Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

2.2. Az n×n-es mátrixok gyűrűje

2.2. Az n×n-es mátrixok gyűrűje

Alkalmazzuk most az előző pont eredményeit a négyzetes mátrixokra:

2.2.1 Tétel

Egy T test feletti összes n×n-es mátrix a (mátrix)összeadásra és (mátrix)szorzásra nézve gyűrűt alkot. Ez a Tn×n gyűrű egységelemes, de (n>1 esetén) nem kommutatív.❶

A gyűrű pontos definícióját lásd az A.3 pontban (de ez közvetve tulajdonképpen a jelen tétel bizonyításában is szerepel).

Bizonyítás: Az összeadás és a szorzás a 2.1.2, illetve 2.1.4 Definíció alapján bármely két ilyen mátrixra értelmes. A 2.1.3 és 2.1.5 Tétel biztosítja, hogy az összeadás kommutatív és asszociatív, létezik nullelem, minden mátrixnak létezik ellentettje, a szorzás asszociatív és érvényesek a disztributivitások. Tn×n tehát valóban gyűrű. A szorzás egységeleme a 2.1.3 feladatban definiált E mátrix: a főátlóban 1-ek állnak, a többi elem 0. Végül a szorzás kommutativitásának a hiányát a 2.1.5 Tétel előtti ellenpéldával (pontosabban annak minden n>2-re történő általánosításával vagy pedig a 2.1.6a, illetve 2.1.10 feladat segítségével) igazolhatjuk.❷

FIGYELEM! Az, hogy a szorzás nem kommutatív, természetesen nem azt jelenti, hogy semelyik két mátrix nem cserélhető fel, például az E egységmátrix vagy a nullmátrix bármely mátrixszal felcserélhető, bármely mátrix felcserélhető a saját hatványaival stb.

A Tn×n gyűrűben a szorzás tulajdonságait nézve megállapíthatjuk, hogy általában nem lehet osztani, és a nemkommutativitáson kívül további „érdekesség” az, hogy két nemnulla mátrix szorzata is lehet a nullmátrix.

Ezek alaposabb vizsgálatához az alábbiakban (a négyzetes) mátrixokra előbb definiáljuk az inverz és a nullosztó fogalmát, majd részletesen tárgyaljuk az idevágó eredményeket. Megjegyezzük, hogy a tetszőleges gyűrűben az inverz és a nullosztó általános tulajdonságai szerepelnek az A.3 pontban, de most a mátrixok vonatkozásában ezeket is külön felsoroljuk.

Kezdjük az inverzzel. Mátrixon a továbbiakban mindig négyzetes mátrixot, Tn×n egy elemét értjük, E pedig az egységmátrixot, a Tn×n gyűrű egységelemét jelöli. A tetszőleges gyűrűre vonatkozó inverzfogalomnak megfelelően egy A mátrix kétoldali inverzén (vagy röviden inverzén) egy olyan K mátrixot értünk, amelyre AK=KA=E. Ha egy B mátrixra BA=E teljesül, akkor B az A mátrix bal oldali inverze (vagy röviden balinverze), ha pedig AJ=E, akkor J az A mátrix jobb oldali inverze (vagy röviden jobbinverze).

Bármely gyűrűben teljesül (lásd az A.1, illetve A.3 pontot), hogy ha egy elemnek létezik bal- és jobbinverze is, akkor ezek szükségképpen egyenlők, és ekkor az elemnek nem lehet több bal-, illetve jobbinverze. Egy elem (kétoldali) inverze tehát egyértelműen meghatározott.

Az A mátrix (kétoldali) inverzét A–1-gyel jelöljük.

A determinánsok segítségével jól le tudjuk írni, hogy mely mátrixoknak létezik inverze:

2.2.2 Tétel

I. Ha det A≠0, akkor A-nak létezik (kétoldali) inverze.

II. Ha A-nak létezik balinverze (vagy jobbinverze), akkor det A≠0.❶

A két állítást összekapcsolva nyerjük, hogy n×n-es mátrixokra az egyik oldali inverz létezése maga után vonja a másik oldali inverz létezését is, és a bal oldali, jobb oldali és kétoldali inverz bármelyikének a létezése ekvivalens a det A≠0 feltétellel.

Megjegyezzük még, hogy I. bizonyítása során képletet is nyerünk A inverzére, és ezt a képletet később többször fel fogjuk használni.

