletrendszerek megoldhatóságának, illetve egyértelmű megoldhatóságának a feltételét fogjuk a rang segítségével megfogalmazni.

Tekintsünk egy ATk×n mátrixot. Ennek n darab oszlopvektora van, amelyek Tk-beli vektorok. Hasonlóképpen értelmezhetjük a sorvektorokat is, ez k darab Tn-beli vektort jelent. (A sorvektorok tulajdonképpen 1×n-es és nem n×1-es mátrixok, azonban általában nem lényeges, hogy a két fogalom, azaz T1×n és Tn×1 között különbséget tegyünk, és így mindkettőt Tn-nel fogjuk jelölni.) Az A mátrix sorvektorai éppen az AT transzponált mátrix oszlopvektorai.

A mátrix oszloprangját az oszlopai közül kiválasztható lineárisan független vektorok maximális számaként értelmezzük:

3.4.1/O Definíció

Egy A mátrix oszloprangja r, ha A oszlopvektorai között található r lineárisan független, de r-nél több nem.❶

Az, hogy r-nél több független oszlop nem választható ki, azt jelenti, hogy akárhogyan veszünk r-nél több oszlopot, ezek szükségképpen lineárisan összefüggők (vagy már eleve is csak r oszlop volt összesen).

Ha az oszloprang r, akkor általában többféleképpen is kiválasztható r darab lineárisan független oszlop, sőt még az is előfordulhat, hogy bármelyik r darab oszlop lineárisan független (lásd a 3.4.13 feladatot).

Áttérve a sorokra, a sorrang analóg módon a sorvektorok közül a függetlenek maximális számát jelenti:

3.4.1/S Definíció

Egy A mátrix sorrangja r, ha A sorvektorai között található r lineárisan független, de r-nél több nem.❶

Könnyen adódik (lásd a 3.4.1 feladatot), hogy mindkét definícióban az „r-nél több” szavak helyett elég „r+1”-et írni.

Ahogy már jeleztük, be fogjuk látni, hogy a két látszólag teljesen eltérő fogalom mindig egybeesik.

Példák: Az 123456789101112 mátrix oszloprangja 2, mert pl. az első két oszlop lineárisan független, azonban bármely három oszlopvektor már lineárisan összefügg. A sorrang — összhangban az előrebocsátott megjegyzéssel — szintén 2. A nullmátrix oszloprangja 0, hiszen bármely egyetlen oszlopa már önmagában is összefüggő. Az n×n-es E egységmátrix (oszlop- és sor)rangja n, ugyanis az oszlopai lineárisan függetlenek. Egy k×n-es mátrix oszloprangja nyilván egyrészt legfeljebb n, másrészt legfeljebb k, hiszen az oszlopok Tk-ból valók és ott bármely k+1 vektor már biztosan összefügg [tehát a(z oszlop)rang kisebb vagy egyenlő, mint a sorok és oszlopok számának a minimuma].

A determinánsranghoz szükségünk lesz az általános aldeterminánsfogalomra. Aldeterminánson ezután egy tetszőleges négyzetes részmátrixnak a determinánsát értjük: kiválasztjuk a mátrix valahány (mondjuk h) sorát, majd ettől függetlenül ugyanennyi oszlopát, és az ezek metszéspontjaiban álló (h2 darab elemből képzett) h-adrendű (azaz h×h-as) determinánst vesszük. A(z n-edrendű) determináns kifejtésénél szerepet játszó Aij előjeles aldetermináns „előjel nélküli része” ennek h=n–1 speciális esete volt.

A mátrix determinánsrangja a legnagyobb méretű nemnulla aldetermináns rendje:

3.4.1/D Definíció

Egy A mátrix determinánsrangja r, ha van olyan r×r-es aldeterminánsa, ami nem nulla, de bármely r-nél nagyobb rendű aldeterminánsa (ha egyáltalán van ilyen) már nulla.❶

Az „r-nél nagyobb” szavak helyére most is „r+1”-et írhatunk (lásd a 3.4.1 feladatot).

Az oszloprangnál említettekhez hasonlóan az r×r-es aldeterminánsok között több olyan is lehet, amelyik nem nulla (lásd a 3.4.14 feladatot).

