Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

2. fejezet - 2. MÁTRIXOK

2. fejezet - 2. MÁTRIXOK

A mátrixok szorosan kapcsolódnak a determinánsok, illetve a lineáris egyenletrendszerek elméletéhez, de ezektől függetlenül is számos alkalmazásuk van. Különösen érdekes és fontos a mátrixszorzás és annak néhány „szokatlan” tulajdonsága. Ezeknek a „furcsaságoknak” az (egyik) „igazi” magyarázatát majd a lineáris leképezésekkel való kapcsolat adja, amit az 5. fejezetben tárgyalunk.

2.1. Mátrixműveletek

A mátrixokkal már az 1.2 pontban találkoztunk, de a teljesség kedvéért megismételjük a definíciót és a jelölésre vonatkozó tudnivalókat:

2.1.1 Definíció

Legyen T egy kommutatív test és k,n adott pozitív egészek. Ekkor a T test feletti k×n-es mátrixon egy olyan téglalap alakú táblázatot értünk, amelynek k sora és n oszlopa van és amelynek elemei T-ből valók.❶

A mátrixot úgy jelöljük, hogy a táblázatot gömbölyű zárójelek közé foglaljuk. (Ismét felhívjuk a figyelmet arra, hogy a két függőleges határolóvonal a determinánst jelenti.) Egy általános A mátrix i-edik sorának j-edik elemét αij-vel fogjuk jelölni. Ennek megfelelően egy k×n-es (vagy k×n méretű) mátrix általános alakja

A T feletti k×n-es mátrixok halmazát Tk×n-nel jelöljük.

Itt is megjegyezzük, hogy általános T test helyett első közelítésben legtöbbször nyugodtan gondolhatunk pl. a valós, a racionális vagy a komplex számokra. Emellett azonban — különösen az alkalmazások szempontjából — nagyon fontosak a véges testek is. Ezek legegyszerűbb fajtája Fp, a modulo p maradékosztályok teste, ahol p prímszám.

Most két mátrix összeadását, illetve egy mátrixnak egy T-beli elemmel való szorzását definiáljuk. Ezeknek a műveleteknek az értelmezése a „természetes módon”, elemenként történik a T-beli összeadás és szorzás segítségével:

2.1.2 Definíció

Legyen A,B  Tk×n, λ T Ekkor A+B-t, illetve λA-t úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő helyeken álló elemeket összeadjuk, illetve minden elemet λ-val megszorzunk:

és

A T test elemeit szokás skalároknak nevezni, és így egy mátrixnak egy T-beli elemmel vett szorzatát a mátrix skalárszorosának hívjuk.

Az imént definiált műveletekre a megszokott tulajdonságok érvényesek:

2.1.3 Tétel

A k×n-es mátrixok körében az összeadás asszociatív, kommutatív, létezik nullelem és minden elemnek létezik ellentettje. Ez részletesen kifejtve a következőket jelenti:

(i) minden A,B,C  Tk×n-re (A+B)+C=A+(B+C), A+B=B+A;

(ii) létezik olyan 0-val jelölt mátrix, amelyre minden A-val A+0=0+A=A;

(iii) minden A-hoz van olyan –A-val jelölt mátrix, amelyre A+(–A)=(–A)+A=0.

A T elemeivel való szorzásra nézve az alábbi azonosságok érvényesek A,B  Tk×n,   λ,μ T  (λ+μ)AAA, λ(A+B)=λAB, (λμ)A=λ(μA), 1A=A, ahol 1 a T test egységeleme (azaz amellyel minden λ T-re 1λ=λ1=λ).❶

Az összeadás tulajdonságait úgy foglalhatjuk össze, hogy a k×n-es mátrixok az összeadásra nézve egy kommutatív csoportot alkotnak (lásd az A.5 pontot). A két műveletre együttesen Tk×n vektortér T felett (lásd a 4.1 pontot).

Bizonyítás: Valamennyi tulajdonság azonnal adódik a műveletek definíciójából és a T-beli megfelelő tulajdonságból. Például a 0 mátrix (nullmátrix) az lesz, amelynek minden eleme (a T-beli) nulla stb.❷

Mind a T-beli nullát, mind pedig a nullmátrixot egyformán 0-val fogjuk jelölni, ez (remélhetőleg) nem okoz majd zavart.

Most rátérünk két mátrix szorzásának a definíciójára. Ez meglehetősen bonyolult és (legalábbis egyelőre) meglehetősen mesterkéltnek tűnik. Először megadjuk a formális definíciót, majd ehhez némi magyarázatot fűzünk.

2.1.4 Definíció

Legyen ATk×n,   BTn×r Ekkor C=ABTk×rés az i-edik sor j-edik eleme

Az A és B mátrix tehát akkor és csak akkor szorozható össze (ebben a sorrendben), ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek. Ekkor az AB mátrixnak annyi sora lesz, mint A-nak és annyi oszlopa, mint B-nek. A szorzatmátrixban az i-edik sor j-edik elemét úgy kapjuk meg, hogy A i-edik sorát és B j-edik oszlopát (mint két n komponensű vektort) skalárisan összeszorozzuk, azaz a megfelelő komponensek szorzatösszegét vesszük.

