Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

3.3. Lineáris függetlenség Tk-ban

3.3. Lineáris függetlenség Tk-ban

Az előző pontban a lineáris egyenletrendszerek Ax_=b_ alakját használtuk. A most következő vizsgálatok a 3.1 pont végén említett másik átírási módhoz kapcsolódnak.

Felelevenítve az ott mondottakat, legyen

tehát az a_j-k az A együtthatómátrix oszlopvektorai. Ekkor az egyenletrendszer a következőképpen írható fel: x1a_1+x2a_2+...+xna_n=b_

3.3.1 Definíció

Legyen u_1,,u_mTk és λ1, λmT azaz vegyünk m darab Tk-beli vektort és ugyanennyi T-beli skalárt. Ekkor a λ1u_1+...+λmu_m  Tk vektort az u_i vektorok (λi skalárokkal képzett) lineáris kombinációjának nevezzük.❶

Ennek alapján a lineáris egyenletrendszer megoldhatósága éppen azt jelenti, hogy b_ előáll az a_j oszlopvektorok lineáris kombinációjaként, és az ilyen előállítás(ok)ban szereplő skalárok szolgáltatják az egyenletrendszer megoldását (megoldásait).

Különösen fontos lesz a homogén egyenletrendszer, azaz a b_=0_ eset. A homogén egyenletrendszer triviális megoldásának éppen az felel meg, ha az a_j-k mindegyikét a λj=0 skalárral szorozzuk meg, és az így elkészített 0a_1+...+0a_n ún. triviális lineáris kombináció eredménye természetesen valóban a nullvektor. Nemtriviális megoldás pedig egy olyan nemtriviális lineáris kombinációt jelent, amely a nullvektort állítja elő, azonban a kombinációban szereplő skalárok nem mindegyike nulla.

Alapvetően fontos két definíció következik:

3.3.2 Definíció

Az u_1,,u_mTk vektorok lineárisan összefüggők, ha léteznek olyan λ1, λmT skalárok, amelyek nem mind 0-k, és λ1u_1+...+λmu_m=0_

3.3.3 Definíció

Az u_1,,u_mTk vektorok lineárisan függetlenek, ha λ1u_1+...+λmu_m=0_CSAK úgy valósulhat meg, ha mindegyik λi=0. Azaz

Egy u_1,,u_mTkvektorrendszerre tehát a lineáris függetlenség és a lineáris összefüggés közül pontosan az egyik teljesül. A „lineáris” jelzőt a rövidség kedvéért gyakran elhagyjuk.

A „vektorrendszer” kifejezésben a „rendszer szó arra utal, hogy (a halmazzal ellentétben) ugyanaz a vektor többször is előfordulhat az u_i-k között. Ez a körülmény lényegesen befolyásol(hat)ja a függetlenség kérdését: ha az

u _ i -k között szerepelnek azonos vektorok, pl. u_1=u_2 akkor 1u_1+-1u_2+0u_3+...+0u_m=0_ tehát az u_1,,u_m vektorrendszer mindenképpen összefüggő.

Példák:

P1. Az u_1=121 ,   u_2=212 ,   u_3=111  R3 vektorok lineárisan összefüggők, mert 1u_1+1u_2+-3u_3=0_

P2. Az előző u_1,u_2 valamint az u_4=211 vektorokból álló rendszer lineárisan független. Ennek igazolásához írjuk ki részletesen a λ1u_1+λ2u_2+λ4u_4=0_ egyenlőséget:

 

 ami pontosan

 

 teljesülését jelenti. A Gauss-kiküszöböléssel könnyen adódik, hogy ennek a homogén egyenletrendszernek csak triviális megoldása van, azaz CSAK λ124=0 lehetséges, így az u_1,u_2,u_4 vektorok valóban függetlenek.

Természetesen a P1 példában, az u_1,u_2,u_3 vektorok lineáris összefüggésének az igazolásához sincs szükség arra, hogy valahonnan megsejtsük a megfelelő skalárokat. Ekkor a

homogén egyenletrendszert kell vizsgálni, és Gauss-kiküszöböléssel kapjuk az általános megoldást: λ12=–μ/3, λ3=μ, ahol μ tetszőleges valós szám. Mivel van nemtriviális megoldás, ezért a vektorok összefüggők, és bármely μ≠0 szolgáltat egy alkalmas nemtriviális kombinációt. (A P1 példában az indoklásként rögtön az elején felírt kombinációhoz — amelyet talán tényleg „ki lehetett találni” — a μ=–3 paraméterérték tartozik).