A fenti első példában szereplő mátrixnál pl. a bal felső 2×2-es aldetermináns nem nulla, ugyanakkor bármely 3×3-as aldetermináns nulla, így a determinánsrang (is) 2. Az is világos, hogy a determinánsrang (is) mindig legfeljebb akkora, mint a sorok vagy az oszlopok száma, hiszen ennél nagyobb aldetermináns már nem is készíthető. Könnyen adódik, hogy egy mátrixnak és a transzponáltjának megegyezik a determinánsrangja, ugyanis AT aldeterminánsait A megfelelő aldeterminánsainak transzponáltjaként kapjuk, és a transzponálás nem változtatja meg a determináns értékét.

3.4.2 Tétel

Bármely mátrix oszloprangja, sorrangja és determinánsrangja megegyezik.❶

Ezt a közös értéket nevezzük a mátrix rangjának (minden külön jelző nélkül). Az A mátrix rangját r(A)-val jelöljük.

Bizonyítás: Jelölje (ideiglenesen) az A mátrix oszlop-, sor-, illetve determinánsrangját o(A), s(A), illetve d(A).

I. Tegyük fel, hogy o(A) és d(A) egyenlőségét már beláttuk. Innen s(A)=d(A) már könnyen következik a transzponált felhasználásával: s(A)=o(AT)=d(AT)=d(A).

II. Az oszlop- és determinánsrang egyenlőségéhez először megmutatjuk, hogy az elemi sorekvivalens átalakítások során egyik sem változik, és ezután már elég azt igazolnunk, hogy a Gauss-kiküszöböléssel kapott RLA-ban mindkettőt éppen a vezéregyesek száma adja.

III. Az oszlopranghoz (bizonyos) oszlopok lineáris függetlenségét kell vizsgálni. Ez olyan homogén lineáris egyenletrendszert jelent, amelynek az együtthatómátrixa az eredeti mátrixnak a kérdéses oszlopokból álló részmátrixa. Az, hogy ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek létezik-e nemtriviális megoldása, vagy sem, valóban nem változik az elemi sorekvivalens átalakításokkal (hiszen ekvivalens egyenletrendszerekhez jutunk), tehát a(z eredeti) mátrix oszloprangja is változatlan marad.

IV. A determinánsrang változatlanságát arra az elemi sorekvivalens átalakításra mutatjuk meg, amikor az egyik sorhoz valamelyik másik sor skalárszorosát hozzáadjuk, a többi (ennél egyszerűbb) eset igazolását az Olvasóra bízzuk.

Elég belátnunk, hogy a determinánsrang nem nő. Ugyanis az átalakítást ugyanezen skalárszoros kivonásával „visszacsinálhatjuk”, és ha a determinánsrang a két lépés egyikében sem nőtt, akkor mindkét lépésben csak egyenlőség állhat fenn, hiszen végül az eredeti mátrixhoz jutottunk vissza.

Tegyük fel például, hogy A harmadik sorához az első sor λ-szorosát adtuk hozzá, és jelöljük az így kapott mátrixot B-vel. A d(B)≤d(A) egyenlőtlenséghez azt kell megmutatnunk, hogy ha A-ban minden (mondjuk) h×h-as aldetermináns nulla, akkor ugyanez B-ben is teljesül. Vegyünk B-ben egy tetszőleges h-adrendű D aldeterminánst. Ha D-ben nem szerepel a B mátrix harmadik sora, akkor D egyben A-nak is aldeterminánsa, tehát a feltétel szerint nulla. Ha D-ben B első és harmadik sora is szerepel, akkor az utóbbiból az előbbi λ-szorosát levonva D nem változott, ugyanakkor ismét egy A-beli aldeterminánshoz jutottunk, tehát D most is nulla. Végül nézzük azt az esetet, amikor D-ben B harmadik sora szerepel, de az első sor nem. Álljon D mondjuk B első h oszlopából és 2.,3.,…,h+1-edik sorából. Ekkor

Itt D1 az A mátrix egy h-adrendű aldeterminánsa, tehát 0, D2 pedig (esetleges) sorcserékkel alakítható át egy ilyen aldeterminánssá, és ezért szintén 0. Ennélfogva D=0 is teljesül.