Példa: legyen A=123450,   B=610711812913 Ekkor az AB szorzat létezik, mert A oszlopainak a száma megegyezik B sorainak a számával. Ugyanakkor a BA szorzat nem létezik.

Az AB szorzatnak 3 sora és 4 oszlopa lesz. A második sor harmadik elemét A második sorának és B harmadik oszlopának a skalárszorzata adja: 3·8+4·12=72. Amíg a mátrixok szorzásában nem teszünk szert megfelelő gyakorlatra, addig érdemes a szorzást az alábbi séma szerint elvégezni. Helyezzük el az A és B mátrixokat egymáshoz képest rézsút a következőképpen:

Ekkor a két mátrix között (az A-tól jobbra, a B alatt) úgy kaphatjuk meg C=AB-t, hogy γij éppen az őt létrehozó sor-oszlop párnak, Ai-edik sorának és Bj-edik oszlopának a metszéspontjába kerül:

A fenti példánkban:

Most rátérünk a mátrixszorzás tulajdonságainak a vizsgálatára. Kezdjük a kommutativitással. Legyen ATk×n,   BTn×r ekkor AB értelmes. Ha kr, akkor a BA szorzat nem is létezik! Ha k=rn, akkor AB és BA nem azonos alakúak, hiszen az egyik k×k-as, a másik n×n-es. Marad az az eset, amikor k=n=r, azaz A,BTn×n Azonban általában ilyenkor sem áll fenn AB=BA, pl.

A fenti példából az is érezhető, hogy az a ritka eset, ha két mátrix felcserélhető. Mindez azt jelenti, hogy a mátrixok szorzása „nagyon nemkommutatív”.

A szorzással (és részben más műveletekkel) kapcsolatos további „szokásos” azonosságok viszont igazak:

2.1.5 Tétel

Ha λT és A, B, C tetszőleges olyan mátrixok, amelyekre az alábbi egyenlőségek valamelyik oldala értelmezve van, akkor a másik oldal is értelmes, és az egyenlőség teljesül.

I. A(BC)=(AB)C (asszociativitás);

II. A(B+C)=AB+AC,

(A+B)C=AC+BC (disztributivitások);

III. λ(AB)=(λA)B=AB).❶

Mivel a szorzás nem kommutatív, ezért a két disztributivitást külön kell bebizonyítani. Ugyanez az oka annak, hogy III-ban csak a T-beli elemet „emelhetjük át” a mátrixokon, A és B sorrendjén nem változtathatunk.

Bizonyítás: Belátjuk az asszociativitást, a többi azonosság hasonló számolással igazolható (lásd a 2.1.13 feladatot).

A szorzás definíciója alapján I. jobb, illetve bal oldala pontosan akkor értelmes, ha A oszlopainak a száma megegyezik B sorainak a számával és B oszlopainak a száma megegyezik C sorainak a számával. Legyen tehát ATk×n, BTn×r, CTr×t ekkor M=A(BC) és N=(AB)C is k×t-es. Kiszámítjuk M, illetve Ni-edik sorának j-edik elemét, μij-t, illetve νij-t. Legyen D=BC. Ekkor

vagyis

Hasonlóan kapjuk, hogy

Mivel T-ben a szorzás asszociatív, így valóban μijij.❷

Végül bevezetjük a mátrix transzponáltjának a fogalmát:

2.1.6 Definíció

Legyen ATk×n Ekkor A transzponáltján azt a BTn×k mátrixot értjük, amelyre βijji. Az A mátrix transzponáltját AT-vel jelöljük.❶

A jelölésben a T betű a transzponált szó kezdőbetűjéből származik (és semmi köze sincs a T testhez, amelyből a mátrix elemeit vettük).

Példa: az 123456 mátrix transzponáltja az 135246 mátrix lesz. A transzponálás geometriailag a (nem mindig igazán annak nevezhető) „főátlóra”, azaz a bal felső sarokból 45 fokos szögben jobbra lefelé haladó (ÉNy-DK irányú) egyenesre történő tükrözést jelenti. Másképpen fogalmazva, a transzponálás a sorok és oszlopok szerepét felcseréli.

Komplex elemű mátrixok esetén egy másik rokon fogalom, az adjungált (is) fontos szerephez jut:

2.1.7 Definíció

Legyen ACk×n Ekkor A adjungáltján azt a BCn×k mátrixot értjük, amelyre βij=αji¯ (ahol z¯ a z komplex szám konjugáltját jelenti). Az A mátrix adjungáltját A*-gal jelöljük.❶

Egy mátrix adjungáltja tehát a transzponáltjának a konjugáltja. Valós elemű A esetén nyilván A*=AT.

A transzponálás, illetve adjungálás és a mátrixműveletek kapcsolatáról lásd a 2.1.20 feladatot.

Feladatok

2.1.1 Tekintsük az összes olyan különböző k×n-es valós elemű mátrixot, amelyben minden elem 1, 2 vagy 3. Számítsuk ki ezeknek a mátrixoknak az összegét.