Bizonyítás: I. bizonyításának a kulcsa a következő azonosság, amelyben az előjeles aldeterminánsokból képezett mátrix transzponáltja játszik fontos szerepet:

2.2.3 Lemma

Legyen  az a mátrix, amelyben az i-edik sor j-edik eleme Aji, (nem Aij,) ahol Akl az A mátrix αkl eleméhez tartozó előjeles aldeterminánst jelöli. Ekkor

A lemma bizonyítása: Az mátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix i-edik sorát az  mátrix j-edik oszlopával szorozzuk össze: αi1Aj1+…+αinAjn, ami a kifejtés, illetve a ferde kifejtés (1.4.2 és 1.4.3 Tételek) szerint det A, ha i=j, illetve 0, ha ij. Az szorzat tehát valóban az egységmátrix det A-szorosa. A másik állítást hasonlóan kapjuk az oszlopokra vonatkozó kifejtés, illetve ferde kifejtés segítségével.❷

A lemma alapján azonnal adódik, hogy A-1=1detAA^

II. igazolásához az alábbi tételt használjuk fel, amelyet most bizonyítás nélkül közlünk:

2.2.4 Tétel (Determinánsok szorzástétele)

Ez azt jelenti, hogy ha két (azonos méretű) determinánst a mátrixszorzás szabályai szerint „összeszorzunk”, akkor a kapott determináns valóban a két determináns szorzata lesz. Mivel a determináns a főátlóra való tükrözésnél nem változik, ezért a fenti tétel sor-oszlop szorzás helyett sor-sor, oszlop-oszlop és oszlop-sor szorzás esetén is érvényben marad.

Rátérve a II. állítás bizonyítására, ha A-nak létezik balinverze, azaz BA=E, akkor a 2.2.4 Tétel szerint det B·det A=det E=1, és így det A valóban nem lehet 0.❷

A 2.2.2 Tételre a 3.5 pontban a lineáris egyenletrendszerek segítségével újabb bizonyítást adunk majd. Megjegyezzük még, hogy a 2.2.4 Tételt (az egyik lehetséges módon) a 9.8 pont alapján láthatjuk be, erre a 9.8.4 feladatban utalunk.

A továbbiakban Tn×n nullosztóit vizsgáljuk. A tetszőleges gyűrűre vonatkozó nullosztófogalomnak megfelelően egy A mátrix akkor bal oldali nullosztó, ha A≠0 és létezik olyan U≠0 mátrix, amelyre AU=0. A jobb oldali nullosztó analóg módon definiálható.

Bármely gyűrűben teljesül (lásd az A.3.3 Tételt), hogy ha egy elemnek létezik balinverze, akkor ez az elem (nem nulla és) nem lehet bal oldali nullosztó. Hasonló állítás érvényes jobbinverzre és jobb oldali nullosztóra is.

A determinánsok segítségével az is jól jellemezhető, hogy mely mátrixok nullosztók:

2.2.5 Tétel

Egy (négyzetes) A≠0 mátrix akkor és csak akkor bal oldali (jobb oldali) nullosztó, ha det A=0.❶

Bizonyítás: A „csak akkor” rész következik a 2.2.2 Tételből és az inverz és nullosztó előbb említett kapcsolatából. — Az „akkor” részt most csak arra a speciális esetre bizonyítjuk, ha az A mátrixban az Aij előjeles aldeterminánsok között van nullától különböző, azaz (a 2.2.3 Lemmában definiált)  nem a nullmátrix. A 2.2.3 Lemma szerint ekkor =ÂA=(det AE=0·E=0, tehát az Â≠0 mátrix „igazolja” A nullosztó voltát.❷

A 2.2.5 tételre a 3.5 pontban két másfajta (és hiánytalan) bizonyítást adunk majd.

Szubjektív (és egyáltalán nem matematikai) összefoglalásként megállapíthatjuk, hogy az n×n-es mátrixok gyűrűje a szorzás szempontjából „nem túl szép”, a kommutativitás hiányán túlmenően „rengeteg” a nullosztó, amelyeknek így inverzük sem lehet, vagyis a mátrixok gyűrűje „messzemenően” nem test.

Feladatok Az alábbi feladatokban végig Tn×n-beli mátrixokról van szó.

2.2.1 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha AB=BA, akkor (A+B)2=A2+2AB+B2.

b) Ha (A+B)2=A2+2AB+B2, akkor AB=BA.

*c) Ha (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3, akkor AB=BA.

2.2.2 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha A-nak és B-nek létezik inverze, akkor AB-nek is létezik inverze.

b) Ha AB-nek létezik inverze, akkor A-nak és B-nek is létezik inverze.

c) Ha A+B-nek és AB-nek létezik inverze, akkor A2B2-nek is létezik inverze.

d) Ha A-nak és B-nek létezik inverze, akkor A+B-nek is létezik inverze.

e) Ha A+B-nek létezik inverze, akkor A és B közül legalább az egyiknek létezik inverze.

f) Ha A-nak létezik inverze, akkor A+A2-nek is létezik inverze.

g) Ha A+A2-nek létezik inverze, akkor A-nak is létezik inverze.