V. Tekintsük most egy („jobb oldal nélküli”) mátrix RLA-ját és jelöljük a vezéregyesek számát r-rel. Megmutatjuk, hogy az oszloprang és a determinánsrang egyaránt r. Mivel az azonosan nulla sorok törölhetők, így feltehetjük, hogy az RLA-ban a sorok száma összesen r. Így egyik rang sem lehet r-nél nagyobb. Ugyanakkor a vezéregyeseket tartalmazó oszlopok az r×r-es egységmátrixot alkotják, tehát lineárisan függetlenek, továbbá az ebből képzett aldetermináns nem nulla (hanem 1), azaz mindkét rang valóban r.❷

Külön is kiemeljük a bizonyításnak azt a „melléktermékét”, hogy a rang a Gauss-kiküszöbölés során nem változik, és éppen az RLA-beli vezéregyesek számát jelenti. Mivel a most bizonyított tétel szerint a rang szempontjából a sorok és oszlopok szerepe felcserélhető, ezért a fentieket azzal (az egyébként közvetlenül is igazolható ténnyel) egészíthetjük ki, hogy a rangot az elemi oszlopekvivalens átalakítások sem befolyásolják. Ez azt jelenti, hogy a rang meghatározásánál — hasonlóan a determinánsok kiszámításához — szabad a Gauss-kiküszöbölést az oszlopok szerint (vagy akár vegyesen is) végezni. (Azonban ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy egyenletrendszerek megoldásánál ettől messzemenően óvakodjunk.)

Most rátérünk a rang és az egyenletrendszerek kapcsolatára.

3.4.3 Tétel

Az Ax_=b_ egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha rA=rAb_ azaz az együtthatómátrix rangja megegyezik a kibővített mátrix rangjával. Megoldhatóság esetén a megoldás akkor és csak akkor egyértelmű, ha a (közös) rang megegyezik az ismeretlenek számával.❶

Bizonyítás: Írjuk fel az egyenletrendszert x1a1+...+xnan=b_ alakban, ahol az ajTk vektorok az ATk×n együtthatómátrix oszlopvektorai.

I. Tegyük fel először, hogy rA=rAb_=r és vegyünk r független oszlopot A-ból, legyenek ezek mondjuk a_1,,a_r Az a_1,,a_r, b_ vektorrendszer rAb_=r miatt lineárisan összefüggő. A 3.3.5/IV Tétel szerint ekkor b_ kifejezhető az a1,,ar vektorok lineáris kombinációjaként. Ehhez a többi oszlopvektort 0 együtthatóval hozzávéve kapjuk, hogy b_ felírható az A mátrix (összes) oszlopainak lineáris kombinációjaként, ami éppen az egyenletrendszer megoldhatóságát jelenti.

II. A megfordításhoz most induljunk ki abból, hogy az egyenletrendszer megoldható, tehát b_ előáll az a_j oszlopvektorok lineáris kombinációjaként:

(1)

Jelöljük r(A)-t röviden r-rel, és lássuk be, hogy az A|_b kibővített mátrix rangja is r. A kibővítés miatt nyilván rAb_r tehát elég azt megmutatnunk, hogy A|b_ bármely r+1 oszlopa lineárisan összefügg. Ha a kiválasztott r+1 oszlop között nem szerepel b_ akkor ez r(A)=r-ből következik. Vegyük tehát b_-t és A-nak r oszlopát, mondjuk a_1,,a_r-et. Ha a_1,,a_r összefüggő, akkor a 3.3.5/II Tétel szerint a_1,,a_r,b_ is az lesz. Marad tehát az az eset, amikor a_1,,a_r lineárisan független. Vegyünk egy tetszőleges r+1-edik a_j oszlopot (j>r), ekkor r(A)=r miatt a_1,,a_r,a_j lineárisan összefüggő, és ismét használva a 3.3.5/IV Tételt kapjuk, hogy a_j előáll a_1,,a_r lineáris kombinációjaként. Az a_j vektoroknak ezeket az előállításait (1)-be beírva az adódik, hogy b_-t ki tudjuk fejezni csak az a_1,,a_r oszlopok lineáris kombinációjaként is. Ekkor viszont a_1,,a_r,b_ szükségképpen összefüggők, amivel ennek az esetnek a bizonyítását is befejeztük.