Az imént elmondottak teljesen általános érvényűek: az u_1,,u_nTk vektorok lineáris összefüggőségének, illetve függetlenségének az eldöntéséhez tekintsük az Ux_=0_ homogén lineáris egyenletrendszert, ahol az UTk×n mátrix oszlopvektorai az u_j-k. Ha ennek az egyenletrendszernek csak triviális megoldása van, akkor az u_j vektorok függetlenek, ha pedig létezik nemtriviális megoldás is, akkor összefüggők. Azt, hogy létezik-e az egyenletrendszernek nemtriviális megoldása vagy sem, Gauss-eliminációval határozhatjuk meg. Nemtriviális megoldás létezése esetén a megoldások egyúttal meg is adják a skalárokat a nullvektort előállító lineáris kombinációkhoz.

A lineáris függetlenség kérdésénél adódó homogén egyenletrendszereknél általában a Gauss-kiküszöbölés alkalmazása a legcélszerűbb. Abban a (nagyon) speciális esetben, amikor a vektorok száma megegyezik k-val (tehát a komponensek számával), egy négyzetes U mátrixot kapunk, és így alkalmazhatjuk a 3.2.3 Tételt is: a vektorok ebben az esetben akkor és csak akkor összefüggők, ha det U=0 (azonban ez összefüggőség esetén nem ad információt a nemtriviális lineáris kombinációkban szereplő skalárokról).

Ha a vektorok száma k-nál nagyobb, akkor egy olyan homogén egyenletrendszerhez jutunk, amelyben több az ismeretlen, mint az egyenlet. A 3.1.4 Tétel szerint ennek mindig van nemtriviális megoldása, a vektorok tehát biztosan összefüggők. Ezt az egyszerű tényt nagyon sokszor fel fogjuk használni, ezért külön tételként is megfogalmazzuk:

3.3.4 Tétel

Akárhogyan választunk Tk-ban k-nál több vektort, ezek szükségképpen lineárisan összefüggők.❶

A lineáris függetlenség, illetve összefüggőség definíciójából azonnal adódnak az alábbi egyszerű észrevételek. Egyetlen vektor egyedül akkor és csak akkor független, ha nem a nullvektor. Két vektor akkor és csak akkor lineárisan független, ha egyik sem skalárszorosa a másiknak. Több vektor esetén ez már nem igaz, lásd pl. a P1 példában szereplő u_1,u_2 és u_3 vektorokat, amelyek közül egyik sem skalárszorosa a másiknak, mégis összefüggők.

Az alábbi tételben a definíciók néhány további egyszerű következményét foglaljuk össze (melegen ajánljuk, hogy az Olvasó próbálja ezeket előbb önállóan bebizonyítani, és csak utána nézze meg az általunk közölt bizonyításokat):

3.3.5 Tétel

I. Ha egy (legalább kételemű) lineárisan független rendszerből egy tetszőleges elemet elhagyunk, akkor a maradék vektorok is lineárisan független rendszert alkotnak.

II. Ha egy lineárisan összefüggő rendszerhez egy tetszőleges vektort hozzáveszünk, akkor az így kapott vektorrendszer is lineárisan összefüggő.

III. Egy legalább kételemű vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha van benne (legalább egy) olyan vektor, amely előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként.

IV. Ha u_1,,u_m lineárisan független, de az u_m+1 vektor hozzávételével kapott rendszer lineárisan összefüggő, akkor u_m+1 előáll az u_1,,u_m vektorok lineáris kombinációjaként.

V. Tegyük fel, hogy valamely v_ vektor előáll u_1,,u_m vektorok lineáris kombinációjaként. Ez az előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha u_1,,u_m lineárisan független.❶

Bizonyítás: Lássuk be először II-t. Tegyük fel, hogy az u_1,,u_m vektorok lineárisan összefüggők, azaz léteznek olyan λ1,,λmT skalárok, amelyek nem mind 0-k, és λ1u_1+...+λmu_m=0_ Ekkor a vektorrendszerhez tetszőleges u_m+1 vektort hozzávéve, a λ1u_1+...+λmu_m+0u_m+1 lineáris kombináció nemtriviálisan állítja elő a nullvektort, tehát a kibővített vektorrendszer is összefüggő.

I-et indirekt igazoljuk. Ha a maradék vektorok összefüggők lennének, akkor az elhagyott vektort visszavéve II. alapján az eredeti rendszer is összefüggő lett volna.

III-nál tegyük fel először, hogy pl. u_m előáll a többi u_i lineáris kombinációjaként, azaz u_m=δ1u_1+...+δm-1u_m-1 Ezt nullára rendezve 0_=δ1u_1+...+δm-1u_m-1+-1u_m adódik, ami a nullvektor egy nemtriviális előállítása, hiszen a –1 skalár biztosan nem nulla. Ebből következik, hogy a vektorok összefüggők. A megfordításhoz legyenek az u_i vektorok összefüggők, vegyük a nullvektor egy nemtriviális λ1u_1+...+λmu_m=0_ előállítását, ahol mondjuk λ1≠0. Ekkor az u_1 vektor u_1=-λ2/λ1u_2+...+-λm/λ1u_m formában előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként.