2.2.3 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha A jobb oldali nullosztó és AB≠0, akkor AB is jobb oldali nullosztó.

b) Ha AB jobb oldali nullosztó, akkor A és B is jobb oldali nullosztó.

c) Ha AB jobb oldali nullosztó, akkor A és B közül legalább az egyik jobb oldali nullosztó.

d) Ha A+B jobb oldali nullosztó, akkor A és B közül legalább az egyik jobb oldali nullosztó.

2.2.4 Az alábbi mátrixok közül melyeknek van inverze és melyek nullosztók? Az invertálhatóknak írjuk fel az inverzét, a nullosztókhoz pedig keressünk „nullosztópárt”, azaz olyan nemnulla mátrixot, amellyel megszorozva a nullmátrixot kapjuk.

a) 1234 b) 1236 c) 123345579 d) 123345578

2.2.5 Hogyan jellemezhetők azok az egész elemű négyzetes mátrixok, amelyeknek az inverze is egész elemű?

2.2.6 Felsőháromszög-mátrixnak egy olyan négyzetes mátrixot nevezünk, amelyben a főátló alatt minden elem 0. Hogyan látszik egyszerűen, hogy egy felsőháromszög-mátrixnak van-e inverze? Igaz-e, hogy egy felsőháromszög-mátrix inverze is ilyen alakú?

2.2.7 Melyek igazak az alábbi állítások közül (A, B adott, X, Y pedig ismeretlen n×n-es mátrixokat jelölnek)?

a) Ha det A≠0, akkor az AX=B mátrixegyenlet megoldható.

b) Ha det A=0, akkor AX=B nem oldható meg.

c) Ha det A=0, det B≠0, akkor AX=B nem oldható meg.

d) Ha det A=0, det B=0, akkor AX=B megoldható.

e) AX=B-nek nem lehet egynél több megoldása.

f) AX=B-nek akkor és csak akkor van pontosan egy megoldása, ha det A≠0.

g) Ha AX=B megoldható, akkor YA=B is megoldható.

h) Ha AX=B és YA=B is egyértelműen megoldható, akkor ezek a megoldások megegyeznek.

2.2.8 Adjunk új megoldást az 1.5.5, 1.5.6 és 1.5.7 feladatokra a determinánsok szorzástételének felhasználásával.

2.2.9 Legyen n>1 páratlan szám, A egy valós elemű n×n-es mátrix, det A≠0 és jelölje αij, illetve Aij a megfelelő elemeket, illetve előjeles aldeterminánsokat. Bizonyítsuk be, hogy A2=E akkor és csak akkor teljesül, ha minden i, j-re αij=Aji vagy minden i, j-re αij=–Aji.

2.2.10 Tegyük fel, hogy det A≠0 és készítsük el azt a B mátrixot, amelynek elemei az A megfelelő előjeles aldeterminánsai, azaz βij=Aij. Ismételjük meg ugyanezt az eljárást most a B mátrixra. Bizonyítsuk be, hogy így az A mátrix számszorosát (pontosabban, egy T-beli elemmel való szorzatát, azaz skalárszorosát) kapjuk. (Az állítás det A=0 esetén is igaz, lásd a 3.4.17 feladatot.)

2.2.11 Legyen n páros szám, A és B valós elemű n×n-es mátrixok, det A≠0, és tegyük fel, hogy A^=B^ Bizonyítsuk be, hogy A=B. Mit állíthatunk (tetszőleges n>1 és) komplex elemű mátrixok esetén?

2.2.12 Bizonyítsuk be, hogy az alábbi típusú 2×2-es valós mátrixok gyűrűt alkotnak a szokásos mátrixműveletekre. Vizsgáljuk meg a kommutativitást, határozzuk meg a bal, jobb, illetve kétoldali egységelemeket, valamint a nullosztókat. Ha van kétoldali egységelem, akkor nézzük meg, mely elemeknek lesz bal, jobb, illetve kétoldali inverze. Mikor kapunk testet? „Ismerősek-e” ezek a testek?

a) a000 b) aaaa c) abba d) ab-ba e) ab00

M*2.2.13 Legyen A olyan valós elemű, invertálható mátrix, hogy mind A-ban, mind pedig A–1-ben csupa nemnegatív szám szerepel. Bizonyítsuk be, hogy A minden sorában és minden oszlopában pontosan egy darab nemnulla szám fordul elő.