III. Megoldhatóság esetén a megoldás pontosan akkor egyértelmű, ha b_ egyértelműen állítható elő az A mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként. A 3.3.5/V Tétel szerint ez azzal ekvivalens, hogy az a_j oszlopvektorok lineárisan függetlenek, azaz az A mátrix rangja megegyezik az oszlopok, vagyis az ismeretlenek számával. (Másik lehetőségként hivatkozhattunk volna a 3.1.1/III Tételre is.)❷

Feladatok

3.4.1 Mutassuk meg, hogy ha egy mátrixban bármely r+1 oszlop összefüggő, akkor bármely ennél több oszlop is lineárisan összefüggő. Hasonlóan, ha bármely r+1-edrendű aldetermináns nulla, akkor bármely ennél nagyobb méretű aldetermináns is nulla.

3.4.2 Hány h×h-as aldeterminánsa van egy k×n-es mátrixnak?

3.4.3 Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját.

 (i) 123256359010 (ii) 139248931842 (iii) 1-23-36-92-46-48-12

3.4.4 Legyenek γ1,…,γk és δ1,…,δn tetszőleges komplex számok, és tekintsük azt a két k×n-es mátrixot, amelyben az i-edik sor j-edik eleme

 a) γiδj; b) γij.

 Számítsuk ki a mátrixok rangját.

3.4.5 Mennyi egy olyan mátrix rangja, amelynek minden sorában különböző (és nemnulla) hányadosú mértani sorozat áll?

3.4.6

a) Bizonyítsuk be, hogy egy mátrix egy elemét megváltoztatva a rang legfeljebb 1-gyel változik.

b) Igaz-e, hogy bármely mátrixban van olyan elem, amelyet alkalmasan módosítva a mátrix rangja megváltozik?

c) Tekintsünk egy 10×20-as mátrixot, amelynek a rangja 5. Igaz-e, hogy mindenképpen van olyan elem, amelyet alkalmasan módosítva a mátrix rangja csökken?

d) Tekintsünk egy 10×20-as mátrixot, amelynek a rangja 5. Igaz-e, hogy mindenképpen van olyan elem, amelyet alkalmasan módosítva a mátrix rangja nő?

3.4.7 Bizonyítsuk be, hogy egy (k×n-es) mátrix rangja akkor és csak akkor 1, ha felírható egy nemnulla oszlopvektornak és egy nemnulla sorvektornak (azaz egy k×1-es és egy 1×n-es nemnulla mátrixnak) a szorzataként. (Az ilyen szorzatokat diádoknak vagy diadikus szorzatoknak nevezzük.)

3.4.8 Legyen az A mátrix minden eleme 0 vagy 1. Ekkor A elemeit valós számoknak, racionális számoknak, illetve az F2 modulo 2 test elemeinek tekintve három különböző (Rk×n-, Qk×n-, illetve F2k×n-beli) mátrixot kapunk. Milyen kapcsolatban áll egymással ennek a három mátrixnak a rangja?

3.4.9 Legyen A egy 7×6-os valós mátrix, B pedig az a 4×6-os mátrix, amely A első 4 sorából áll. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha B első három oszlopa lineárisan független, akkor A első három oszlopa is lineárisan független.

b) Ha B első három oszlopa lineárisan összefüggő, akkor A első három oszlopa is lineárisan összefüggő.

3.4.10 Igazoljuk, hogy ha egy mátrixban a sorok is lineárisan függetlenek és az oszlopok is lineárisan függetlenek, akkor négyzetes mátrixról van szó.

3.4.11 Legyen A egy 6×5-ös valós mátrix. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha az első 3 sor lineárisan összefüggő, akkor a bal felső 3×3-as aldetermináns 0.

b) Ha a bal felső 3×3-as aldetermináns 0, akkor az első 3 sor lineárisan összefüggő.

c) Ha az első 3 oszlop lineárisan összefüggő és az utolsó 3 oszlop is lineárisan összefüggő, akkor a mátrix rangja legfeljebb 3.

d) Ha az első 2 oszlop lineárisan összefüggő és az utolsó 2 oszlop is lineárisan összefüggő, akkor a mátrix rangja legfeljebb 3.