III. második részében azt is igazoltuk, hogy bármelyik olyan vektor kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként, amely a nullvektort adó (egyik) nemtriviális lineáris kombinációban nemnulla skalárral van megszorozva. Így IV-hez elég azt belátnunk, hogy az u_1,,u_m,u_m+1 vektorok egy nemtriviális lineáris kombinációjában u_m+1 együtthatója nem nulla. Ez valóban igaz, mert különben 0_=λ1u_1+...+λmu_m+0u_m+1=λ1u_1+...+λmu_m miatt a nullvektor az u_1,,u_m vektorok egy nemtiriviális lineáris kombinációjaként is előállna, ami ellentmond azok függetlenségének.

Végül V-höz csak azt kell végiggondolnunk, hogy 1u_1+...+mu_m=π1u_1+...+πmu_m pontosan akkor teljesül, ha 1-π1u_1+...+m-πmu_m=0_

A III. és IV. állítással kapcsolatban külön is megjegyezzük, hogy lineáris összefüggőség esetén általában több olyan vektor is van, amely kifejezhető a többiek lineáris kombinációjaként. Ugyanígy, ha független vektorokhoz egy új vektort hozzávéve összefüggő rendszert kapunk, akkor általában nemcsak az új vektor írható fel a régiek lineáris kombinációjaként, hanem „szinte mindig” a régi vektorok között is van(nak) olyan(ok), amely(ek) előáll(nak) a többiek (azaz a többi régi és az új vektor) alkalmas lineáris kombinációjaként (lásd a 3.3.4 és 3.3.5 feladatokat).

A lineáris függetlenség szokatlan fogalom, alaposan meg kell emészteni. Ne felejtsük például el, hogy a lineáris függetlenséget sohasem lehet úgy megfogni, hogy az adott vektoroknak a csupa nulla skalárral vett lineáris kombinációját tekintjük. Ez ugyanis mindig a nullvektort eredményezi, tekintet nélkül arra, hogy a vektorok függetlenek vagy összefüggők voltak.

A lineáris függetlenséggel kapcsolatos kezdeti nehézségeken legkönnyebben úgy juthatunk túl, ha egyrészt mindent nagyon aprólékosan végiggondolunk, a legszigorúbban tartva magunkat a definíciókhoz, másrészt a bennünk kialakuló képet — ha lehet — minél többször összevetjük a sík- és térvektorok körében (azaz R2-ben és R3-ban) fennálló helyzettel, ahol tényleg „látjuk”, mi mit jelent és a geometriai szemléletre (is) támaszkodhatunk.

A lineáris függetlenség fogalmát a 4.4 pontban majd tetszőleges vektortérre is általánosítjuk. Többszörösen kiderül azonban, hogy a fogalom minden lényeges eleme megtalálható már a most definiált Tk-beli speciális esetben is; egyrészt azt itt elmondottak szinte szó szerint átvihetők az általános esetre, másrészt pedig belátjuk majd, hogy minden (ún. véges dimenziós) vektortér „tulajdonképpen” megegyezik valamelyik Tk-val (lásd a 4.7 és 5.2 pontokat). Ennek ellenére (vagy éppen ezért) a lineáris függetlenség alapvető szerephez jut a matematika valamennyi ágában.

Feladatok

(Lásd a 4.4.1–4.4.8 feladatokat is.)

3.3.1 Döntsük el az alábbi R4-beli vektorokról, hogy lineárisan összefüggők vagy függetlenek. Ha összefüggők, fejezzük ki az egyiket a többi lineáris kombinációjaként.

 (i) 1234  ,   -2501  ,   -1412 (ii) 1234  ,   -2511  ,   -1412

3.3.2 Döntsük el az alábbi R4-beli vektorokról, hogy lineárisan összefüggők vagy függetlenek.

 (i) 1100   ,   0011   ,   1010   ,   0101 (ii) 1110   ,   0111   ,   1011   ,   1101 (iii) 1110   ,   0110   ,   0101   ,   1011   ,   0100

 Legyen T a modulo 3 test. Mennyiben változik a helyzet, ha a fenti vektorokat T4-belieknek tekintjük?

3.3.3 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha u_1,,u_5 lineárisan független, de u_1,,u_7 lineárisan összefüggő, akkor u_6 és u_7 közül legalább az egyik felírható az u_1,,u_5 vektorok lineáris kombinációjaként.

b) Ha van olyan u_0_ vektor, amely felírható u_1,u_2,u_3 lineáris kombinációjaként és u_4,u_5,u_6 lineáris kombinációjaként is, akkor az u_1,,u_6 vektorok lineárisan összefüggők.

c) Ha az u_1,,u_6 vektorok egyike sem a nullvektor és lineárisan összefüggők, akkor van olyan u_0_ vektor, amely felírható u_1,u_2,u_3 lineáris kombinációjaként és u_4,u_5,u_6 lineáris kombinációjaként is.