2.1.2 Mely α,β komplex számpárok rendelkeznek az alábbi tulajdonsággal: Minden k×n-es komplex elemű mátrix felírható αAB alakban, ahol A és B valós elemű mátrixok.

2.1.3 Legyen E egy olyan négyzetes mátrix, amelynek a főátlójában 1-esek állnak, többi eleme pedig 0. Mi lesz az EA, illetve az AE szorzat, ha a szorzás elvégezhető (A egy tetszőleges mátrix)?

2.1.4 Számítsuk ki az alábbi mátrixokat:

a) 2-41-21111 b) 2-31-21111 c) 1/21/21/21/21111

2.1.5 Számítsuk ki az alábbi mátrixokat:

a) 1101n b) cosα-sinαsinαcosαn c) cosαsinαsinα-cosαn

2.1.6 Végezzük el az alábbi szorzásokat:

a) a1-aa1-ab1-bb1-b b) a-aa-ab-bb-b

2.1.7 Legyen A egy olyan mátrix, amelyben minden sorban és minden oszlopban az elemek összege 0, B pedig egy olyan mátrix, amelynek minden eleme egyenlő. Mi lesz az AB, illetve BA szorzat, ha a szorzás elvégezhető?

2.1.8 Az alábbiakban tegyük fel, hogy a szóban forgó AB, illetve BA szorzatok értelmesek. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha A-nak van egy csupa 0 sora, akkor ez AB-re is teljesül.

b) Ha A-nak van egy csupa 0 sora, akkor ez BA-ra is teljesül.

c) Ha A-ban minden sor számtani sorozat, akkor ez AB-re is teljesül.

d) Ha A-ban minden sor számtani sorozat, akkor ez BA-ra is teljesül.

e) Ha A elemeinek az összege 0, akkor ez AB-re is teljesül.

f) Ha A elemeinek az összege 0, akkor ez BA-ra is teljesül.

2.1.9 Vizsgáljuk meg az alábbi állítást és a hozzátartozó indoklást.

Ha az A és B azonos méretű négyzetes mátrixokra A100=B100=0, akkor (A+B)200=0. Ugyanis

és itt minden tag 0, hiszen k≥100 esetén Ak=0, k<100 esetén pedig nk>100, tehát Bn–k=0.

2.1.10 Mi történik egy n×n-es A mátrixszal, ha balról, illetve jobbról az alábbi n×n-es mátrixokkal megszorozzuk:

2.1.11 Legyen P egy olyan n×n-es mátrix, amelynek minden sorában és minden oszlopában pontosan egy 1-es áll, a többi elem pedig 0. Mi történik egy n×n-es A mátrixszal, ha balról, illetve jobbról P-vel megszorozzuk?

2.1.12 Legyenek A és B tetszőleges n×n-es mátrixok. Mennyi az ABBA mátrix főátlójában levő elemek összege?

2.1.13 Bizonyítsuk be a 2.1.5 Tétel II. és III. állításait.

2.1.14 Tegyük fel, hogy A100=A72=A. Hány különböző (pozitív egész kitevős) hatványa van az A mátrixnak?

2.1.15 Egy n×n-es A mátrix főátlójában és a főátló alatt minden elem 0. Bizonyítsuk be, hogy An=0.

*2.1.16 Legyen p prímszám és A egy olyan p×p-es mátrix a modulo p test felett, amelynek a főátlójában 1-esek állnak, a főátló alatt pedig minden elem 0. Számítsuk ki Ap-t.

*2.1.17 Legyen A=cosα-sinαsinαcosα és E=1001 Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor létezik olyan k pozitív egész, amelyre E+A+A2+…+Ak=0, ha α/2π racionális szám, de nem egész.

M*2.1.18 Melyek azok az ATn×n mátrixok, amelyek minden BTn×n mátrixszal felcserélhetők, azaz minden B-re AB=BA?

2.1.19 Adva van k termék, az ezek előállításához szükséges n-féle alkatrész és az alkatrészeket alkotó r-féle anyag. Jelöljük αij-vel azt, hogy az i-edik termékhez a j-edik alkatrészből hány darabot kell felhasználni, βuv-vel pedig azt, hogy az u-adik alkatrész a v-edik anyagból mennyit tartalmaz. Mi az αij-kből álló k×n-es A mátrix és a βuv-kből álló n×r-es B mátrix C=AB szorzatának a jelentése?

2.1.20 Bizonyítsuk be az alábbi azonosságokat (azaz lássuk be, hogy ha λT és A, B tetszőleges olyan mátrixok, amelyekre az alábbi egyenlőségek valamelyik oldala értelmezve van, akkor a másik oldal is értelmes és az egyenlőség teljesül):

Fogalmazzuk meg és igazoljuk az adjungáltra vonatkozó hasonló azonosságokat is.

2.1.21 Legyen A valós elemű mátrix és tegyük fel, hogy az AAT (valóban négyzetes mátrix valódi) főátlójában az elemek összege 0. Határozzuk meg A-t. Hogyan általánosíthatjuk a feladatot komplex elemű mátrixokra?