3.4.12 Mutassuk meg, hogy két (azonos test feletti, azonos alakú) mátrixnak akkor és csak akkor ugyanannyi a rangja, ha az egyik mátrixból elemi sor- és oszlopekvivalens átalakítások egymásutánjával megkaphatjuk a másik mátrixot.

3.4.13

a) Adjunk példát olyan 5×7-es mátrixra, amelynek a rangja 4, és pontosan 8-féleképpen lehet az oszlopai közül 4 függetlent kiválasztani.

b) Bizonyítsuk be, hogy ha egy mátrix rangja r, és csak egyféleképpen lehet az oszlopai közül r függetlent kiválasztani, akkor a többi oszlop csupa nullából áll.

M*c) Legyen k,n tetszőleges és 1≤r≤min(n,k). Adjunk példát olyan k×n-es mátrixra, amelynek a rangja r, és bármelyik r darab oszlop lineárisan független.

3.4.14

a) Adjunk példát olyan 5×8-as mátrixra, amelynek a rangja 3, és pontosan 60 darab 3-adrendű nemnulla aldeterminánsa van.

b) Bizonyítsuk be, hogy ha egy mátrix rangja r, és csak egyetlen r-edrendű nemnulla aldeterminánsa van, akkor ezen r2 elemen kívül a mátrix minden eleme nulla.

M*c) Legyen k,n tetszőleges és 1≤r≤min(n,k). Adjunk példát olyan k×n-es mátrixra, amelynek a rangja r, és egyetlen r-edrendű aldeterminánsa sem nulla.

3.4.15 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha az Ax_=b_ egyenletrendszer megoldható, akkor az A|b_ kibővített mátrix oszlopai lineárisan összefüggők.

b) Ha az A|b_ kibővített mátrix oszlopai lineárisan összefüggők, akkor az Ax_=b_ egyenletrendszer megoldható.

c) Ha az A mátrix oszlopai lineárisan függetlenek, akkor az Ax_=b_ egyenletrendszer megoldható.

d) Ha az A mátrix sorai lineárisan függetlenek, akkor az Ax_=b_ egyenletrendszer megoldható.

e) Ha az Ax_=b_ egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van, akkor az A mátrix oszlopai lineárisan függetlenek.

f) Ha az Ax_=b_ egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van, akkor az A mátrix sorai lineárisan függetlenek.

3.4.16 Az A mátrixnak 10 sora van, ezek lineárisan függetlenek. Az Ax_=b_ egyenletrendszernek pontosan 13 megoldása van. Hány oszlopa van A-nak?

*3.4.17

a) Legyen az ATn×n mátrix determinánsa nulla. Készítsük el azt a B mátrixot, amelynek elemei az A megfelelő előjeles aldeterminánsai, azaz βij=Aij. Bizonyítsuk be, hogy r(B)≤1.

b) (Vö. a 2.2.10 feladattal.) Ismételjük meg az a)-beli eljárást az ott kapott B mátrixra. Bizonyítsuk be, hogy n>2 esetén az eredmény mindig a nullmátrix lesz.

M*3.4.18 Előáll-e minden valós mátrix olyan mátrixok összegeként, amelyek

a) minden sora számtani sorozat;

b) minden sora vagy minden oszlopa számtani sorozat;

c) minden sora mértani sorozat?

M3.4.19

a) R és C a következő játékot játsszák. R megad egy k egyenletből álló, n ismeretlenes, a valós számokon értelmezett lineáris egyenletrendszert (k és n rögzített természetes számok), C pedig az együtthatók és a jobb oldali konstansok közül rendre egy-egy általa választott elemet akárhogyan megváltoztathat. Egy olyan egyenletrendszerhez kell így eljutnia, amelynek van megoldása. R-nek az a célja, hogy C ezt a lehető legtöbb lépésben érje el, C-nek pedig az, hogy a lehető legkevesebben. Mekkora lesz a lépésszám, ha mindketten optimálisan játszanak?

*b) Oldjuk meg a feladatot arra az esetre is, ha C-nek egy olyan egyenletrendszerhez kell így eljutnia, amelynek nincs megoldása.