3.3.4 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha egy λ1u_1+...+λmu_m=0_ nemtriviális lineáris kombinációban λ3≠0, akkor u_3 előáll a többi u_i vektor lineáris kombinációjaként.

b) Ha egy λ1u_1+...+λmu_m=0_ nemtriviális lineáris kombinációban λ3=0, akkor u_3nem áll elő a többi u_i vektor lineáris kombinációjaként.

c) Ha az u_1,,u_m vektorok között pontosan d olyan van, amely kifejezhető a többi m–1 vektor lineáris kombinációjaként, akkor az u_i vektorok közül kiválasztható md elemű független rendszer.

d) Ha az u_1,,u_m vektorok között pontosan d olyan van, amely kifejezhető a többi m–1 vektor lineáris kombinációjaként, akkor az u_i vektorok közül nem választható ki md-nél több elemű független rendszer.

3.3.5 Tegyük fel, hogy u_1,,u_m lineárisan független, u_1,,u_m,v_ lineárisan összefüggő, továbbá egyik u_i sem írható fel a v_ és a többi v_ lineáris kombinációjaként. Határozzuk meg u_j-t.

3.3.6 Az u_1,u_2,u_3,u_4 vektorok lineárisan függetlenek, u_50_ és u_1,u_2,u_5 lineárisan összefüggő. Mit állíthatunk lineáris függetlenség, illetve összefüggőség szempontjából az u_3,u_4,u_5 vektorokról? (Lehetséges válaszok: szükségképpen függetlenek — szükségképpen összefüggők — lehetnek függetlenek is és összefüggők is.)

3.3.7

a) Megadható-e öt vektor úgy, hogy közülük az első három vektor lineárisan összefüggő, de bármelyik másik vektorhármas lineárisan független legyen?

b) Megadható-e öt vektor úgy, hogy közülük az első három vektor lineárisan független, de bármelyik másik vektorhármas lineárisan összefüggő legyen, és a vektorok egyike sem a nullvektor?

3.3.8 Legyenek u_1,u_2,u_3,u_4R8 lineárisan függetlenek. Döntsük el, hogy az alábbi vektorrendszerek lineárisan függetlenek vagy összefüggők:

a) u_1-u_2,   u_2-u_3,   u_3-u_4

b) u_1-u_2,   u_2-u_3,   u_3-u_1

c) u_1+u_2,   u_2+u_3,   u_3+u_4,   u_4+u_1

d) u_1+u_2,   u_2+u_3,   u_3+u_4,   u_4+u_2

e) u_1+πu_2+2u_3+sin1°u_4+100u_1+77u_2+3/11u_3+u_4,                 u_1+56u_2+π2u_3-1/8u_4,  lg3u_1+1999u_2+u_3+u_4,   u_1+u_2+u_3

 Oldjuk meg a feladatot arra az esetre is, ha az u_1,u_2,u_3,u_4 vektorok lineárisan összefüggők voltak.

3.3.9 Tekintsünk m darab vektort, és készítsük el ezeknek q darab lineáris kombinációját. Mit állíthatunk az így kapott vektorokról lineáris függetlenség, illetve összefüggőség szempontjából, ha az eredeti vektorok lineárisan a) függetlenek; b) összefüggők voltak, és α) q=m+1; β) q=m; γ) q=m–1? (Ez összesen hat kérdés. Lehetséges válaszok: szükségképpen függetlenek — szükségképpen összefüggők — lehetnek függetlenek is és összefüggők is.)

3.3.10 Legyenek u_1, u_2,,u_m lineárisan független vektorok és λ≠0 egy T-beli skalár. Mutassuk meg, hogy ekkor a λu_1,u_2,,u_m illetve u_1+λu_2,u_2,,u_m vektorrendszerek is lineárisan függetlenek.

3.3.11 Bizonyítsuk be, hogy egy mátrix oszlopvektorainak a lineáris függetlensége, illetve összefüggősége nem változik meg, ha a mátrixszal elemi a) oszlopekvivalens; b) sorekvivalens átalakításokat végzünk [ami b)-nél az 57. oldalon felsorolt M1–M4 lépéseket, a)-nál pedig ezek oszlopokra vonatkozó változatait jelenti].

*3.3.12 Vegyünk 11 tetszőleges pozitív egészt, amelyek egyike sem osztható 30-nál nagyobb prímszámmal. Bizonyítsuk be, hogy a számok közül kiválasztható néhány (esetleg csak egy, esetleg az összes), amelyek szorzata négyzetszám.